\documentclass[french]{article}
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% Couleurs

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% styles des titres

%%% Titre de la fiche

\renewcommand{\title}[1]{%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill=bleuciel,ellipse,decorate,decoration={random steps,segment length=3pt,amplitude=2pt}, align=center,inner ysep=5mm, inner xsep=0pt,ball color=bleuciel] (titre) {\ECFJD\Huge #1};
\node[below] (auteur) at (titre.south) {\ECFJD Une fiche de cours de Stéphane Pasquet - Mise à jour : \today};
\node[below] at (auteur.south) {(\url{https://courspasquet.fr})\qquad\qquad(\url{https://mathweb.fr})};
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

%%% section

\titleformat{\section}[block]
{\ECFJD\fontsize{16}{14}\selectfont\color{bleu}}
{\thesection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% subsection

\titleformat{\subsection}[block]
{\ECFJD\fontsize{12}{12}\selectfont\color{orangesanguine}}
{\thesubsection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
{\ECFJD\color{vert}}{\theparagraph}{1em}{}

%%% pied et tête de page

\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\lhead{}
\cfoot{\ECFJD\Large\color{white}\fcolorbox{bleu}{bleu}{\thepage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}


\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(\LenToUnit{5mm},\LenToUnit{5mm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\draw[fill=yellow!10,draw,thick,decorate,decoration = {random steps}] (0,0) rectangle +(\dimexpr\paperwidth-10mm,\dimexpr\paperheight-10mm);
		\end{tikzpicture}
	}
}


\title{Pourcentages}

\section*{Rappels de collège}

\subsection*{Définition}

Un pourcentage est une proportion d'un nombre.

\subsection*{Pourcentage d'un nombre}

\pourcent{30} du nombre 150 est égal à 45 car : 
\[ 
\dfrac{30}{100}\times150 = \dfrac{30\times150}{100}=\dfrac{4500}{100}=45.
\]

\subsection*{Que représente un nombre par rapport à un autre en pourcentage ?}

Par rapport au nombre 150, le nombre 30 représente \pourcent{20} car:
\[
\dfrac{30}{150}\times100=\dfrac{30\times100}{150}=20.
\]

\section*{\'Evolutions simples}

Une évolution est une augmentation ou une diminution.


\begin{center}
\begin{multicols}{2}
\begin{tikzpicture}
\node[draw,ellipse] (x) at (0,0) {$x$};
\node[draw,ellipse] (y) at (5,0) {$y$};
\draw[->,>=latex] (x.east) -- (y.west) node[midway,above] {$-\pourcent{t}$};
\draw[red,->,>=latex] (x.north east) to[bend left=30] (y.north west);
\node[red] (cm) at ($0.5*(x.east) + 0.5*(y.west) + (0,1.3)$) {$\times\left(1-\frac{t}{100}\right)$};
\draw[red,<-,>=latex] (cm.east) -- ($(cm.east)+(0.5,0)$) node[right,text width=2.3cm] {coefficient multiplicateur};
%
\draw[bleu,->,>=latex] (y.south west) to[bend left=30] (x.south east);
\node[bleu] (cmr) at ($0.5*(x.east) + 0.5*(y.west) + (0,-1.4)$) {$\times\dfrac{1}{1-\frac{t}{100}}$};
\draw[bleu,<-,>=latex] (cmr.west) -- ($(cmr.west)+(-0.5,0)$) node[left,text width=2.3cm] {coefficient multiplicateur réciproque};
\end{tikzpicture}

\columnbreak

\begin{tikzpicture}
\node[draw,ellipse] (x) at (0,0) {$x$};
\node[draw,ellipse] (y) at (5,0) {$y$};
\draw[->,>=latex] (x.east) -- (y.west) node[midway,above] {$+\pourcent{t}$};
\draw[red,->,>=latex] (x.north east) to[bend left=30] (y.north west);
\node[red] (cm) at ($0.5*(x.east) + 0.5*(y.west) + (0,1.3)$) {$\times\left(1+\frac{t}{100}\right)$};
\draw[red,<-,>=latex] (cm.east) -- ($(cm.east)+(0.5,0)$) node[right,text width=2.3cm] {coefficient multiplicateur};
%
\draw[bleu,->,>=latex] (y.south west) to[bend left=30] (x.south east);
\node[bleu] (cmr) at ($0.5*(x.east) + 0.5*(y.west) + (0,-1.4)$) {$\times\dfrac{1}{1+\frac{t}{100}}$};
\draw[bleu,<-,>=latex] (cmr.west) -- ($(cmr.west)+(-0.5,0)$) node[left,text width=2.3cm] {coefficient multiplicateur réciproque};
\end{tikzpicture}
\end{multicols}
\end{center}

