\chapter{Entraînement aux épreuves finales}

Les exercices proposés dans cette partie de l'ouvrage sont conformes aux épreuves anticipées du baccalauréat pour les élèves suivant l'enseignement de spécialité (et uniquement pour ces élèves).

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exercices 

Chaque épreuve est constituée d'un QCM sur 6 points, dans lesquels aucune justification n'est demandée et où une seule réponse est possible par question.

%%%


\section*{QCM - Automatismes}

\begin{exocor}{}
\begin{enumerate}
\item L'inverse du double de 5 est égal à :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $\frac{2}{5}$
\item $\frac{1}{10}$
\item $\frac{5}{2}$
\item 10
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item On considère la relation $F=a+\frac{b}{cd}$.

Lorsque $a=\frac{1}{2}$, $b=3$, $c=4$, $d=-\frac{1}{4}$, la valeur de $F$ est égale à:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $-\frac{5}{2}$
\item $-\frac{3}{2}$
\item $\frac{5}{2}$
\item $\frac{3}{2}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Le prix d’un article est multiplié par 0,975. Cela signifie que le prix de cet article a connu :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item une baisse de 2,5\%
\item une augmentation de 97,5\%
\item une baisse de 25\%
\item une augmentation de 0,975\%
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Le prix d'un article est noté $P$. Ce prix augmente de 10\% puis baisse de 10\%. À l'issue de ces deux variations, le nouveau prix est noté $P_1$. On peut affirmer que :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $P_1 = P$
\item $P_1 > P$
\item $P_1 < P$
\item Cela dépend de $P$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item On lance un dé à 4 faces. La probabilité d'obtenir chacune des faces est donnée dans le tableau ci-dessous : 
\begin{center}
\begin{tabular}{|*4{Sc|}}
\hline
Face numéro 1&
Face numéro 2&
Face numéro 3&
Face numéro 4\\\hline
$0,5$ & $\frac{1}{6}$  & $0,2$ & $x$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center} 
On peut affirmer que :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $x = \frac{2}{15}$
\item $x = \frac{2}{3}$
\item $x = 0,4$
\item $x = 0,1$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item On considère $x,y,u$ des réels non nuls tels que $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{u}$. On peut affirmer que :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $u = \frac{xy}{x+y}$
\item $u = \frac{x+y}{xy}$
\item $u = xy$
\item $u = x+y$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\item On a représenté ci-contre la parabole d'équation $y=x^2$. 

On note $(\mathcal{I})$ l'inéquation, sur $\R$, $x^2 \geqslant 10$.

L'inéquation $(\mathcal{I})$ est équivalente à :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $-\sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$
\item $x \leq -\sqrt{10}$ ou $x \geq \sqrt{10}$
\item $x \geq \sqrt{10}$
\item $x = \sqrt{10}$ ou $x = -\sqrt{10}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\draw[->,>=latex] (-2,0) -- (2,0) node[below right] {$x$};
\draw[->,>=latex] (0,-0.5) -- (0,3) node[left] {$y$};
\node[right] at (0,1.5) {10};
\node[below left] at (0,0) {0};
\clip (-2,-0.5) rectangle (2,3);
\draw[thick,blue,domain=-2:2,samples=100]
  plot (\x, {(\x)*(\x)});
\end{tikzpicture}
\end{minipage}


\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\item Une équation d'une droite $\mathcal{D}$ représentée dans un repère est :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $y = -\frac{3}{2}x + 2$
\item $y = \frac{2}{3}x + 2$
\item $2x - 3y - 6 = 0$
\item $\frac{x}{3} + \frac{x}{2} - 1 = 0$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.39\linewidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[gray,dashed] (-3,-2.5) grid (7.5,4.5);
\draw[->,>=latex] (-3,0) -- (8,0) node[below right] {$x$};
\draw[->,>=latex] (0,-2.5) -- (0,5) node[left] {$y$};
\clip (-3.5,-2.5) rectangle (7.5,4.5);
\foreach \x in {-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7} { \node[below,scale=0.75] at (\x,0) {$\x$}; }
\foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4} { \node[left,scale=0.75] at (0,\y) {$\y$}; }
\draw[thick,blue,domain=-3:7.5,samples=100]
  plot (\x, {-2*\x/3+2});
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item On considère trois fonctions définies sur $\mathbb{R}$ :  
\[
f_1(x) = x^2 - (1-x)^2 \quad ; \quad f_2(x) = \frac{x}{2} - \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \quad ; \quad f_3(x) = \frac{5-23x}{0,7}.
\]  
Parmi ces trois fonctions, celles qui sont des fonctions affines sont :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item aucune
\item toutes
\item uniquement la fonction $f_1$
\item uniquement les fonctions $f_2$ et $f_3$
\end{multicols}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\item On a représenté ci-contre une parabole $\mathcal{P}$.

Une seule des quatre fonctions suivantes est susceptible d’être représentée par une parabole $\mathcal{P}$. Laquelle ?
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $x \mapsto x^2 - 10$
\item $x \mapsto -x^2 - 10$
\item $x \mapsto -x^2 + 10$
\item $x \mapsto -x^2 + 10x$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\draw[->,>=latex] (-2,0) -- (2,0) node[below right] {$x$};
\draw[->,>=latex] (0,-0.5) -- (0,3) node[left] {$y$};
\node[below left] at (0,0) {0};
\clip (-2,-0.5) rectangle (2,3);
\draw[thick,blue,domain=-2:2,samples=100]
  plot (\x, {(-\x)*(\x)+2});
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\item On a représenté ci-contre la courbe $\mathcal{C}$ d’une fonction $f$.

Les points A, B, R et S appartiennent à la courbe $\mathcal{C}$.


Leurs abscisses sont notées respectivement $x_A$, $x_B$, $x_R$ et $x_S$. 

