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% styles des titres

%%% Titre de la fiche

\renewcommand{\title}[1]{%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
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\node[below] (auteur) at (titre.south) {\ECFJD Une fiche de cours de Stéphane Pasquet - Mise à jour : \today};
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%%% section

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%%% paragraph

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%%% pied et tête de page

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\begin{document}

\pagestyle{fancy}

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{%
	\put(\LenToUnit{5mm},\LenToUnit{5mm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\draw[fill=yellow!10,draw,thick,decorate,decoration = {random steps}] (0,0) rectangle +(\dimexpr\paperwidth-10mm,\dimexpr\paperheight-10mm);
		\end{tikzpicture}
	}
}

%------------------------------------------------------

\title{Systèmes linéaires}

\section*{Définition}

Un système linéaire de deux équations à deux inconnues est de la forme :
\[
\systeme{ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0}
\]

Résoudre un tel système signifie trouver les nombres $x$ et $y$ qui satisfont les deux équations.

\paragraph*{Exemple:} le système $\systeme{3x + 5y = -2, x-y=2}$ admet pour solutions $x=1$ et $y=-1$ car :

\medskip

\begin{itemize}
\item[\textbullet] d'une part $3\times1 + 5\times(-1)=3-5=-2$;
\item[\textbullet] d'autre part $1-(-1)=1+1=2$.
\end{itemize}

$x$ et $y$ sont donc bien solutions des deux équations.

\section*{Méthodes de résolution}

\subsection*{Méthode par substitution}

Cette méthode consiste à exprimer une inconnue (par exemple $x$)) en fonction d'une autre (par exemple $y$) dans une équation, et de la remplacer dans l'autre équation.

\paragraph*{Exemple:} on doit résoudre le système $\systeme{3x + 5y = -2@(E_1), x-y=2@(E_2)}$

\begin{itemize}
\item[\textbullet] On peut en premier exprimer $x$ en fonction de $y$ dans $(E_2)$ : $x-y=2 \iff x = 2+y$.
\item[\textbullet] On peut ensuite remplacer $x$ par $2+y$ dans $(E_1)$ :
\[
3x+5y=-2 \iff 3(2+y)+5y=-2 \iff 6+3y+5y=-2 \iff 8y=-8 \iff y=-1.
\]
\item[\textbullet] On peut maintenant calculer $x$ : 
\[ x = 2+y = 2+(-1) = 1. \]
\end{itemize}
On présente cette résolution ainsi:
\begin{align*}
\begin{cases}
3x + 5y & = -2\\
x-y &=2
\end{cases} & \iff 
\begin{cases}
3x+5y&=-2\\
x&=2+y
\end{cases}
\\
& \iff
\begin{cases}
3(2+y)+5y & =-2\\
x&=2+y
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
8y&=-8\\
x&=2+y
\end{cases}\\
&\iff
\begin{cases}
y&=-1\\
x&=1
\end{cases}
\end{align*}

\subsection*{Méthode par addition}

Cette méthode consiste à multiplier une ou deux équations du système pour faire apparaître les mêmes coefficients devant les mêmes inconnues.

On souhaite résoudre le système $\systeme{3x+5y=7@(E_1),2x-3y=-2@(E_2)}$

\begin{itemize}
\item[\textbullet] On va d'abord multiplier $(E_1)$ par 3 et $(E_2)$ par 5 pour faire apparaître \og $15y$ \fg{} dans les deux équations :
\[
\systeme{3x+5y=7@(E_1),2x-3y=-2@(E_2)} \iff \systeme{9x+15y=21@(E_1)\leftarrow3(E_1),10x-15y=-10@(E_2)\leftarrow5(E_2)}
\]

\item[\textbullet] Ensuite, on ajoute les deux équations pour éliminer les \og $y$ \fg{}, en gardant l'une des deux équations du système initial:
\begin{align*}
\systeme{3x+5y=7@(E_1),2x-3y=-2@(E_2)} & \iff \systeme{3x+5y=7@(E_1),19x=11@(E_2)\leftarrow(E_1)+(E_2)}\\
& \iff \systeme{3x+5y=7@(E_1),x=\frac{11}{19}@(E_2)}
\end{align*}

\item[\textbullet] On peut ensuite refaire la même chose à partir du système initial pour éliminer les \og $x$ \fg{}:
\begin{align*}
\systeme{3x+5y=7@(E_1),2x-3y=-2@(E_2)} & \iff \systeme{6x+10y=14@(E_1)\leftarrow2(E_1),6x-9y=-6@(E_2)\leftarrow3(E_2)} \\
& \iff \systeme{3x+5y=7@(E_1),19y=20@(E_2)\leftarrow(E_1)-(E_2)}\\
& \iff \systeme{3x+5y=7,y=\frac{20}{19}}
\end{align*}  
\end{itemize}
Les solutions sont donc $x=\dfrac{11}{19}$ et $y=\dfrac{20}{19}$.

\subsection*{Déterminant d'un système}
\[
(S)\,:\,\systeme{ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0} \longrightarrow \det(S)=ab'-ba'.
\]

\bigskip

Un système $(S)$ admet une unique solution si $\det(S) \neq 0$.

\paragraph*{Exemple:} pour le système du paragraphe précédent, on trouve :
\[
(S)\,:\,\systeme{3x+5y=7,2x-3y=-2} \longrightarrow \det(S)=3\times(-3)-5\times2=-19\neq0.\]
Le déterminant n'est pas égal à 0 donc on peut le résoudre.

\paragraph*{Remarque:} il faut calculer le déterminant avant de tenter de résoudre le système.
\[
\begin{cases}
\det(S)\neq0 & \iff \text{le système admet une unique solution en $x$ et $y$}\\
\det(S)=0 & \iff \begin{cases}
\frac{a}{a'}=\frac{c}{c'} & \iff \text{les équations sont équivalentes, elles représentent la même droite}\\
\frac{a}{a'}\neq\frac{c}{c'} & \iff \text{aucune solution, les équations représentent des droites parallèles}
\end{cases}
\end{cases}
\]
\end{document}