
\begin{itemize}
\item Détermination de $f(x)= mx + p$.

On prend deux points de la droite verte dont les coordonnées sont entières (si possible): ici, $A\coord{-2}{-1}$ et $B\coord{3}{2}$.

Pour aller de $A$ à $B$, on fait : $+3$ en $y$ (à la verticale) pour $+5$ en $x$ (à l'horizontale). Le coefficient directeur est donc $m=\frac{3}{5}$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\rep{-3}{-3}{6}{4}
\draw[thick,green!50!black] plot[domain=-3:6] (\x,{3*\x/5+1/5});
\draw[very thick, >=latex,red, ->]  (-2,-1) -- (-2,2) node[midway,left] {$+3$};
\draw[very thick, >=latex,red, ->] (-2,2) -- (3,2) node[midway,above] {$+5$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour trouver l'ordonnée à l'origine, qui n'est pas très visible sur le schéma, on exploite le fait que le point $B\coord{3}{2}$ appartient à la droite et donc que ses coordonnées vérifient l'équation. Autrement dit, on remplace $x$ et $y$ par les coordonnées:
\begin{align*}
B \in (AB) & \iff y_B = \frac{3}{5}x_B + p\\
            & \iff 2 = \frac{3}{5}\times 3 + p\\
            & \iff p = 2 - \frac{9}{5} = \frac{10}{5}-\frac{9}{5} = \frac{1}{5}.
\end{align*}
Ainsi,
\[
\boxed{ f(x)=\frac{3}{5}x+\frac{1}{5} }
\]

\item Détermination de $g(x) = m'x + p'$.

On prend deux points de la droite: $C\coord{-1}{2}$ et $D\coord{4}{-1}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-3}{-3}{6}{4}
\draw[thick,blue!50!black] plot[domain=-3:6] (\x,{-3*\x/5+7/5});
\draw[very thick, >=latex,red, ->]  (-1,2) -- (-1,-1) node[midway,left] {$-3$};
\draw[very thick, >=latex,red, ->] (-1,-1) -- (4,-1) node[midway,above] {$+5$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
On obtient un coefficient directeur $m' = \frac{-3}{5}$. Ainsi, $g(x)=-\frac{3}{5}x+p'$.
\begin{align*}
D \in (CD) & \iff y_D = -\frac{3}{5}x_D + p'\\
           & \iff -1 = -\frac{3}{5}\times4 + p'\\
           & \iff p = -1 + \frac{12}{5} = \frac{-5+12}{5} = \frac{7}{5}.
\end{align*}
Ainsi,
\[
\boxed{ g(x) = -\frac{3}{5}x + \frac{7}{5} }
\]
\end{itemize}

\begin{rem}
Pour déterminer la valeur de $p$ et $p'$, sous avons pris les points $B$ et $D$, mais nous aurions pu aussi prendre les points $A$ et $C$.
\end{rem}