L'inéquation $x \times f(x) > 0$ est vérifiée par :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $x_A$ et $x_B$
\item $x_A$ et $x_R$
\item $x_A$ et $x_S$
\item $x_A$, $x_B$ et $x_S$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.29\linewidth}
\definecolor{ccqqqq}{rgb}{0.8,0,0}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{ududff}{rgb}{0.30196078431372547,0.30196078431372547,1}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\clip(-4,-2.5) rectangle (5,2.5);
\draw[->,>=latex] (-4,0) -- (5,0);
\draw[->,>=latex] (0,-2.5) -- (0,2.5);
\node[below left] at (0,0) {0};
\draw[color=ccqqqq,smooth,samples=100,domain=-3.5:5] plot(\x,{0.11537414965986395*(\x)^(3)-0.36081632653061224*(\x)^(2)-0.9961904761904762*(\x)+1.3738775510204082});
\draw [fill=ududff] (-3,-2) circle (2.5pt);
\draw[color=ududff] (-3.2263203463203447,-1.6201731601731608) node {$A$};
\draw [fill=ududff] (-2,1) circle (2.5pt);
\draw[color=ududff] (-2.2219913419913397,1.306233766233765) node {$B$};
\draw [fill=qqqqff] (0.5,0.8) circle (2.5pt);
\draw[color=qqqqff] (0.6351515151515185,1.1677056277056266) node {$R$};
\draw [fill=ududff] (4,-1) circle (2.5pt);
\draw[color=ududff] (4.323463203463208,-1.0833766233766242) node {$S$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}


\item On note $m$ la moyenne pondérée de la série suivante :  
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*3{Sc|}}
\hline
Note & 10 & 8 & 16\\
\hline
Coefficient & 1 & 2 & $x$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Que doit valoir $x$ pour que $m=15$ ?
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item impossible
\item $x = 10^{-3}$
\item $x = 3$
\item $x = 19$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item \boxed{\text{Réponse }b} Le double de 5 est 10, donc l'inverse du double de 5 est $\frac{1}{10}$. 

\item \boxed{\text{Réponse }a} $F=a+\frac{b}{cd}=\frac{1}{2}+\frac{3}{4\times\left(-\frac{1}{4}\right)}=\frac{1}{2}+\frac{3}{-1}=\frac{1}{2}-\frac{6}{2}=-\frac{5}{2}$. 

\item \boxed{\text{Réponse }a} Le coefficient multiplicateur est:
\[0,975=1-0,025=1-\frac{2,5}{100}\]
Le prix a donc connu une baisse de \pourcent{2,5}.

\item \boxed{\text{Réponse }c} Augmentation de \pourcent{10} puis baisse de \pourcent{10}; le prix est multiplié par:\\[0.33em] $1,1\times0,9=0,99<1$. Donc $P_1 < P$. 

\item \boxed{\text{Réponse }a} La somme des probabilités est toujours égales à 1 donc:
\[ x = 1-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{5}\right)=\frac{2}{15}.
\]

\item \boxed{\text{Réponse }a} $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{u} \iff u = \frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=\frac{1}{\frac{x+y}{xy}}=\frac{xy}{x+y}$. 

\item \boxed{\text{Réponse }b} Si $x^2 \geq 10$ alors $x\leq-\sqrt{10}$ ou $x\geqslant\sqrt{10}$, et réciproquement.

\item \boxed{\text{Réponse }d} Le plus simple est, à mon avis, d'exploiter les coordonnées \coord{0}{2} et \coord{3}{0} dans chaque proposition, et retenir celle qui fonctionne. Les propositions \textit{a} et \textit{b} ne fonctionnent pas: en prenant $y=0$, on ne trouve pas $x=3$. Les \textit{c} et \textit{d} fonctionnent mais en remplaçant $x$ par 0, seule la \textit{d} donne $y=2$.

\item \boxed{\text{Réponse }a} On a:
\begin{itemize}
\item $f_1(x) = x^2 - (1-x)^2=x^2-1+2x-x^2 = 2x-1=mx+p$;
\item $f_2(x) = \frac{x}{2} - \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = mx+p$;
\item $f_3(x) = \frac{5-23x}{0,7} = -\frac{23}{0,7}x + \frac{5}{0,7}=mx+p$.
\end{itemize}

\item \boxed{\text{Réponse }c} Les branches de la paraboles sont vers le bas, donc le coefficient de $s^2$ est négatif. De plus, si $x=0$, $y>0$. Les autres propositions ne satisfont pas ces deux conditions.

\item \boxed{\text{Réponse }b} $x\times f(x)>0$ signifie que $x$ et $f(x)$ ont le même signe, et seuls $A$ et $R$ satisfont cette condition.

\item \boxed{\text{Réponse }d} $m=15 \iff \frac{10+16+16x}{1+2+x}=15 \iff 26+16x=45+15x \iff x=45-26=19$.
\end{enumerate}

\end{exocor}

%%%


\begin{exocor}{}
\begin{enumerate}
\item On considère l'arbre de probabilité suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (M) at (2,2) {$A$};
\node (MB) at (2,-2) {$\evcont{A}$};
\node (TM) at (4,3) {$B$};
\node (TMB) at (4,1) {$\evcont{B}$};
\node (TBM) at (4,-1) {$B$};
\node (TBMB) at (4,-3) {$\evcont{B}$};
%
\draw (0,0) -- (M.west) node[midway,fill=pageenonce!30] {$0,4$};
\draw (0,0) -- (MB.west);
\draw (M.east) -- (TM.west) node[midway,fill=pageenonce!30] {0,3};
\draw (M.east) -- (TMB.west) ;
%
\draw (MB.east) -- (TBM.west) ;
\draw (MB.east) -- (TBMB.west) node[midway,fill=pageenonce!30] {0,9};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $p(B)=0,18$
\item $p(B)=0,12$
\item $p(B)=0,66$
\item $p(B)=0,3$
\end{multicols}
\end{enumerate} % Fin q1

\item Une tablette coûte 200 euros. Son prix diminue de \pourcent{30}. Le prix après cette diminution est :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item 140 euros
\item 170 euros
\item 194 euros
\item 197 euros
\end{multicols}
\end{enumerate} % Fin q2

\item Une réduction de \pourcent{50} suivie d'une augmentation de \pourcent{50} équivaut à :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item une réduction de \pourcent{50}
\item une réduction de \pourcent{25}
\item une augmentation  de \pourcent{25}
\item une augmentation  de \pourcent{75}
\end{multicols}
\end{enumerate} % Fin q3

\item Dans un lycée, le quart des élèves sont internes, parmi eux, la moitié sont des filles.

La proportion des filles internes par rapport à l'ensemble des élèves du lycée est égale à :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item \pourcent{4}
\item \pourcent{12,5}
\item \pourcent{25}
\item \pourcent{50}
\end{multicols}
\end{enumerate} % Fin q4

\item On considère le nombre $N=\dfrac{10^7}{5^2}$. On a:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $N=2^5$
\item $N=\numprint{20000}$
\item $N=\frac{1}{10^5}$
\item $N=4\times10^5$
\end{multicols}
\end{enumerate} % Fin q5

\item Un appareil a besoin d'une énergie de $7,5\times10^6$ Joules (J) pour se mettre en route.

À combien de kiloWatts-heure (kWh) cela correspond-il ?
\begin{flushright}
\textbf{Données :} 1kWh = $3,6\times10^6$ J.
\end{flushright}
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item 0,5 kWh
\item 2,08 kWh
\item 5,3 kWh
\item 20,35 kWh
\end{multicols}
\end{enumerate} % Fin q6

\item Le plan est muni d'un repère orthogonal. On note $d$ la droite passant par les points $A\coord{0}{-1}$ et $B\coord{2}{5}$. Le coefficient directeur de la droite $d$ est égal à :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $\frac{1}{2}$
\item 2
\item 3
\item $\frac{1}{3}$
\end{multicols}
\end{enumerate} % Fin q7

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\item On a représenté ci-contre une droite $D$. 

