\chapter{Repérage dans le plan}

\newpage

\section{Repère}

\subsection{Définition générale}

\begin{defin}
Soient $O$, $I$ et $J$ trois points du plan euclidien tels que $I\notin(OJ)$.

Alors, on dit que $(O~;I,J)$ est un repère cartésien du plan.
\end{defin}

Cela signifie que l'on fait un \textit{maillage} du plan en traçant des droites parallèles à $(OI)$ et parallèles à $(OJ)$ comme ceci :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xslant=0.4,yslant=0.2]
\draw[thin,gray] (-5,-5) grid[xstep=1.5] (5,5);
\draw[thick] (-5,0) -- (5,0);
\draw[thick] (0,-5) -- (0,5);
\node[below left] at (0,0) {O};
\fill (1.5,0) circle (2pt) node[below] {I};
\fill (0,1) circle (2pt) node[left] {J};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Afin de faciliter les représentations futures, on fera en sorte que $(OI)$ et $(OJ)$ soient perpendiculaires, ce qui rend le repère \textbf{orthogonal}.

Si de plus $OI=OJ$ alors le repère est dit \textbf{orthonormé} (\textit{ortho} = \og angle droit \fg{} et \textit{normé} signifie que $OI=OJ$).

\medskip

Les droites $(OI)$ et $(OJ)$ sont orientées (comme la droite graduée représentant les nombres réels). Un repère est donc constitué de deux droites graduées qui se coupent en \og 0 \fg. Ces deux droites sont alors appelées les \textbf{axes} du repère.

\bigskip

\textcolor{red}{Dans la suite de ce chapitre, on se placera dans un repère orthonormé.}


\subsection{Coordonnées d'un point}

\begin{defin}
On considère que le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,I,J).

Soit M un point quelconque du plan.

Par M, on trace la parallèle à (OJ); elle coupe (OI) en $x$.

Par M, on trace la parallèle à (OI); elle coupe (OJ) en $y$.

Alors, $x$ est appelé l'\textbf{abscisse} de M et $y$, son \textbf{ordonnée}.

Le couple \coord{x}{y} représente les \textbf{coordonnées} du point M, et on note : M\coord{x}{y}.
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[gray,dashed] (-5,-3) grid (5,3);
\draw (-5,0) -- (5,0);
\draw (0,-3) -- (0,3);
\draw[thick,red] (0,0) -- (1,0) node[below] {I};
\draw[thick,red] (0,0) -- (0,1) node[left] {J};
\node[below left,red] at (0,0) {O};
\draw[<->,blue,thick,>=stealth'] (0,2) node[left] {$y$} -- (4,2) node[above right] {M} -- (4,0) node[below] {$x$};
\fill[blue] (4,2) circle (2pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Ici, M\coord{4}{2}. Son abscisse est 4, son ordonnée est 2.
\end{exemple}

\section{Distance entre deux points}

\begin{prop}
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

Dans ce repère, soient A\coord{x_\text{A}}{y_\text{A}} et B\coord{x_\text{B}}{y_\text{B}} deux points quelconques.

Alors, la distance entre A et B est donnée par la formule :
\[
\text{AB}=\sqrt{\left(x_\text{B}-x_\text{A}\right)^2+\left(y_\text{B}-y_\text{A} \right)^2}.
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
Soient A\coord{-3}{2} et B\coord{5}{-7}. Alors, 
\begin{align*}
AB &= \sqrt{(5-(-3))^2+(-7-2)^2}\\
& = \sqrt{8^2+(-9)^2}\\
\Aboxed{AB & = \sqrt{145}}
\end{align*}
\end{exemple}

