
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item\label{ihejkrhih} Pour développer $\big(7 - 3\sqrt2\big)^2$, on utilise l'identité remarquable:
\[
(a-b)^2 = a^2-2ab + b^2
\]
en prenant $a=7$ et $b=3\sqrt2$, ce qui donne:
\begin{align*}
\big(7 - 3\sqrt2\big)^2 & = 7^2 - 2 \times 7 \times 3\sqrt2 + \big(3\sqrt2)^2\\
& = 49 - 42\sqrt2 + 3^2\big(\sqrt2\big)^2\\
& = 49-42\sqrt2+9\times2\\
& = 49-42\sqrt2+18\\
\Aboxed{\big(7 - 3\sqrt2\big)^2 & = 67 - 42\sqrt2}
\end{align*}

\item On cherche à trouver le signe de $7-3\sqrt2$.

On sait que $2 < 4$ donc $\sqrt2 < \sqrt4$, c'est-à-dire $\sqrt2 < 2$. En multipliant par $-3$, on obtient:
\[
-3\sqrt2 > -3\times2\qquad\text{soit}\qquad -3\sqrt2 > -6
\]
et en ajoutant 7, on arrive à:
\[
7-3\sqrt2 > 1
\]
donc $7-3\sqrt2 > 0$.

\item Du calcul de la question \ref{ihejkrhih}, on déduit:
\[
\sqrt{\big(7 - 3\sqrt2\big)^2} = \sqrt{67 - 42\sqrt2}
\]
Or, $7-3\sqrt2 > 0$ donc $\sqrt{\big(7 - 3\sqrt2\big)^2}=7-3\sqrt2$.

Finalement, on obtient:
\[
\boxed{\sqrt{67 - 42\sqrt2} = 7-3\sqrt2}
\]
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item \label{jesehggjkbieh}On a:
\begin{align*}
\big(1 - 5\sqrt3\big)^2 & = 1^2 - 2 \times 1 \times 5\sqrt3 + \big(5\sqrt3\big)^2\\
& = 1-10\sqrt3 + 25\times3\\
\Aboxed{\big(1 - 5\sqrt3\big)^2 & = 76 - 10\sqrt3}
\end{align*}

\item Il est assez flagrant que $5\sqrt3 > 1$ donc $1-5\sqrt3 < 0$.

\item De la question \ref{jesehggjkbieh}, on déduit:
\[
\sqrt{\big(1 - 5\sqrt3\big)^2} = \sqrt{76 - 10\sqrt3}
\]
Or, $1-5\sqrt3<0$ donc $\sqrt{\big(1 - 5\sqrt3\big)^2}=|1-5\sqrt3|=5\sqrt3-1$. Ainsi,
\[
\boxed{5\sqrt3-1 = \sqrt{76 - 10\sqrt3}}
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