Parmi les quatre équations ci-dessous, la seule susceptible de représenter la droite $D$ est :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $2x-y=0$
\item $2x+y+1=0$
\item $y=x^2-(x+1)^2+1$
\item $y=2x-1$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\draw[->,>=latex] (-2,0) -- (2,0) node[below right] {$x$};
\draw[->,>=latex] (0,-2) -- (0,2) node[left] {$y$};
\node[below left] at (0,0) {0};
\clip (-2,-2) rectangle (2,2);
\draw[thick,blue,domain=-2:2]  plot (\x, {(-2*\x)});
\end{tikzpicture}
\end{minipage} % fin q8

\item On note $\mathcal{S}$ l’ensemble des solutions de l’équation $x^2=10$ sur $\R$. On a :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\mathcal{S}=\{-5;5\}$
\item $\mathcal{S}=\{-\sqrt5;\sqrt5\}$
\item $\mathcal{S}=\{-\sqrt{10};\sqrt{10}\}$
\item $\mathcal{S}=\varnothing$
\end{multicols}
\end{enumerate} % Fin q9

\item La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(3x-15)(x+2)$ admet pour tableau de signes :
\begin{enumerate}
\item \begin{tikzpicture}[baseline]
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1,color,colorC=numpageenonce!20,colorL=numpageenonce!20,colorV=numpageenonce!20]{$x$/0.5,$f(x)$/0.5}{$-\infty$,$-2$,$5$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}

\item \begin{tikzpicture}[baseline]
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1,color,colorC=numpageenonce!20,colorL=numpageenonce!20,colorV=numpageenonce!20]{$x$/0.5,$f(x)$/0.5}{$-\infty$,$-2$,$5$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}

\item \begin{tikzpicture}[baseline]
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1,color,colorC=numpageenonce!20,colorL=numpageenonce!20,colorV=numpageenonce!20]{$x$/0.5,$f(x)$/0.5}{$-\infty$,$-5$,$2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}

\item \begin{tikzpicture}[baseline]
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1,color,colorC=numpageenonce!20,colorL=numpageenonce!20,colorV=numpageenonce!20]{$x$/0.5,$f(x)$/0.5}{$-\infty$,$-5$,$2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{enumerate} % Fin q10

\item L'expression développée de $(2x+0,5)^2$ est:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $4x^2+x+0,25$
\item $4x^2+4x+2$
\item $4x^2+2x+0,25$
\item $4x^2+2x+1$
\end{multicols}
\end{enumerate} % Fin q11

\item Lorsqu'un point mobile suit une trajectoire circulaire de rayon $R$, en mètre (m), son accélération centripète $a$ (en m/s$^2$) s'exprime en fonction de la vitesse $v$ (en m/s) de la manière suivante : \[ a=\frac{v^2}{R}.\]
L'expression permettant, à partir de cette formule, d'exprimer la vitesse $v$ est :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $v=aR^2$
\item $v=\sqrt{aR}$
\item $v=\sqrt{\dfrac{a}{R}}$
\item $v=\dfrac{a^2}{R}$
\end{multicols}
\end{enumerate} % Fin q12


\end{enumerate} %  Fin du QCM

\tcblower

\begin{enumerate}
\item \boxed{\text{Réponse }a} $p(B)=0,4\times0,3 + 0,6\times0,1=0,18$.

\item\boxed{\text{Réponse }a} $200 \times (1-0,3)=140$

\item \boxed{\text{Réponse }b} Le coefficient multiplicateur global est : $CMG=0,5 \times 1,5 = 0,75 = 1-\frac{25}{100}$.

\item \boxed{\text{Réponse }b} La moitié d'un quart est égales à $\frac{1}{8}=0,125=12,5$\%.

\item \boxed{\text{Réponse }d} $N=\dfrac{10^7}{5^2}=2^7 \times 5^7 \times 5^{-2} = 2^2 \times \big(2^5 \times 5^5\big)=4 \times 10^5$.

\item  \boxed{\text{Réponse }b} Inutile de faire des calculs compliqués: 1 kWh = $3,6 \times 10^6$ J donc 2 kWh = $7,2 \times 10^6$ J. La réponse est donc un peu plus que 2 kWh.

\item \boxed{\text{Réponse }c}  Pour aller de $A$ à $B$, on monte de 6 unités pour avancer de 2 unités. Le coefficient directeur est donc $m=\frac{6}{2}=3$.

\item \boxed{\text{Réponse }c} C'est une fonction linéaire qui est représentée, donc aucune constante additive ne doit apparaître $ y=ax$, avec $a<0$.

\item \boxed{\text{Réponse }c} C'est du cours.

\item \boxed{\text{Réponse }a} $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient dominant est positif, donc $f(x)$ est positive aux infinis. De plus, ses racines sont les valeurs qui annulent $3x-15$ (donc $x=5$ et $x+2$ (donc $x=-2$).

\item \boxed{\text{Réponse }c} Identité remarquable: $(2x)^2+2\times0,5\times2x+(0,5)^2$.

\item  \boxed{\text{Réponse }b} Dois-je vraiment l'expliquer ? Allez...:
\[
a=\frac{v^2}{R} \iff aR=v^2 \iff \sqrt{aR}=v.
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\newpage

\begin{exocor}{}
\begin{enumerate}
\item La formule qui donne le volume d'un tonneau dont le profil est celui d'un arc d'ellipse est la suivante:
\[
V=\dfrac{\pi L}{12}\big(2D^2+d^2\big)
\]
où $L$ est la hauteur du tonneau, $d$ le diamètre du cercle des deux bases et $D$, celui du cercle à mi-hauteur.

