
\begin{enumerate}
\item On peut écrire : $f(x)=-4(x+3)^2+9$, qui est la forme canonique d'une fonction carré, avec $a=-4$, $\alpha=-3$ et $\beta=9$. D'où le tableau de variations suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.5,color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,Variations de $f$/1.5}{$-\infty$,$-3$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/,+/$9$,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $\begin{aligned}[t]
f(x)=0 & \iff 9=4(x+3)^2\\
& \iff \sqrt9=\sqrt{4(x+3)^2}\text{ ou }-\sqrt9=\sqrt{4(x+3)^2}\\
& \iff 2(x+3)=3\text{ ou } 2(x+3)=-3\\
& \iff x+3=\dfrac{3}{2}\text{ ou } x+3=-\dfrac{3}{2}\\
& \iff x=\dfrac{3}{2}-3\text{ ou } x=-\dfrac{3}{2}-3\\
& \iff x=-\dfrac{3}{2}\text{ ou } x=-\dfrac{9}{2}.
\end{aligned}$

\underline{L'ensemble solution de l'équation $f(x)=0$ est donc : $S=\left\{-\dfrac{9}{2}~;~-\dfrac{3}{2}\right\}$.}

\begin{rem}
On aurait aussi pu factoriser $f(x)$:
\begin{align*}
f(x)=0 & \iff 9-4(x+3)^2=0\\
& \iff 3^2 - \big[2(x+3)\big]^2=0\\
& \iff \big[3-2(x+3)\big]\big[3+2(x+3)\big]=0\\
& \iff (3-2x-6)(3+2x+6)=0\\
& \iff (-3-2x)(9+2x)=0\\
& \iff -3-2x=0\text{ ou } 9+2x=0\\
& \iff x=-\dfrac{3}{2}\text{ ou }x=-\dfrac{9}{2}.
\end{align*}
\end{rem}

\bigskip

\item $\begin{aligned}[t]
f(x)\geqslant-16 & \iff -4(x+3)^2+9 \geqslant -16\\
& \iff -4(x+3)^2+25 \geqslant 0\\
& \iff 25 - 4(x+3)^2 \geqslant\\
& \iff 5^2 - \big[2(x+3)\big]^2 \geqslant 0\\
& \iff \big[5-2(x+3)\big]\big[5+2(x+3)\big] \geqslant0\\
& \iff (5-2x-6)(5+2x+6) \geqslant 0\\
& \iff (-2x-1)(2x+11) \geqslant 0
\end{aligned}$

\medskip

Pour résoudre cette dernière inéquation, on dresse le tableau de signes de l'expression\linebreak$(-2x-1)(2x+11)$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3.5,color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$-2x-1$/0.5,$2x+11$/0.5,$(-2x-1)(2x+11)$/0.5}{$-\infty$,$-\frac{11}{2}$,$-\frac{1}{2}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,,+,z,-}
\tkzTabLine{,-,z,+,,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\underline{Ainsi, l'ensemble solution de l'inéquation $f(x)\geqslant-16$ est : $S=\intervFF{-\dfrac{11}{2}}{-\dfrac{1}{2}}$.}
\end{enumerate}
