
Le point $D$ étant défini par une égalité vectorielle où il apparaît deux fois, il est conseillé d'utiliser la relation de Chasles afin de simplifier cette dernière de sorte à ce que le point $D$ n'apparaisse qu'une seule fois. On peut donc, par exemple, écrire $\vv{BD}=\vv{BA}+\vv{AD}$ (ici, j'ai décomposé en utilisant le point $A$ car il apparaît dans l'autre vecteur qui s'écrit avec le point $D$).
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On a ainsi:
\begin{align*}
\vv{AD}+\vv{BD}=\vv{AC} & \iff \vv{AD} + \vv{BA}+\vv{AD} = \vv{AC}\\
& \iff 2\vv{AD} = \vv{AC} - \vv{BA}\\
& \iff 2\vv{AD} = \vv{AC} \textcolor{red}{+ \vv{AB}}\\
& \iff \vv{AD} = \dfrac{1}{2}\big(\textcolor{green!50!black}{\vv{AC} + \vv{AB}}\big).
\end{align*}
On a alors:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[above]{A} -- (-2,-2.5) node[left] {B} -- (3,-1) node[right] {C} -- cycle;
\draw[thick,red,->,>=latex] (0,0) -- (-2,-2.5);
\draw[thick,red,->,>=latex] (-2,-2.5) -- (1,-3.5) node[below] {E};
\draw[thick,green!50!black,->,>=latex] (0,0) -- (1,-3.5) node[midway,above,rotate=-75] {$\pmb{\vv{AC} + \vv{AB}}$\phantom{~~}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
$\vv{AC} + \vv{AB}$ est le \og vecteur diagonal \fg{} du parallélogramme $ABEC$. Les diagonales d'un parallélogrammes se coupent en leur milieu, et $D$ est défini comme le milieu du vecteur $\vv{AC} + \vv{AB}$; donc $D$ est le milieu de [BC].

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On aurait pu aussi raisonner de façon purement vectorielle en continuant la suite des équivalences :
\begin{align*}
\vv{AD}+\vv{BD}=\vv{AC} & \iff \vv{AD} = \dfrac{1}{2}\big(\textcolor{green!50!black}{\vv{AC} + \vv{AB}}\big)\\
& \iff \vv{AB}+\vv{BD}=\dfrac{1}{2}\big(\vv{AB}+\vv{BC}+\vv{AB}\big)\\
& \iff \vv{AB}+\vv{BD}=\dfrac{1}{2}\big(2\vv{AB}+\vv{BC}\big)\\
& \iff \vv{AB}+\vv{BD}=\dfrac{1}{2}\times2\vv{AB}+\dfrac{1}{2}\times\vv{BC}\big)\\
& \iff \cancel{\vv{AB}}+\vv{BD}=\cancel{\vv{AB}}+\dfrac{1}{2}\vv{BC}\\
& \iff \boxed{\vv{BD}=\dfrac{1}{2}\vv{BC}}
\end{align*}
Cette dernière égalité montre bien que $D$ est le milieu de [BC].