\begin{demo}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->,>=latex] (-5,0) -- (5,0);
\draw[->,>=latex] (0,-3) -- (0,3);
\draw[thick,red] (0,0) -- (1,0) node[below] {I};
\draw[thick,red] (0,0) -- (0,1) node[left] {J};
\node[below left,red] at (0,0) {O};
\draw[demo] (-3,-1.5) -- (4,-1.5) node[below right] {C} -- (4,2) -- cycle;
\draw[<->,thick,>=stealth',dotted] (0,2) node[left] {$y_\text{B}$} -- (4,2) node[above right] {B} -- (4,0) node[below left] {$x_\text{B}$};
\draw[<->,thick,>=stealth',dotted] (0,-1.5) node[above right] {$y_\text{A}$} -- (-3,-1.5) node[below left] {A} -- (-3,0) node[above] {$x_\text{A}$};
\node[demo,rotate=90,yscale=9,xscale=2] at (2,-1.75) {$\{$};
\node[below,demo] at (2,-1.85) {$x_\text{B}$};
\node[demo,rotate=90,yscale=7,xscale=2] at (-1.5,-1.75) {$\{$};
\node[below,demo] at (-1.75,-1.85) {$-x_\text{A}$};
%
\node[demo,yscale=4.8,xscale=2] at (4.5,1) {$\}$};
\node[right,demo] at (4.75,1) {$y_\text{B}$};
\node[demo,yscale=3.6,xscale=2] at (4.5,-.75) {$\}$};
\node[right,demo] at (4.75,-.75) {$-y_\text{A}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Le repère est orthonormé donc le triangle ABC tracé en bleu est rectangle en C.

Ainsi, d'après le théorème de Pythagore,
\[ \text{AB}^2 = \text{AC}^2+\text{BC}^2.\]
Or, 
\[ \text{AC} = |x_\text{B}-x_\text{A}|,\ \text{donc }AC^2=|x_B-x_A|^2=(x_B-x_A)^2\]
et
\[ \text{BC} = |y_\text{B}-y_\text{A}|,\ \text{donc }BC^2=|y_B-y_A|^2=(y_B-y_A)^2.\]
Donc,
\[
\text{AB}^2=\left(x_\text{B}-x_\text{A}\right)^2+\left(y_\text{B}-y_\text{A}\right)^2.
\]
En prenant la racine carrée de chacun des membres de cette dernière égalité, on a :
\[
\text{AB}=\sqrt{\left(x_\text{B}-x_\text{A}\right)^2+\left(y_\text{B}-y_\text{A}\right)^2}.
\]
\end{demo}

\section{Milieu d'un segment}

\begin{prop}
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

Dans ce repère, soient A\coord{x_\text{A}}{y_\text{A}} et B\coord{x_\text{B}}{y_\text{B}} deux points quelconques.

Soit M\coord{x_\text{M}}{y_\text{M}} le milieu du segment [AB]. Alors,
\[
x_\text{M}=\dfrac{x_\text{A}+x_\text{B}}{2}\qquad\text{et}\qquad y_\text{M}=\dfrac{y_\text{A}+y_\text{B}}{2}.
\]
\end{prop}

\newpage

\begin{exemple}
Soient A\coord{1}{7} et B\coord{3}{-1}. Soit M le milieu de [AB]; donc :
\[
x_M=\dfrac{1+3}{2}=2\qquad\text{et}\qquad y_M=\dfrac{7+(-1)}{2}=3.
\]
\end{exemple}

\begin{demo}
On construit le triangle ABC rectangle en C comme indiqué ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->,>=latex] (-5,0) -- (5,0);
\draw[->,>=latex] (0,-3) -- (0,3);
\draw[very thick,red] (0,0) -- (1,0) node[above] {I};
\draw[very thick,red] (0,0) -- (0,1) node[left] {J};
\node[below left,red] at (0,0) {O};
\draw[blue] (-3,-1.5) -- (4,-1.5) node[below right] {C} -- (4,0.5) -- cycle;
\draw[<->,thick,>=stealth',dotted] (0,.5) node[left] {$y_\text{B}$} -- (4,.5) node[above right] {B} -- (4,0) node[above right] {$x_\text{B}$};
\draw[<->,thick,>=stealth',dotted] (0,-1.5) node[below left] {$y_\text{A}$} -- (-3,-1.5) node[below left] {A} -- (-3,0) node[above] {$x_\text{A}$};
\draw (-3,-1.5) -- (4,.5);
\draw[dashed,purple] (0.5,-1.5) node[below] {N} -- (0.5,-0.5) node[above] {M} -- (4,-.5) node[right] {P};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On trace la parallèle à (BC) passant par M ; elle coupe [AC] en N.

