
\begin{enumerate}
\item Par lectures graphiques,
\begin{enumerate}
\item l'image de $-1$ par la fonction $f$ est $-3$;
\item un antécédent entier de 2 par la fonction $f$ est 0 car $f(0)=2$;
\item le nombre de solutions à l'équation $f(x)=0$ est 3 car la courbe coupe trois fois l'axe des abscisses.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Développons:
\begin{align*}
 & (x-2)\left(x-\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)\left(x-\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right) \\
= & (x-2)\left( x^2 - \frac{1-\sqrt5}{2}x - \frac{1+\sqrt5}{2}x + \dfrac{1+\sqrt5}{2}\times\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right)\\
= & (x-2)\left( x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt5}{2}x - \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt5}{2}x + \dfrac{1+\sqrt5}{2}\times\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right)\\
\end{align*}

\begin{align*}
= & (x-2) \left( x^2 - x + \frac{1^2-\sqrt5^2}{4}\right)\\
= & (x-2)(x^2-x-1)\\
= & x^3 - x^2 -x -2x^2+2x+2\\
= & x^3 - 3x^2 + x + 2\\
= & f(x).
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
f(x)=0 & \iff  (x-2)\left(x-\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)\left(x-\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right) =0\\
& \iff x-2 = 0 \text{ ou } x-\dfrac{1+\sqrt5}{2}=0 \text{ ou } x-\dfrac{1-\sqrt5}{2}=0\\
& \iff x=2 \text{ ou }  x=\dfrac{1+\sqrt5}{2} \text{ ou } x=\dfrac{1-\sqrt5}{2}.
\end{aligned}$

L'ensemble solutions de l'équation $f(x)=0$ est donc:
\[
S = \left\{ 2 ; \dfrac{1+\sqrt5}{2} ; \dfrac{1-\sqrt5}{2}  \right\}
\]

\item Le tableau de signes de $f$ peut être obtenu à partir de sa représentation graphique:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2,color,colorV=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorL=numpagecorrige!10]{$x$/0.8,$f(x)$/1}{$-3$,$\frac{1-\sqrt5}{2}$,$\frac{1+\sqrt5}{2}$,2,3}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+,}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