\subsection*{\'Egalités fondamentales}

\begin{center}
\begin{multicols}{2}
$\boxed{y = \left(1-\dfrac{t}{100}\right)x}$
\qquad
$\boxed{x = \dfrac{1}{1-\frac{t}{100}}\times y}$

\columnbreak

$\boxed{y = \left(1+\dfrac{t}{100}\right)x}$
\qquad
$\boxed{x = \dfrac{1}{1+\frac{t}{100}}\times y}$
\end{multicols}

$\boxed{t=\dfrac{y-x}{x}\times100}\quad\to\quad\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}\times100$
\end{center}

\paragraph*{Exemple de calcul en connaissant x et t:} un article valant 50 \euro{} voit son prix augmenter de \pourcent{40}. Le nouveau prix est:
\[
y=\left(1+\frac{40}{100}\right)\times50=1,4\times50=70\text{ \euro}.
\]

\paragraph*{Exemple de calcul en connaissant t et y:} un article après une solde de \pourcent{20} vaut 80 \euro. Son prix initial était:
\[
x = \dfrac{1}{1-\frac{20}{100}}\times 80 = \dfrac{1}{0,8}\times 80=100\text{ \euro}.\]

\paragraph*{Exemple de calcul en connaissant x et y:} un prix est passé de 75 \euro{} à 110 \euro. L'évolution en pourcentage se calcule en partant de l'égalité fondamentale:
\begin{align*}
t & = \dfrac{110-75}{75}\times100\\
t & \approx +\pourcent{46,67}
\end{align*}

\section*{\'Evolutions successives}

Ici, $t_1$ et $t_2$ sont deux pourcentages positifs ou négatifs.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[draw,ellipse] (x) at (0,0) {$x$};
\node[draw,ellipse] (y) at (5,0) {$y$};
\node[draw,ellipse] (z) at (10,0) {$z$};
\draw[->,>=latex] (x.east) -- (y.west) node[midway,above] {$\pourcent{t_1}$};
\draw[->,>=latex] (y.east) -- (z.west) node[midway,above] {$\pourcent{t_2}$};
\draw[red,->,>=latex] (x.north east) to[bend left=30] (y.north west);
\node[red] at ($0.5*(x.east) + 0.5*(y.west) + (0,1.3)$) {$\times\left(1+\frac{t_1}{100}\right)=CM_1$};
\draw[bleu,->,>=latex] (y.north east) to[bend left=30] (z.north west);
\node[bleu] at ($0.5*(y.east) + 0.5*(z.west) + (0,1.3)$) {$\times\left(1+\frac{t_2}{100}\right)=CM_2$};
\draw[orangesanguine,->,>=latex] (x.south east) to[bend right=10] (z.south west);
\node[orangesanguine] at ($0.5*(x.south)+0.5*(z.south)+(0,-1)$) {$\times CMG = CM_1\times CM_2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\[
\boxed{z = \underbrace{CM_1 \times CM_2}_{CMG} \times x}\qquad CMG:\text{ coefficient multiplicateur global.}
\]

\paragraph*{Exemple:} un prix diminue de \pourcent{15} puis augmente de \pourcent{10}. Le CMG est égal à :
\[
\left(1-\frac{15}{100}\right)\times\left(1+\frac{10}{100}\right)=0,85\times1,1=\boxed{0,935=CMG}.
\]
Le taux d'évolution global se calcule alors ainsi:
\[
\dfrac{t}{100} = CMG-1=0,935-1= -0,065 \iff t = -0,065\times100 \iff \boxed{t = -\pourcent{6,5}}
\]
Diminuer de \pourcent{15} puis augmenter de \pourcent{10} revient donc globalement à diminuer de \pourcent{6,5}.
\end{document}