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% Couleurs

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% styles des titres

%%% Titre de la fiche

\renewcommand{\title}[1]{%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
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\node[below] (auteur) at (titre.south) {\ECFJD Une fiche de cours de Stéphane Pasquet - Mise à jour : \today};
\node[below] at (auteur.south) {(\url{https://courspasquet.fr})\qquad\qquad(\url{https://mathweb.fr})};
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\end{center}
}

%%% section

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%%% paragraph

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%%% pied et tête de page

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\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\AddToShipoutPictureBG
{%
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	{%
		\begin{tikzpicture}
		\draw[fill=yellow!10,draw,thick,decorate,decoration = {random steps}] (0,0) rectangle +(\dimexpr\paperwidth-10mm,\dimexpr\paperheight-10mm);
		\end{tikzpicture}
	}
}

%------------------------------------------------------

\title{Factorisations}

\section*{Principe}

Factoriser une expression, c'est la transformer en produit.

\paragraph*{Exemple 1:} $A = 3x + 5x$ est sous la forme développée (car il y a un \og $+$ \fg{} entre les deux termes).

Pour la factoriser, on remarque qu'il y a un \textbf{facteur commun} dans les deux termes :
\[
A = 3\pmb{x} + 5\pmb{x} = (3+5)\pmb{x}= 8x.
\]

$A=8x$ est l'expression sous la forme factorisée car elle est sous la forme d'un produit.

\section*{Factorisations avec facteur commun}

\paragraph*{Exemple 2:} on souhaite factoriser $B = (2x+3)(x-5) -(x+5)(4x+6)$.

\medskip

\begin{itemize}
\item[\textbullet] \textbf{\'Etape 1:} on repère le facteur commun et s'il n'y en a pas, on le fait apparaître.

Ici, on remarque que $4x+6 = 2(2x+3)$ donc $B$ peut s'écrire sous la forme :
\begin{align*}
B & = (2x+3)(x-5) - (x+5)\times2(2x+3)\\
B & = (2x+3)(x-5) - 2(x+5)(2x+3)
\end{align*}

\item[\textbullet] \textbf{\'Etape 2:} on encadre le facteur commun.
\[
B = \boxed{(2x+3)}(x-5) - 2(x+5)\boxed{(2x+3)}
\]

\item[\textbullet] \textbf{\'Etape 3:} on écrit le facteur commun en début d'expression, puis on ouvre des crochets à l'intérieur desquels on écrit ce qu'il y a en dehors des cadres.
\[
B = (2x+3)\big[ (x-5) - 2(x+5) \big]
\]

\item[\textbullet] \textbf{\'Etape 4:} on enlève les parenthèses dans les crochets en développant si besoin est.
\[
B = (2x+3)\big[ x-5-2x-10 \big]
\]

\item[\textbullet] \textbf{\'Etape 5:} on réduit ce qu'il y a dans les crochets (on calcule) et on transforme les crochets en parenthèses (car il n'y a plus de parenthèses à l'intérieur donc inutile de laisser des crochets). On obtient alors la factorisation.
\[
\boxed{B = (2x+3)( -x-15 )}
\]
\end{itemize}

\newpage

\section*{Factorisations avec identités remarquables}

\subsection*{Rappels}

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sr@{\,$=$\,}Sl|}
\hline\rowcolor{bleuciel}
Forme développée &  Forme Factorisée\\
\hline
$a^2 + 2ab + b^2$ & $(a+b)^2$\\
\hline
$a^2 - 2ab + b^2$ & $(a-b)^2$\\
\hline
$a^2 - b^2$ & $(a-b)(a+b)$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\subsection*{Avec l'une des identités (a+b)² ou (a-b)²}

\paragraph*{Exemple 3:} on souhaite factoriser $C = 9x^2 + 25 - 30x$.

Il n'y a pas de facteur commun donc c'est nécessairement une identité remarquable.

Il y a 3 termes et un signe \og $-$ \fg, donc c'est de la forme $a^2-2ab+b^2$.

On remarque que : $9x^2 = (3x)^2$ et $25=5^2$ donc:
\begin{align*}
C & = (3x)^2 - 30x + 5^2\\
C&  = \underbrace{(3x)^2}_{a^2} - \underbrace{2 \times (3x) \times 5}_{2ab} + \underbrace{5^2}_{b^2}\\
\Aboxed{C & = (3x-5)^2}
\end{align*}

\subsection*{Avec (a-b)(a+b)}

\paragraph*{Exemple 4:} on souhaite factoriser $D=49 - 81x^2$.

Il n'y a que deux termes (séparés par un \og $-$ \fg)  et il n'y a aucun facteur commun: c'est donc une identité remarquable.
\begin{align*}
D & = 49 - 81x^2\\
D & = \underbrace{7^2}_{a^2} - \underbrace{(9x)^2}_{b^2}\\
\Aboxed{D & = (7-9x)(7+9x)}
\end{align*}

\paragraph*{Exemple 5:} on souhaite factoriser $E = 25x^2 - 7$.

Il n'y a que deux termes séparés par un signe \og $-$ \fg{} et sans facteur commun, donc c'est de la forme $a^2-b^2$.
\begin{align*}
E & = (5x)^2 - \big(\sqrt7\big)^2\\
\Aboxed{E& = \big(5x-\sqrt7\big)\big(5x+\sqrt7\big)}
\end{align*}

\paragraph*{Remarque:} tout nombre positif peut être considéré comme le carré de sa racine carrée : $a = \big(\sqrt{a}\big)^2$ pour $a\geqslant0$.
\end{document}