
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\sqrt{x}+2-x$. Le domaine de définition de $x\mapsto\sqrt{x}$ étant $\R_+$ et celui de $x\mapsto 2-x$ étant $\R$, le domaine de définition de $f$ est l'intersection des deux ensembles, c'est-à-dire :
\[
\underline{\mathcal{D}_f=\R_+=\intervFO{0}{+\infty}}.
\]


\item $g(x)=x+\dfrac{1}{x}$. Le domaine de définition de $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ étant $\R*$, celui de $g$ est aussi :\[
\underline{\mathcal{D}_g=\R*=\intervOO{0}{+\infty}\cup\intervOO{0}{+\infty}}.
\]

\item $f(1)=2+\sqrt1-1=2+1-1=2$; donc le point A\coord{1}{2} appartient à la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$.

$g(1)=\dfrac{1}{1}+1=1+1=1$, donc $A\in\mathcal{C}_g$, courbe représentative de $g$.

\medskip

\underline{Par conséquent, les deux courbes se coupent en A.}

\item On trace les deux courbes.

\medskip

On voit alors qu'il y a deux points d'intersection, dont le point $A$.

\begin{center}\shorthandoff{;}
\tikzset{%
	spy using mag glass/.style={%
		spy scope={%
			every spy on node/.style={
				circle,
				fill,
				fill opacity=0.2,
				text opacity=1},
			every spy in node/.style={
				magnifying glass,
				circular drop shadow,
				fill=white,
				draw,
				ultra thick,
				cap=round},
			#1}
	}
}
\begin{tikzpicture}[>=latex,spy using mag glass={magnification=3, size=1cm,connect spies}]
\rep{-5}{-4}{5}{3}
\clip (-5,-4) rectangle (5,3);
\draw[thick,violet] plot[domain=0:5,samples=70] (\x,{2+sqrt(\x)-\x});
\draw[thick,cyan] plot[domain=-5:-0.1,samples=70] (\x,{1/\x+\x});
\draw[thick,cyan] plot[domain=0.1:5,samples=70] (\x,{1/\x+\x});
\spy [blue,size=3cm,<-,>=latex] on (0.85,2) in node[fill=white] at (2.5,-2);
\end{tikzpicture}\shorthandon{;}
\end{center}


\item Le premier point d'intersection a pour abscisse à peu près 0,69. Par conséquent, les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ sont $x\approx0,69$ et $x=2$; ce sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes.

\item $\begin{aligned}[t]
f(x)=g(x) & \iff 2+\sqrt{x}-x=\dfrac{1}{x}+x\\
& \iff \textcolor{red}{x}\big(2+\sqrt{x}-x\big)=\textcolor{red}{x}\left(\dfrac{1}{x}+x\right) & \text{on multiplie par $x\neq0$}\\[-8pt]
& & \text{chaque membre de l'équation}\\
& \iff 2x+x\sqrt{x}-x^2=1+x^2 & \text{on distribue le $x$}\\
& \iff x\sqrt{x}=2x^2-2x+1
\end{aligned}$

Ainsi, les deux équations $f(x)=g(x)$ et $x\sqrt{x}=2x^2-2x+1$ sont équivalentes, ce qui signifie qu'elles sont exactement les mêmes solutions.

\begin{rem}
L'étape où on a multiplié par $x$ les deux membres de l'équation est importante. Ici, nous avons pu faire cela car $x=0$ n'est pas une solution de l'équation $f(x)=g(x)$. Si 0 avait été une solution de l'équation, on aurait tout de même pu multiplié par $x$, mais en posant la condition \og avec $x\neq0$ \fg{} et en transformant l'équivalence (\og $\iff$ \fg) en implication (\og $\Rightarrow$ \fg), ce qui rend la tâche moins évidente, mais possible tout de même. Dans un tel cas, les deux équations n'auraient pas eu exactement les mêmes solutions.
\end{rem}