Le volume d'un tonneau où $L=120$ cm, $D=100$ cm et $d=50$ cm est égal à:

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item \numprint{2250}$\pi$ dm$^3$
\item $225\pi$ dm$^3$
\item $22,5\pi$ dm$^3$
\item \numprint{22500}$\pi$ cm$^3$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Si $t$, $E$, $v$ et $d$ sont quatre réels strictement positifs, de l'égalité $t=\dfrac{v \times E^2}{d}$, on peut déduire l'égalité:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $E=\sqrt{\dfrac{d \times t}{v}}$
\item $E = \sqrt{d \times t - v}$
\item $E=\sqrt{\dfrac{v}{d \times t}}$
\item $E=\dfrac{d\times t}{2v}$

\end{multicols}
\end{enumerate}

\item La forme développée de $(-2x+3)^2$ est:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $4x^2+12x+9$
\item $-4x^2+12x+9$
\item $4x^2-6x+9$
\item $4x^2-12x+9$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Un article dont le prix est 120 \euro{} est soldé à $-$\pourcent{25}. Son nouveau prix est alors:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item 100 \euro
\item 95 \euro
\item 90 \euro
\item 85 \euro
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item On note $\mathcal{S}$ l'ensemble des solutions de l'équation $x^2+5=0$ sur \R. On a:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $\mathcal{S}=\{-25;25\}$
\item $\mathcal{S}=\big\{-\sqrt5;\sqrt5 \big\}$
\item $\mathcal{S}=\{-5;5\}$
\item $\mathcal{S}=\varnothing$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Dans un repère orthonormé, la droite passant par le point A\coord{-3}{2} et de vecteur directeur $\vv{u}\dbinom{3}{-4}$ passe par le point:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item B\coord{3}{-6}
\item B\coord{3}{-8}
\item B\coord{3}{-4}
\item B\coord{3}{-2}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Le nombre $N=\dfrac{\numprint{2500}\times10^7}{5\times10^8}$ est égal à:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $\dfrac{1}{50}$
\item 50
\item $5 \times 10^{-1}$
\item $2,5\times10^{-1}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item L'équation $-10x^2+19x-6=0$ admet $\dfrac{3}{2}$ comme solution. Quelle est la valeur de la seconde solution?
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $-\dfrac{5}{2}$
\item $\dfrac{5}{2}$
\item $-\dfrac{2}{5}$
\item $\dfrac{2}{5}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Le nombre $D = \dfrac{45}{49}\times\dfrac{14}{27}+\dfrac{11}{21}$ est égal à:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item 1
\item $\dfrac{20}{21}$
\item $\dfrac{19}{21}$
\item 2
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Une parabole admet S\coord{10}{-2} pour sommet. Elle coupe l'axe des abscisses en A\coord{3}{0} et B. L'abscisse de B est:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $-3$
\item 13
\item 17
\item 23
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Dans un groupe de 600 personnes, le tiers possède uniquement une voiture. Parmi les autres personnes, le quart possède uniquement un vélo. Le cinquième des autres personnes ne possède aucun véhicule. Cela représente combien de personnes ?
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item 40
\item 70
\item 50
\item 60
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item On définit la suite \suite{u}{n}{} par son premier terme $u_1=1$ et par la relation de récurrence $u_{n+1}=-u_n$ pour tout entier naturel $n$. On note $S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n$ la somme des $n$ premiers termes de cette suite.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $S_{999}=-2$
\item $S_{999}=-1$
\item $S_{999}=0$
\item $S_{999}=1$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item \boxed{\text{Réponse }b} En effet, avec $L=120$ cm, $D=100$ cm et $d=50$ cm, on a:
\begin{align*}
V & = \dfrac{\pi \times 120}{12}\big(2\times100^2+50^2\big)\\
  & = \dfrac{\pi \times 10 \times \cancel{12}}{\cancel{12}}\big(2\times\numprint{10000}+\numprint{2500}\big)\\
  & = 10\pi\big(\numprint{20000}+\numprint{2500}\big)\\
  & = 10\pi \times \numprint{22500}\\
  & = \numprint{225000}\pi\text{ cm}^3\\
  & = 225\pi\text{ dm}^3.
\end{align*}

\item \boxed{\text{Réponse }a} On a en effet;
\begin{align*}
t=\dfrac{v \times E^2}{d} & \iff t \times d = v \times E^2\\
& \iff \dfrac{t \times d}{v} = E^2\\
& \iff \sqrt{\dfrac{t \times d}{v}} = E.
\end{align*}

\item \boxed{\text{Réponse }d} En effet, $(-2x+3)^2 = (3-2x)^2$ est de la forme:
\[
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
\]
Donc:
\begin{align*}
(3-2x)^2 & 3^2 - 2\times3\times2x + (2x)^2\\
& = 9 - 12x + 4x^2\\
& = 4x^2 - 12x + 9 ( \text{si on ordonne les termes} )
\end{align*}

\item \boxed{\text{Réponse }c} En effet, une réduction de \pourcent{25} revient à enlever le quart du prix, soit ici le quart de 120, et donc enlever $\dfrac{120}{4}=30$ \euro.

$120-30=90$. Le nouveau prix est donc 90 \euro.

\item \boxed{\text{Réponse }d} En effet, $x^2+5=0 \iff x^2=-10$, ce qui est impossible car un carré est toujours positif ou nul. Donc il n'y a aucune solutions à l'équation. L'ensemble des solutions est donc l'ensemble vide.

\item \boxed{\text{Réponse }a} En partant du point A\coord{-3}{2}, si on applique le vecteur $\vv{u}\dbinom{3}{-4}$, on tombe sur le point de coordonnées \coord{-3+3}{2-4} soit \coord{0}{-2}. À partir de ce nouveau point, si on applique une nouvelle fois le vecteur $\vv{u}$, on tombe sur le point de coordonnées \coord{0+3}{-2-4} soit \coord{3}{-6}.

\item \boxed{\text{Réponse }b} On a en effet,
$\begin{aligned}[t]
N & = \dfrac{\numprint{2500}\times10^7}{5\times10^8}\\
  & = \dfrac{25\times10^3\times10^7}{5\times10^8}\\
  & = \dfrac{25}{5} \times 10^{3+7-8}\\
  & = 5 \times 10\\
  & = 50.
\end{aligned}$

\item \boxed{\text{Réponse }c} En effet, si une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$ admet deux solutions $x_1$ et $x_2$ alors, $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}$.

On sait ici que $x_1=\dfrac{3}{2}$ donc:
\[
\dfrac{3}{2}\times x_2 = \dfrac{-6}{-10} \iff x_2 = \dfrac{\cancel{3}}{5}\times \dfrac{2}{\cancel{3}}=\dfrac{2}{5}.
\]

\item \boxed{\text{Réponse }a} En effet, on a:
\[
D = \dfrac{45}{49}\times\dfrac{14}{27}+\dfrac{11}{21} = \dfrac{5\times\cancel{9}}{7\times\cancel{7}}\times\dfrac{2\times\cancel{7}}{3\times\cancel{9}}+\dfrac{11}{21}=\dfrac{10}{21}+\dfrac{11}{21}=\dfrac{21}{21}=1.
\]

\item \boxed{\text{Réponse }c} En effet, si $x_1$ et $x_2$ sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses, et si $x_S$ est celle de son sommet, alors $x_S$ est le milieu de l'intervalle \intervFF{x_1}{x_2}. Si $x_1=3$ et $x_S=10$ alors $x_S-x_1=7$ donc $x_2=x_S+7=10+7=17$.

