

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\coord{\alpha_1}{\beta_1}$ sont les coordonnées du sommet de la parabole qui représente graphiquement $f$; donc $\alpha_1=-2$ et $\beta_1=3$.

\item On peut constater que le point de coordonnées \coord{-1}{1} appartient à $\mathcal{C}_f$.

Ainsi, $f(-1)=1$, c'est-à-dire $a_1(-1+2)^2+3=1$ (en remplaçant $x$ par $-1$, $\alpha_1$ par $-2$ et $\beta_1$ par 3.

On en déduit alors que $a_1=1-3=-2$, et donc :
\[
\boxed{f(x)=-2(x+2)^2+3}
\]
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\alpha_2=1$ et $\beta_2=-2$ car le sommet de la parabole représentant $g$ a pour coordonnées \coord{1}{-2}.

\item Les deux points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses ont pour coordonnées \coord{-1}{0} et \coord{3}{0}.

\medskip

On en déduit alors que:
\[
g(-1)=0,\qquad\text{soit:}\qquad a_2(-1-1)^2-2=0,
\]
donc:
\[
4a_2=2 \]
soit:
\[ a_2=\dfrac{1}{2}. \]
Ainsi,
\[
\boxed{g(x)=\dfrac{1}{2}(x-1)^2-2}
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