\item $\begin{aligned}[t]
f(x)=g(x) & \iff x\sqrt{x}=2x^2-2x+1 & \text{d'après la question précédente}\\
& \Longrightarrow \big(x\sqrt{x}\big)^2=\big(2x^2-2x+1\big)^2 \\
& \Longrightarrow x^2 \times x = 4x^4-8x^3+8x^2-4x+1 & \text{d'après la formule}\\
&& (a+b+c)^2 = \\
&&a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\\
& \Longrightarrow 4x^4-9x^3+8x^2-4x+1=0.
\end{aligned}$

\begin{attention}
Dès que nous élevons au carré deux membres d'une équation, nous perdons l'équivalence. Cela signifie que SI $x$ est solution de $f(x)=g(x)$ ALORS $x$ est aussi solution de $4x^4-9x^3+8x^2-4x+1=0$, mais la réciproque est fausse.
\end{attention}

\item Développons :
\begin{align*}
(x-1)(ax^3+bx^2+xc+d) & = ax^4+bx^3+cx^2+dx-ax^3-bx^2-cx-d\\
& = ax^4 + (b-a)x^3 + (c-b)x^2 + (d-c)x - d\\
& = 4x^4-9x^3+8x^2-4x+1\text{ (par hypothèse)}.
\end{align*}

Donc les coefficients de $x^4$ doivent être égaux; de même pour ceux de $x^3$, $x^2$, $x$ et pour le nombre constant :
\[
\begin{cases}
a&=4\\
b-a&=-9\\
c-b&=8\\
d-c&=-4\\
-d=1
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
a=4\\
d=-1\\
b=-9+a=-9+4=-5\\
c=8+b=8-5=3
\end{cases}
\]
Ainsi,
\[
\underline{4x^4-9x^3+8x^2-4x+1 = (x-1)(4x^3-5x^2+3x-1)}.
\]
\end{enumerate}

\begin{rem}
Le fait d'écrire la dernière équation sous la forme $(x-1)(4x^3-5x^2+3x-1)=0$ est intéressante car pour trouver la solution différente de 1, il suffit de résoudre l'équation $4x^3-5x^2+3x-1=0$. Mais cette équation n'est pas facile à résoudre pour des élèves de lycées. Il existe cependant une méthode, que l'on appelle la \textit{méthode de Cardan}, qui permet de trouver la valeur exacte de la solution qu'il manque, et non une valeur approchée.
\end{rem}

En résumé, nous sommes partis de l'équation $\sqrt{x}+2-x=\dfrac{1}{x}+x$ et comme nous n'avons pas pu trouver de valeur exacte à toutes ses solutions, nous l'avons transformé en l'équation $(x-1)(4x^3-5x^2+3x-1)=0$ en ayant à l'esprit que les solutions de la 1\iere{} équation sont nécessairement dans l'ensemble solution de la seconde (ici, elles sont mêmes identiques). Si nous avons transformé la 1\iere{} équation, c'est dans l'espoir de trouver une équation plus simple à résoudre (ce qui est le cas pour les mathématiciens, mais pas pour les élèves de Seconde).

\medskip

On arrive ainsi à démontrer que la valeur exacte de la seconde solution est... (accrochez-vous...) :
\[
\sqrt[3]{\sqrt{\dfrac{\numprint{5041}}{\numprint{746496}}-\dfrac{\numprint{1331}}{\numprint{2985984}}}+\dfrac{71}{\numprint{1728}}}-\sqrt[3]{\sqrt{\dfrac{\numprint{5041}}{\numprint{746496}}-\dfrac{\numprint{1331}}{\numprint{2985984}}}-\dfrac{71}{\numprint{1728}}}+\dfrac{5}{12}\;,
\]
dont une valeur approchée est \numprint{0,688042944721}.

Je précise que $\sqrt[3]{y}$ est le nombre $x$ tel que $x^3=y$ (c'est l'antécédent de $y$ par la fonction cube).
