
\begin{enumerate}
\item La figure complétée est celle donnée en fin de correction page suivante (manque de place sur celle-ci).

\item Calculons la longueur des côtés du triangle ABC :

\begin{multicols}{3}
\scalebox{0.85}{$\begin{aligned}[t]
\rm AB^2 & = \big(x_\text{B}-x_\text{A}\big)^2 + \big(y_\text{B}-y_\text{A}\big)^2\\
& = \big(5-(-1)\big)^2 + \big(-3-1\big)^2\\
& = 6^2+(-4)^2\\
& = 36+16\\
\rm AB^2 & = 52.
\end{aligned}$}

\columnbreak

\scalebox{0.85}{$\begin{aligned}[t]
\rm AC^2 & = \big(x_\text{C}-x_\text{A}\big)^2 + \big(y_\text{C}-y_\text{A}\big)^2\\
& = \big(4-(-1)\big)^2 + \big(2-1\big)^2\\
& = 5^2+1^2\\
& = 25+1\\
\rm AC^2 & = 26.
\end{aligned}$}

\columnbreak

\scalebox{0.85}{$\begin{aligned}[t]
\rm BC^2 & = \big(x_\text{C}-x_\text{B}\big)^2 + \big(y_\text{C}-y_\text{B}\big)^2\\
& = \big(4-5\big)^2 + \big(2-(-3)\big)^2\\
& = 1^2+5^2\\
& = 1+25\\
\rm BC^2 & = 26.
\end{aligned}$}
\end{multicols}

On remarque ainsi que $\rm AB^2=AC^2+BC^2$ et que $\rm AC^2=BC^2$ (donc que $\rm AC=BC$).

\uline{Le triangle ABC est donc rectangle isocèle en C.}

\item Le triangle ABC étant rectangle en C, le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse, à savoir [AB].

Ainsi, F\coord{\dfrac{x_A+x_B}{2}}{\dfrac{y_A+y_B}{2}}, soit F\coord{\dfrac{-1+5}{2}}{\dfrac{1-3}{2}}, \uline{et donc F\coord{2}{-1}}.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[orange,dashed] (0,-4) -- (4,2);
\draw[gray,dashed] (-3,-5) grid (6,7);
\draw[thick,->] (-4,0) -- (7,0);
\draw[thick,->] (0,-6) -- (0,8);
\node[below left,red] at (0,0) {\textbf{O}};
\draw[very thick,red] (0,0) -- (1,0) node[below] {I};
\draw[very thick,red] (0,0) -- (0,1) node[left] {J};
\fill (-1,1) circle (1.5pt) node[above left] {A};
\fill (5,-3) circle (1.5pt) node[below right] {B};
\fill (4,2) circle (1.5pt) node[above right] {C};
\fill[orange] (0,-4) circle (1.5pt) node[below left] {G};
%
\fill (-2,6) circle (1.5pt) node[above left] {D};
\fill (1.5,1.5) circle (1.5pt) node[below] {E};
\fill[green!50!black] (2,-1) circle (1.5pt) node[below left] {F};
%
\draw[purple] (-1,1) -- (5,-3) -- (4,2) -- (-2,6) -- cycle;
\draw[violet] (-1,1) -- (4,2);
\draw[violet] (5,-3) -- (-2,6);
%
\draw[green!50!black] (2,-1) circle (3.6055cm);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item E est le milieu de [AC] donc E\coord{\dfrac{x_A+x_C}{2}}{\dfrac{y_A+y_C}{2}}, soit F\coord{\dfrac{-1+4}{2}}{\dfrac{1+2}{2}}, \underline{et donc E\coord{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{3}{2}}}.

\item Si ABCD est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Ainsi, F (qui est le milieu de [AC]) est le milieu de [BD]. On en déduit alors les égalités suivantes :
\[
\begin{cases}
x_F=\dfrac{x_B+x_D}{2}\\[12pt]
y_F=\dfrac{y_B+y_D}{2}
\end{cases}
\]
D'où, en remplaçant les lettres par leur valeur :
\[
\begin{cases}
\dfrac{3}{2}=\dfrac{5+x_D}{2}\\[12pt]
\dfrac{3}{2}=\dfrac{-3+y_D}{2}
\end{cases}
\qquad\text{ou encore :}\qquad
\begin{cases}
3=5+x_D\\
3=-3+y_D
\end{cases}
\]
On en déduit alors que $x_D=3-5=-2$ et $y_D=3+3=6$.

\underline{Ainsi, D\coord{-2}{6}.}

\item E et F sont les milieux respectifs de [AC] et [AB].

Ainsi, d'après le théorème des milieux appliqué au triangle ABC, $\rm EF = \dfrac{BC}{2}$, soit $\boxed{\rm EF=\dfrac{\sqrt{26}}{2}}$.

\item G est le symétrique de C par rapport à F donc F est le milieu de [CG]. Ainsi :
\[
\begin{cases}
x_F=\dfrac{x_C+x_G}{2}\\[12pt]
y_F=\dfrac{y_C+y_G}{2}
\end{cases}
\]
et donc :
\[
\begin{cases}
2=\dfrac{4+x_G}{2}\\[12pt]
-1=\dfrac{2+y_G}{2}
\end{cases}
\]
ou encore, en multipliant par 2 de chaque côté du signe \og $=$ \fg{} :
\[
\begin{cases}
4=4+x_G\\
-2=2+y_G
\end{cases}
\qquad\text{soit}\qquad
\begin{cases}
x_G=0\\
y_G=-4
\end{cases}
\]
\underline{Ainsi, G\coord{0}{-4}.}
\end{enumerate}

\vspace*{3cm}

