
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Dans le triangle équilatéral ABC, $\angle{ABC}=60\degres$.

Dans le triangle NBM rectangle en M,
\[
\tan\angle{NBM}=\dfrac{NM}{BM}
\]
donc :
\[
\tan60\degres=\dfrac{NM}{x}.
\]
On a donc :
\[
\boxed{MN=x\tan60\degres=x\sqrt{3}}
\]

\item Par symétrie, $BM=QC=x$ et $MH=HQ=3-x$.

Donc, $MQ=2\times(3-x)$, soit $\boxed{MQ=6-2x}$.
\end{enumerate}

\item On veut que MNPQ soit un carré.
\begin{enumerate}
\item La condition mène à l'égalité :
\[
MQ=MN
\]
c'est-à-dire, d'après la question 1 :
\[
\boxed{x\sqrt{3}=6-2x}
\]

\item Si $x\sqrt{3}=6-2x$, alors $x\sqrt{3}+2x=6$.

Ainsi, $\left(\sqrt{3}+2\right)x=6$, soit :
\[
\boxed{x=\dfrac{6}{2+\sqrt{3}}}
\]
En mathématiques, on a souvent l'habitude de ne pas laisser les résultats sous cette forme (avec un radical au dénominateur).

On continue donc le calcul ainsi:
\begin{align*}
\dfrac{6}{2+\sqrt{3}} & = \dfrac{6\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}\\
& = \dfrac{12-6\sqrt{3}}{4-3}\\
& = 12-6\sqrt{3}
\end{align*}

de sorte à ce que le dénominateur soit entier.

On peut s'assurer que $x<3$ en trouvant une valeur approchée :
\[ x\approx1,6.\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
