
\begin{enumerate}
\item Le point E est défini par l'égalité : $\vv{EB}=\dfrac{1}{2}\vv{BA}$. Pour construire E, il vaut mieux transformer l'égalité en :
\[
\vv{BE}=\dfrac{1}{2}\vv{AB}
\]
afin de partir d'un point que l'on connaît (ici, le point B).

\item Les points E et F sont disposés ainsi :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below left] {A} -- (2,3) node[above left] {B} -- (6,3) node[above right] {C} -- (4,0) node[below right] {D} -- cycle;
\draw (2,3) -- (3,4.5) node[above] {E};
\fill (3,4.5) circle (2pt);
\draw (4,0) -- (12,0) node[right] {F};
\fill (12,0) circle (2pt);
\draw[very thick,red,->,>=latex] (0,0) -- (4,0);
\draw[very thick,red,->,>=latex] (4,0) -- (8,0);
\draw[very thick,red,->,>=latex] (8,0) -- (12,0);
\draw[very thick,blue,->,>=latex] (0,0) -- (1,1.5);
\draw[very thick,blue,->,>=latex] (1,1.5) -- (2,3);
\draw[very thick,blue,->,>=latex] (2,3) -- (3,4.5);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Plaçons-nous dans le repère $\big(A;\vv{AD},\frac{1}{2}\vv{AB}\big)$.

Dans ce repère, C\coord{1}{2}, E\coord{0}{3} et F\coord{3}{0}. Ainsi,
\[
\vv{CE}\dbinom{x_E-x_C}{y_E-y_C}=\dbinom{0-1}{3-2}=\dbinom{-1}{1}\quad\text{et}\quad\vv{CF}\dbinom{3-1}{0-2}=\dbinom{2}{-2}.
\]
On a $(-1)\times(-2)-1\times2=0$ donc $\vv{CE}$ et $\vv{CF}$ sont colinéaires. Or, ils ont un point en commun (le point C) donc \uline{E, C et F sont alignés}.

\begin{rem}
Le choix du repère importe peu. J'ai choisi en second axe $\frac{1}{2}\vv{AB}$ pour simplifier les futures coordonnées, mais rien ne nous empêche de nous placer dans le repère $\big(A;\vv{AD},\vv{AB}\big)$ ou tout autre repère.
\end{rem}
\end{enumerate}