\item \boxed{\text{Réponse }d} Dans un groupe de 600 personnes, le tiers possède uniquement une voiture (donc 200). Parmi les autres personnes (soit $600-200=400$), le quart possède uniquement un vélo (donc 100). Le cinquième des autres personnes (le cinquième de $600-200-100=300$ personnes) ne possède aucun véhicule, donc 60 personnes.

\item \boxed{\text{Réponse }d} En effet, $u_1=1$ et $u_{n+1}=-u_n$ signifie que: $u_2=-1$, $u_3=1$, $u_4=-1$, $u_5=1$, etc. D'où:
\[
S_{999}=\underbrace{\overbrace{[1+(-1)]}^{=0} + \overbrace{[1+(-1)]}^{=0} + \cdots + \overbrace{[1+(-1)]}^{=0} + 1}_{\text{999 termes}} = 1.
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

\begin{exocor}{}
\begin{enumerate}
\item On considère le nombre $R = \sqrt{a + k\sqrt{b}}$.

Si $a=b=25$ et $k=5$, alors $R$ est égal à:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item 5
\item 25
\item $5\sqrt2$
\item $2\sqrt5$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item La relation $E=mc^2$ est une formule bien connue en sciences physiques. On peut en déduire quelle relation?

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $c=\sqrt{\dfrac{m}{E}}$
\item $c=\sqrt{\dfrac{E}{m}}$
\item $c=\sqrt{E\times m}$
\item $c=\sqrt{\dfrac{E^2}{m}}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Le nombre d'or, noté $\varphi$, est tel que $\varphi^2 = \varphi+1$. Le nombre d'or est alors solution de l'équation:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $x^2+x+1=0$
\item $x^2-x-1=0$
\item $x^2-x+1=0$
\item $x^2+x-1=0$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Un mobile parcourt une distance $AB$ avec une vitesse $v_1$, puis une distance $BC$ avec une vitesse $v_2$. On peut calculer la vitesse moyenne $v$ sur le trajet total $AB+BC$ à l'aide de la formule:
\[
\dfrac{2}{v} = \dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}.
\]
Si un cycliste monte une pente avec une vitesse de 1 m/s, puis la redescend avec une vitesse de 3 m/s, sa vitesse moyenne sur l'aller-retour est égale à:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item 1,5 m/s
\item 0,67 m/s
\item 2 m/s
\item 2,5 m/s
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Les fonctions affines $f$ et $g$ définies respectivement par $f(x)=-3x+1$ et $g(x)=2x+6$ sont représentées par deux droites qui se coupent en un point de coordonnées:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item \coord{1}{4}
\item \coord{-1}{4}
\item \coord{4}{-1}
\item \coord{-1}{-4}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Dans un paquet de bonbons rouges et bleus, il y en a \pourcent{25} qui sont rouges, dont \pourcent{20} sont acidulés. La proportions de bonbons acidulés est égale à \pourcent{42,5}. La proportion de bonbons acidulés bleus est égale à:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item \pourcent{15}
\item \pourcent{5}
\item \pourcent{50}
\item \pourcent{10}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Une parabole passe par les points de coordonnées \coord{-4}{2} et \coord{6}{2}. L'équation de son axe de symétrie est:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $x=0$
\item $x=1$
\item $x=-1$
\item $x=1,5$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Soit $f(x)=-2(x+3)^2-5$. Le sommet de la parabole d'équation $y=f(x)$ a pour coordonnées:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item \coord{3}{-5}
\item \coord{-2}{3}
\item \coord{-5}{3}
\item \coord{-3}{-5}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Rij, on considère les vecteurs $\vv{u}\dbinom{-3}{5}$ et $\vv{v}\dbinom{2}{1}$. Leur produit scalaire $\vv{u}\cdot\vv{v}$ est égal à:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $-13$
\item $-11$
\item $-1$
\item 0
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item La droite passant par les points de coordonnées \coord{-7}{7} et \coord{7}{-7} a pour équation cartésienne:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $y=-x$
\item $x+y=0$
\item $x-y=0$
\item $x=y$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item L'équation $x^2+b^2x-1=0$:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item n'admet jamais de solutions
\item admet toujours 1 solution
\item admet toujours 2 solutions
\item admet quelques fois des solutions
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item La suite \suite{u}{n}{} telle que $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{2-u_n}$ est:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item croissante
\item décroissante
\item constante
\item non définie
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item \boxed{\text{Réponse }c}. En effet,
\[
R = \sqrt{25+5\sqrt{25}}=\sqrt{25+5\times5}=\sqrt{2\times25}=5\sqrt2.
\]

\item \boxed{\text{Réponse }b}. En effet,
\[
E = mc^2 \iff c^2 = \dfrac{E}{m} \iff c = \sqrt{\dfrac{E}{m}}.
\]

\item \boxed{\text{Réponse }b}. En effet,
\[
\varphi^2 = \varphi+1 \iff \varphi^2 - \varphi - 1 = 0.
\]

\item \boxed{\text{Réponse }a}. En effet,
\[
\dfrac{2}{v}=\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2} \iff v = \dfrac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}=\dfrac{2}{1+\frac{1}{3}}=\dfrac{2}{\frac{4}{3}}=2\times\dfrac{3}{4}=\frac{3}{2}=1,5.
\]

\item \boxed{\text{Réponse }b}. Il suffit de résoudre l'équation:
\[
-3x+1=2x+6 \iff 5x=-5 \iff x=-1.
\]
On calcule ensuite $f(-1)=-3(-1)+1=3+1=4$.

\item \boxed{\text{Réponse }c}. On peut représenter la situation ainsi:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (M) at (2,2) {$R$};
\node (MB) at (2,-2) {$B$};
\node (TM) at (4,3) {$A$};
\node (TMB) at (4,1) {$\evcont{A}$};
\node (TBM) at (4,-1) {$A$};
\node (TBMB) at (4,-3) {$\evcont{A}$};
%
\draw (0,0) -- (M.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,25$};
\draw (0,0) -- (MB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,75$};
\draw (M.east) -- (TM.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,2$};
\draw (M.east) -- (TMB.west);
%
\draw (MB.east) -- (TBM.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$x$};
\draw (MB.east) -- (TBMB.west);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Probabilités totales: $0,25\times0,2 + 0,75x = 0,425$, d'où $x=\dfrac{0,425-0,05}{0,75}=0,5$.

\item \boxed{\text{Réponse }b}. Les points appartenant à la parabole ont la même ordonnée donc l'axe de symétrie doit passer par le milieu du segment qui les relie, d'abscisse $\dfrac{-4+6}{2}=1$.

