
\begin{enumerate}
\item $\sqrt{x+1}=5$. On pose $X=x+1$. Alors,
\begin{align*}
\sqrt{x+1}=5 & \iff \sqrt{X}=5\\
& \iff X = 5^2\\
& \iff x+1 = 25\\
& \iff x = 24.
\end{align*}

On vérifie que $x=24$ vérifie l'égalité : $\sqrt{24+1}=\sqrt{25}=5$, ce qui est ce que nous souhaitons.

\medskip

\underline{L'ensemble solution de l'équation est donc $S=\{24\}$.}

\item $\sqrt{x-3}=1$. On pose $X=x-3$. Alors,
\begin{align*}
\sqrt{x-3}=1 & \iff \sqrt{X}=1\\
& \iff X = 1^2\\
& \iff x-3 = 1\\
& \iff x = 4.
\end{align*}

On vérifie que $x=4$ vérifie l'égalité : $\sqrt{4-3}=\sqrt{1}=1$, ce qui est ce que nous souhaitons.

\medskip

\underline{L'ensemble solution de l'équation est donc $S=\{4\}$.}

\item $\sqrt{2x-1}=6$. On pose $X=2x-1$. Alors,
\begin{align*}
\sqrt{2x-1}=6 & \iff \sqrt{X}=6\\
& \iff X = 6^2\\
& \iff 2x-1 = 36\\
& \iff 2x = 37\\
& \iff x = \dfrac{37}{2}.
\end{align*}

On vérifie que $x=\dfrac{37}{2}$ vérifie l'égalité : $\sqrt{2\times\dfrac{37}{2}-1}=\sqrt{37-1}=\sqrt{36}=6$, ce qui est ce que nous souhaitons.

\medskip

\underline{L'ensemble solution de l'équation est donc $S=\left\{\dfrac{37}{2}\right\}$.}

\item $\sqrt{5-2x}=7$. On pose $X=5-2x$. Alors,
\begin{align*}
\sqrt{5-2x}=7 & \iff \sqrt{X}=7\\
& \iff X = 7^2\\
& \iff 5-2x = 49\\
& \iff -2x = 44\\
& \iff x = -22.
\end{align*}

On vérifie que $x=-22$ vérifie l'égalité : $\sqrt{5-2\times(-22)}=\sqrt{5+44}=\sqrt{49}=7$, ce qui est ce que nous souhaitons.

\medskip

\underline{L'ensemble solution de l'équation est donc $S=\{-22\}$.}

\item $2\sqrt{x-1}-7=0$. On pose $X=x-1$. Alors,
\begin{align*}
2\sqrt{x-1}-7=0 & \iff 2\sqrt{X}=7\\
& \iff X = \dfrac{7}{2}\\
& \iff X = \left(\dfrac{7}{2}\right)^2\\
& \iff x-1 = \dfrac{49}{4}\\
& \iff x = \dfrac{49}{4}+1\\
& \iff x = \dfrac{53}{4}.
\end{align*}

On vérifie que $x=\dfrac{53}{4}$ vérifie l'égalité :
\[
2\sqrt{\frac{53}{4}-1}-7=2\sqrt{\dfrac{49}{4}}-7=2\times\dfrac{7}{2}-7=7-7=0,
\]
ce qui est ce que nous souhaitons.

\medskip

\underline{L'ensemble solution de l'équation est donc $S=\left\{\dfrac{53}{4}\right\}$.}

\item $\begin{aligned}[t]
5\sqrt{x+3}-1=0 & \iff 5\sqrt{x+3}=1\\
& \iff \sqrt{x+3}=\dfrac{1}{5}\\
& \iff x+3=\dfrac{1}{25}\\
& \iff x = \dfrac{1}{25}-3\\
& \iff x = -\dfrac{74}{25}
\end{aligned}$


\underline{L'ensemble solution de l'équation est donc $S=\left\{-\dfrac{22}{25}\right\}$.}
\end{enumerate}

\begin{rem}
Nous ne sommes pas obligés de toujours vérifier l'exactitude de la valeur trouvée, comme je l'ai fait dans les questions 1 à 5. Nous ne sommes pas non plus obligés de poser $X=\cdots$. Dans la question 6, j'ai justement fait autrement pour montrer qu'il est possible d'aller plus vite.

Attention toutefois : il faut tout de même vérifier que la valeur trouvée est possible quand il y a une racine carrée... En effet, si on trouve par exemple $x=-2$ et que l'équation comporte $\sqrt{x-3}$, cette valeur n'est pas possible car $\sqrt{-2-3}=\sqrt{-5}$ n'existe pas! Enfin... pas dans les nombres réels.
\end{rem}
