
\begin{enumerate}
\item A\coord{-1}{2} et B\coord{3}{-7}, donc $\vv{\text{AB}}\dbinom{3-(-1)}{-7-2}$, soit $\vv{\text{AB}}\dbinom{4}{-9}$.

\begin{align*}
\text{M}\coord{x}{y}\in(\text{AB}) & \Longleftrightarrow \vv{\text{AM}}\dbinom{x+1}{y-2}~\text{et}~\vv{\text{AB}}\dbinom{4}{-9}~\text{sont colinéaires}\\
& \Longleftrightarrow -9(x+1)-4(y-2)=0\\
& \Longleftrightarrow -9x-4y-1=0.
\end{align*}

\underline{Une équation cartésienne de (AB) est donc $9x+4y+1=0$.}

\medskip

\item A\coord{3}{-2} et $\vv{u}\dbinom{2}{1}$ est un vecteur directeur de (AB).

\begin{align*}
\text{M}\coord{x}{y}\in(\text{AB}) & \Longleftrightarrow \vv{\text{AM}}\dbinom{x-3}{y+2}~\text{et}~\vv{u}\dbinom{2}{1}~\text{sont colinéaires}\\
& \Longleftrightarrow 1(x-3)-2(y+2)=0\\
& \Longleftrightarrow x-2y-7=0.
\end{align*}

\underline{Une équation cartésienne de (AB) est donc $x-2y-7=0$.}

\medskip

\item A\coord{5}{-4} et (AB) est parallèle à la droite d'équation cartésienne $x+y+1=0$.

La droite d'équation cartésienne $x+y+1=0$ a pour vecteur directeur $\vv{u}\dbinom{-1}{1}$ et (AB) est parallèle à cette droite, donc $\vv{u}$ est aussi un vecteur directeur de (AB). Donc :

\begin{align*}
\text{M}\coord{x}{y}\in(\text{AB}) & \Longleftrightarrow \vv{\text{AM}}\dbinom{x-5}{y+4}~\text{et}~\vv{u}\dbinom{-1}{1}~\text{sont colinéaires}\\
& \Longleftrightarrow 1(x-5)-(-1)(y+4)=0\\
& \Longleftrightarrow x+y-1=0.
\end{align*}

\underline{Une équation cartésienne de (AB) est donc $x+y-1=0$.}

\medskip

\item A\coord{3}{2} et (AB) a pour coefficient directeur $-\dfrac{1}{2}$.

Une droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$ a pour vecteur directeur $\vv{u}\dbinom{1}{m}$, où $m$ est le coefficient directeur de la droite.

Donc un vecteur directeur de (AB) est ici $\vv{u}\dbinom{1}{-\frac{1}{2}}$.

\begin{align*}
\text{M}\coord{x}{y}\in(\text{AB}) & \Longleftrightarrow \vv{\text{AM}}\dbinom{x-3}{y-2}~\text{et}~\vv{u}\dbinom{1}{-\frac{1}{2}}~\text{sont colinéaires}\\[1.5em]
& \Longleftrightarrow -\dfrac{1}{2}(x-3)-1(y-2)=0\\[1em]
& \Longleftrightarrow -\dfrac{1}{2}x-y+\dfrac{7}{2}=0\\[1em]
& \Longleftrightarrow x+2y-7=0.
\end{align*}

\underline{Une équation cartésienne de (AB) est donc $x+2y-7=0$.}
\end{enumerate}