\item \boxed{\text{Réponse }d}. D'après le cours, le sommet de la parabole d'équation $y=a(x-\alpha)^2+\beta$\linebreak a pour coordonnées \coord{\alpha}{\beta}.

\item \boxed{\text{Réponse }c}. $\dbinom{-3}{5}\cdot\dbinom{2}{1}=-3\times2+5\times1=-6+5=-1$.

\item \boxed{\text{Réponse }b}. Les coordonnées sont opposées ($x_1=-x_2$ et $y_1=-y_2$) donc l'équation réduite de la droite est $y=-x$, ce qui donne en équation cartésienne: $x+y=0$.

\item \boxed{\text{Réponse }a}. $x^2+b^2x-1$ a pour discriminant $\Delta=(b^2)^2-4\times1\times(-1)=b^4+4>0$ car $b^4\geqslant0$. Donc aucune solution à l'équation, quelle que soit la valeur de $b$.

\item \boxed{\text{Réponse }c}. En effet, $u_1=\sqrt{2-1}=\sqrt1=1=u_0$. Il en est de même pour les termes suivants: $u_n=1$ pour tout entier naturel $n$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

\newpage

\section*{Exercices complets}

\begin{exocor}{}
On considère la figure suivante, représentée dans un repère orthonormé \Rij.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-1}{-1}{5}{5}
\begin{scope}[scale=0.5,shift={(1.92,1.44)}]
\draw[thick,color=green!50!black,fill=green!80!black,fill opacity=0.1] (2.26,1.69) -- (2,2) -- (1.7,1.76) -- (1.92,1.44) -- cycle; 
\end{scope}
\draw[very thick] (0,0) rectangle +(4,4);
\node[above right] at (0,4) {C};
\node[above right] at (4,4) {B};
\node[below] at (4,0) {A};
\draw[dashed] (0,0) -- (4,3) node[right] {I};
\draw[very thick] (0,4) -- (1.92,1.44) node[below] {H};
\draw[very thick] (1.92,1.44) -- (4,3);
\draw[very thick,red] (2,2) circle (0.5);
\fill[black] (2,2) circle (2pt) node[above] {D};
\end{tikzpicture}
\end{center}
On dispose des données suivantes :
\begin{itemize}
\item Le quadrilatère $OABC$ est un carré de côté 4;
\item On a $A\coord{0}{4}$, $B\coord{4}{4}$, $C\coord{0}{4}$, $H\coord{4}{3}$;
\item Le point $H$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(OI)$;
\item On note $\mathcal{E}$ le cercle de centre $D\coord{2}{2}$ et de rayon 0,5.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vv{OI}$ et $\vv{OC}$.
\item En déduire le produit scalaire $\prodscal{OI}{OC}$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Exprimer le produit scalaire $\prodscal{OI}{OC}$ en fonction des longueurs $OH$ et $OI$.
\item Calculer la longueur $OI$.
\item En déduire que $OH=2,4$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $CG)$.
\item Justifier qu'une équation du cercle $\mathcal{E}$ est :
\[
x^2+y^2-4x-4y+7,75=0.
\]
\item Le point $M\coord{1,5}{2}$ appartient-il à l'intersection du cercle $\mathcal{E}$ et de la droite $(CH)$? Justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{\textit{Aide aux calculs:}}
\begin{itemize}
\item $0,5^2=0,25$
\item $1,5^2=2,25$
\item $2,5^2=6,25$
\item $5\times2,4=12$
\end{itemize}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item\label{sujet0-1-q1}
\begin{enumerate}
\item $\vv{OI}$ a les même coordonnées que $I$ car $O$ est l'origine du repère. 

Ainsi, $\vv{OI}\dbinom{4}{3}$.

\medskip

De même, $\vv{OC}\dbinom{0}{4}$.

\item\label{sujet0-1-q1b} On en déduit:
\[
\prodscal{OI}{OC}=4\times0 + 3\times4 = 12.
\]
\end{enumerate}

\item\label{sujet0-1-q2}
\begin{enumerate}
\item\label{sujet0-1-q2a} D'après le cours,
\[
\prodscal{OI}{OC}=OI \times OH
\]
car $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(OI)$.

\item\label{sujet0-1-q2b} $OAI$ est un triangle rectangle en $A$ donc, d'après le théorème de Pythagore,
\[
OI = \sqrt{AO^2+AI^2}=\sqrt{16+9}=5.
\]

\item Des questions \ref{sujet0-1-q1}\ref{sujet0-1-q1b}, \ref{sujet0-1-q2}\ref{sujet0-1-q2a} et \ref{sujet0-1-q2}\ref{sujet0-1-q2b}, on déduit:
\[
12 = 5OH \qquad\text{soit}\qquad OH = \dfrac{12}{5}=2,4.
\]
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
M\coord{x}{y}\in(CH) & \iff \prodscal{OI}{CM}=0\\
& \iff \dbinom{4}{3}\cdot\dbinom{x}{y-4}=0\\
& \iff 4x + 3(y-4)=0\\
& \iff 4x + 3y - 12 = 0
\end{aligned}$

\medskip

Une équation cartésienne de $(CH)$ est donc $4x + 3y - 12 = 0$.

\item L'équation cartésienne canonique de $\mathcal{E}$ est:
\[
(x-x_D)^2 + (y-y_D)^2 = r^2\qquad\text{soit}\qquad (x-2)^2 + (y-2)^2 = (0,5)^2.
\]
En développant, on trouve:
\[
x^2-4x+4 + y^2-4y+4=0,25\qquad\text{soit}\qquad x^2+y^2-4x-4y+7,75=0.
\]

\item Si $M\coord{1,5}{2}$ appartient à l'intersection de $\mathcal{E}$ et $(CH)$, ses coordonnées doivent vérifier leurs équations cartésiennes respectives:
\begin{itemize}
\item Appartenance à $(CH)$: $4\times1,5 + 3\times2 - 12 = 6+6-12=0$.
\item Appartenance à $\mathcal{E}$: $ 1,5^2+2^2-4\times1,5-4\times2+7,75=2,25+4-6-8+7,75=0$.
\end{itemize}
Ainsi, $M$ est bien une intersection de $\mathcal{E}$ et $(CH)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{}
On se place dans un repère \Rij{} orthogonal.
\begin{enumerate}
\item\label{sujet0-1-ex2-q1} On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=x^2-5x+4$.

On note $\mathcal{P}$ la courbe représentative de la fonction $g$.
\begin{enumerate}
\item\label{sujet0-1-ex2-q1a} Étudier le signe de la fonction $g$ sur \R.
\item On considère un entier naturel $n$ quelconque.

On note $A_n$ le point de la courbe $\mathcal{P}$ d'abscisse $n$.

