
Premier constat: les deux membres de l'égalité à démontrer sont positifs. Ainsi, démontrer l'égalité entre leur carré est équivalent. En d'autres termes, démontrer l'égalité:
\[
\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}=\sqrt{a+\sqrt{b}}
\]
est équivalent à démontrer l'égalité:
\[
\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\right)^2 = \left( \sqrt{a+\sqrt{b}} \right)^2
\]
c'est-à-dire:
\[
\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\right)^2 = a+\sqrt{b}.
\]
C'est ce que nous allons faire.

Développons le membre de gauche à l'aide de l'identité remarquable: \[
(A+B)^2=A^2+2AB+B^2.
\]
\begin{align*}
& \left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\right)^2 \\
=\ & \left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\right)^2 + 2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\times\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} + \left(\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\right)^2 \\
=\ & \frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2} + 2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}\times\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} + \frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}\\
=\ & \frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2} + \frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}+ 2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}\times\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\\
& \text{(on a réorganisé les termes)}\\
=\ & a + 2\sqrt{\frac{\big(a+\sqrt{a^2-b}\big)\big(a-\sqrt{a^2-b}\big)}{4}}\\
=\ & a + 2\frac{\sqrt{a^2-\big( \sqrt{a^2-b} \big)^2}}{\sqrt4}\\
=\ & a + \sqrt{a^2-(a^2-b)}\\
=\ & a + \sqrt{b}.\text{ (nous avons démontré l'égalité souhaitée)}
\end{align*}