On note $a_n$ le coefficient directeur de la droite $(A_nA_{n+1})$.

Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a $a_n=2n-4$.

\item Quelle est la nature de la suite \suite{a}{n}{}?
\end{enumerate}

\item\label{sujet0-1-ex2-q2} On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle \intervFF{0,5}{8} par:
\[
f(x)=x-5+\frac{4}{x}.
\]
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour tout réel $x$ de l'intervalle \intervFF{0,5}{8} on a $f(x)=\dfrac{g(x)}{x}$.
\item\label{sujet0-1-ex2-q2b} À l'aide de la question \ref{sujet0-1-ex2-q1}\ref{sujet0-1-ex2-q1a}, déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses.

\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle \intervFF{0,5}{8}.

Montrer que tout réel $x$ de l'intervalle \intervFF{0,5}{8} on a :
\[
f'(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}.
\]

\item\label{sujet0-1-ex2-q2d} En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervFF{0,5}{8}.

\item Réaliser un schéma de l'allure de la courbe $\mathcal{C}$ sur lequel apparaîtront les résultats des questions \ref{sujet0-1-ex2-q2}\ref{sujet0-1-ex2-q2b} et \ref{sujet0-1-ex2-q2}\ref{sujet0-1-ex2-q2d}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $g$ a pour racine évidente $x_1=1$ donc sa seconde racine est $x_2=\frac{c}{a}=4$. D'après le cours, on a alors le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[baseline]
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$g(x)$/0.5}{$-\infty$,$1$,$4$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $A_n\coord{n}{g(n)}$ car $A_n\in\mathcal{P}$.

$A_{n+1}\coord{n+1}{g(n+1)}$ car $A_{n+1}\in\mathcal{P}$.

\medskip

Le coefficient directeur de $(A_nA_{n+1})$ est donc:
\[
\dfrac{g(n+1)-g(n)}{(n+1)-n}=\big[(n+1)^2-5(n+1)+4 \big] - \big[n^2-5n+4 \big]=2n-4.
\]

\item $a_n$ est une fonction affine de $n$, donc \suite{a}{n}{} est une suite arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $a_0=-4$ (on a en effet $u_n=u_0+nr$).
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\forall x\in\intervFF{0,5}{8}$, $\dfrac{g(x)}{x}=\dfrac{x^2-5x+4}{x}=x-5+\dfrac{4}{x}=f(x)$.

\item Sur \intervFF{0,5}{8}, $f(x)$ et $g(x)$ sont de même signe car $x>0$ donc:
\begin{itemize}
\item $\mathcal{C}$ est au-dessus de l'axe des abscisses sur \intervOO{-\infty}{1} et sur \intervOO{4}{+\infty};
\item $\mathcal{C}$ est en-dessous de l'axe des abscisses sur \intervOO{1}{4};
\item $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en $x=1$ et $x=4$.
\end{itemize}

\item $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = (x-5)^\prime + \left(\dfrac{4}{x}\right)^\prime\\
      & = 1 - \dfrac{4}{x^2}\\
      & = \dfrac{x^2-4}{x^2}\\
      & = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}.
\end{aligned}$

\newpage

\item $f'(x)$ est du signe de $(x-2)(x+2)$ car $x^2>0$ d'où:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{${0,5}$,$2$,$8$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/{3,5},-/$-1$,+/{3,5}}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item On devra dessiner une courbe ressemblant à cela:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt, fill=white] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\rep{-0.1}{-1.2}{8.5}{4}
\draw[thick,red, domain=0.5:8,samples=100] plot (\x,{\x-5+4/\x});
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{rem}
Comment tracer la courbe sans avoir l'allure donnée par la calculatrice ? Il faut partir du \og premier point \fg{} de coordonnées \coord{0,5}{3,5} et aller vers le deuxième point du tableau de variations (de coordonnées \coord{2}{-1}) en gardant en tête que c'est un minimum et que la tangente est \textit{horizontale}; donc il ne doit pas y avoir de \og pointe \fg{} à ce niveau. Ensuite, on doit aller jusqu'au dernier point, de coordonnées \coord{8}{3,5}. D'où l'importance de calculer les images des abscisses que l'on a dans le tableau de variations.

\medskip

Le tracé doit être le plus harmonieux possible: pas d'à-coup. Cependant, on ne vous sanctionnera pas si vous dessinez façon Picasso...
\end{rem}
\end{exocor}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{}
En 2020, une ville comptait \numprint{10000} habitants.

On modélise l'évolution du nombre d'habitants de cette ville par la suite \suite{u}{n}{} définie ainsi :
\[
\begin{cases}
u_{n+1} = 1,08u_n -300\quad,\quad n\in\N\\
u_0 = \numprint{10000}
\end{cases}
\]
où $u_n$ représente le nombre d'habitants pour l'année $2020+n$.
\begin{enumerate}
\item Indiquer ce que représente $u_1$ et calculer sa valeur.
\item On considère la suite \suite{v}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-\numprint{3750}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $v_0$.
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1}=1,08v_n$.
\item En déduire la nature de la suite \suite{v}{n}{}.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer, $v_n$ en fonction de $n$.
\item Déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=\numprint{6250}\times1,08^n+\numprint{3750}$.
\end{enumerate}
\item Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille automatisée de calcul, a été obtenue par recopie vers le bas après avoir saisie la formule suivante dans la cellule B2 :
\begin{center}
\texttt{= 6250*1,08\textasciicircum A2 + 3750}
\end{center}
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
La municipalité envisage d'ouvrir une nouvelle école maternelle dès que la population atteindra \numprint{19000} habitants.

La construction d'un tel établissement nécessitant deux ans, déterminer l'année à partir de laquelle la construction de l'école doit commencer.

\bigskip

\textbf{\textit{Aide aux calculs:}}

\begin{itemize}
\item $\numprint{10000} - \numprint{3750} = \numprint{6250}$;
\item $1,08 \times \numprint{4050}=\numprint{4374}$;
\item $\dfrac{\numprint{4050}}{1,08}=\numprint{3750}$;
\item $\numprint{3750}\times 1,08=\numprint{4050}$.
\end{itemize}

\vspace*{5cm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\begin{tikzpicture}
  \tableur*[21]{A/1cm,B/3cm}
  \celtxt[align=center, font=\bfseries]{A}{1}{n}
  \celtxt[align=center, font=\bfseries]{B}{1}{Un}
  \foreach \n/\v in {%
  0/10000,
  1/10500,
  2/11040,
  3/{11623,2},
  4/{12253,056},
  5/{12933,30048},
  6/{13667,96452},
  7/{14461,40168},
  8/{15318,31381},
  9/{16243,77892},
  10/{17243,28123},
  11/{18322,74373},
  12/{19488,56323},
  13/{20747,64829},
  14/{22107,46015},
  15/{23576,05696},
  16/{25162,14152},
  17/{26875,11284},
  18/{28725,12187},
  19/{30723,13162}
  }
  {
  \pgfmathtruncatemacro{\resultline}{\n + 2}
  \celtxt[align=center]{A}{\resultline}{\n}
  \celtxt[align=center,width=3cm]{B}{\resultline}{\v}
  }
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $u_1$ représente le nombre d'habitants de cette ville en 2021. Il est égal à:
\[
u_1= 1,08 \times u_ - 300 = 1,08 \times \numprint{10000} - 300 = \numprint{10500}.
\]

\item 
\begin{enumerate}
\item $v_0 = u_0 - \numprint{3750}= \numprint{10000}-\numprint{3750} = \numprint{6250}$.

\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & u_{n+1} - \numprint{3750}\\
        & = 1,08u_n - 300 - \numprint{3750}\\
        & = 1,08u_n - \numprint{4050}\\
        & = 1,08\left(u_n - \frac{\numprint{4050}}{1,08}\right)\\
        & = 1,08(u_n - \numprint{3750})\\
        & = 1,08v_n.
\end{aligned}$

\item $v_{n+1}=qv_n$ avec $q=1,08$ donc \suite{v}{n}{} est une suite géométrique de raison 1,08 et de premier terme $v_0=\numprint{6250}$.

\item On déduit de la question précédente que pour tout entier naturel $n$, 
\[
v_n=v_0 \times q^n = \numprint{6250} \times 1,08^n.
\]

\item On sait que $v_n=u_n-\numprint{3750}$ donc:
\[
u_n = v_n+\numprint{3750}=\numprint{6250} \times 1,08^n + \numprint{3750}.
\]
\end{enumerate}

\item On voit dans le tableur que $u_n \geqslant \numprint{19000}$ à partir de $n=12$, ce qui correspond à l'année $2020+12=2032$. Comme la construction dure 2 ans, il faut la commencer en 2030.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{}
Le plan est muni d'un repère orthogonal.

\medskip

\partie{A}

On considère la fonction $P$ définie sur l’intervalle \intervFF{-5}{3} par :
\[
P(x)=2x^2+x-10.
\]
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les racines de $P$.
\item En déduire l’axe de symétrie de la parabole d’équation $y=P(x)$.
\end{enumerate}

\item \'Etablir le tableau de signe de la fonction $P$ sur l’intervalle \intervFF{-5}{3}.
\end{enumerate}

\partie{B}

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle \intervFF{-5}{3} dont on donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt, fill=white] (tab) {
\begin{tikzpicture}[yscale=0.2, xscale=1.5]
\draw[dashed,gray] (-5.5,-15) grid[xstep=0.5, ystep=5] (3.5,25);
\draw[->,>=latex,thick] (-5.5,0) -- (3.5,0);
\draw[->,>=latex,thick] (0,-15) -- (0,25);
\foreach\x in {-5,-4.5,-4,...,3}
{
\draw[thick] (\x,0.75) -- (\x,-0.75) node[below, outer ysep=2mm] {\small $\x$};
}
\foreach\y in {-10,-5,5,10,15,20}
{
\draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left, outer xsep=2mm] {\small $\y$};
}
\node[red] at (-4.7,18) {$\mathcal{C}_f$};
\draw[thick,red, domain=-5:3, smooth] plot (\x,{(4*\x*\x-14*\x+8)*exp(\x/2)});
\draw[blue,thick] (-5.5,-10.87) node[above right, outer sep=2mm] {$(T)$} -- (3.5,-10.87);
\fill[blue] (2,-10.87) circle (1pt) node[below, outer ysep=2mm] {$A$};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
La tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d’abscisse 2 est horizontale.
\begin{enumerate}
\item Donner la valeur du nombre dérivé $f'(2)$.
\item Résoudre, avec la précision permise par le graphique, l’inéquation $f'(x)<0$.
\item On sait que la fonction $f$ a pour expression sur l’intervalle \intervFF{-5}{3}:
\[
f(x)=(4x^2-14x+8)\e^{0,5x}.
\]
Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle \intervFF{-5}{3}, on a:
\[
f'(x)=P(x)\e^{0,5x}.
\]
\item En utilisant les résultats de la partie A, dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle \intervFF{-5}{3}. (Il n’est pas demandé de calculer les images).
\end{enumerate}

\tcblower

\medskip

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $x_1=2$ est une racine évidente car $P(2)=2 \times 2^2 + 2 - 10 = 8+2-10=0$, donc la seconde racine est $x_2$ telle que:
\[
x_1x_2=\frac{c}{a} \iff 2x_2=\frac{-10}{2} \iff x_2=-\frac{5}{2}.
\]
\item L'axe de symétrie de la parabole d'équation $y=P(x)$ a pour équation:
\[
x = \dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{2-\frac{5}{2}}{2}=-\dfrac{1}{4}.
\]
\begin{rem}
On aurait aussi pu dire que l'axe de symétrie passe par le sommet de la parabole, qui a pour abscisse $x_S = -\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2\times2}=-\dfrac{1}{4}$. 
\end{rem}
\end{enumerate}

\item Le tableau de signe de $P$ est le suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$P(x)$/0.5}{$-5$,$-\frac{1}{4}$,$2$,3}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
En effet, $P(x)$ est du signe de $a=2$, donc positif, aux infinis.
\end{enumerate}

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item  La tangente à $\mathcal{C}_f$ en $A$ est horizontale, donc elle admet pour coefficient directeur 0. Ainsi, $f'(2)=0$.

\item $f'(x)<0$ sur les intervalles de $x$ où la fonction $f$ est strictement décroissante, donc sur \intervOO{-2,5}{2}.

\item $f=u \times v$ avec:\hspace*{1cm} $\begin{aligned}[t]
u = 4x^2-14x+8 & \qquad v = \e^{0,5x}\\
u' = 8x-14 & \qquad v'=0,5\e^{0,5x}
\end{aligned}$

\medskip

Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = u'v + uv'\\
& = (8x-14)\e^{0,5x} + 0,5(4x^2-14x+8)\e^{0,5x}\\
& = (8x-14+2x^2-7x+4)\e^{0,5x}\\
& = (2x^2+x-10)\e^{0,5x}\\
& = P(x)\e^{0,5x}.
\end{align*}

\item $f'(x)$ est du signe de $P(x)$ car $\e^{0,5x}>0$ sur \intervFF{-5}{3}, d'où le tableau suivant (en utilisant le tableau de signe de $P(x)$ trouvé dans la partie A):
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.5,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{$-5$,$-\frac{1}{4}$,$2$,3}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\tkzTabVar{-/,+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exocor}



\corriges