On trace la parallèle à (AC) passant par M ; elle coupe [BC] en P.

D'après le théorème des milieux, P est le milieu de [BC] et N celui de [AC].

Ainsi, 
\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
\text{AN} & =\dfrac{1}{2}\text{AC}\\
\text{AN}  & = \dfrac{1}{2}\left(x_\text{C}-x_\text{A}\right)\\
\text{AN} & = \dfrac{1}{2}x_\text{C}-\dfrac{1}{2}x_\text{A}
\end{align*}
et donc :
\begin{align*}
x_\text{N} & = x_\text{A}+\text{AN}\\
x_\text{N} & = x_\text{A}+\dfrac{1}{2}x_\text{C}-\dfrac{1}{2}x_\text{A}\\
x_\text{N} & = \dfrac{1}{2}x_\text{A}+\dfrac{1}{2}x_\text{C}\\
x_\text{M}=x_\text{N} &= \dfrac{x_\text{A}+x_\text{B}}{2}\text{ car }x_\text{C}=x_\text{B}.
\end{align*}

\columnbreak

\begin{align*}
\text{PC} & =\dfrac{1}{2}\text{BC}\\
\text{PC}  & = \dfrac{1}{2}\left(y_\text{B}-y_\text{C}\right)\text{ (il faut que PC}\geqslant0)\\
\text{PC} & = \dfrac{1}{2}y_\text{B}-\dfrac{1}{2}y_\text{C}
\end{align*}
et donc :
\begin{align*}
y_\text{P} & = y_\text{C}+\text{PC}\\
y_\text{P} & = y_\text{C}+\dfrac{1}{2}y_\text{B}-\dfrac{1}{2}y_\text{C}\\
y_\text{P} & = \dfrac{1}{2}y_\text{B}+\dfrac{1}{2}y_\text{C}\\
y_\text{M}=y_\text{P} &= \dfrac{y_\text{A}+y_\text{B}}{2}\text{ car }y_\text{C}=y_\text{A}.
\end{align*}
\end{multicols}
~
\end{demo}


\exercices

%%% 

\begin{exocor}{lecture de coordonnées de points}[1]
Dans le repère suivant, donner les coordonnées de tous les points.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',scale=0.75]
\draw[gray,dashed] (-7,-10) grid (7,10);
\draw[thick,->] (-7,0) -- (7,0);
\draw[thick,->] (0,-10) -- (0,10);
\node[below left,red] at (0,0) {\textbf{O}};
\draw[very thick,red] (0,0) -- (1,0) node[below] {I};
\draw[very thick,red] (0,0) -- (0,1) node[left] {J};
\fill (-3,3) circle (1.5pt) node[above left] {A};
\fill (-6,-5) circle (1.5pt) node[above left] {B};
\fill (3,-3) circle (1.5pt) node[above left] {C};
\fill (7,9) circle (1.5pt) node[above left] {D};
\fill (4,-3) circle (1.5pt) node[above left] {E};
\fill (0,-4) circle (1.5pt) node[left] {F};
\fill (-1,-8) circle (1.5pt) node[above left] {G};
\fill (-4,0) circle (1.5pt) node[above left] {H};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\tcblower

\begin{itemize}
\begin{multicols}{4}
\item A\coord{-3}{3}
\item B\coord{-6}{-5}
\item C\coord{3}{-3}
\item D\coord{7}{9}
\item E\coord{4}{-3}
\item F\coord{0}{-4}
\item G\coord{-1}{-8}
\item H\coord{-4}{0}
\end{multicols}
\end{itemize}
\end{exocor}



%%% 

\begin{exocor}{calculs de longueurs}[1]
Pour chaque question, déterminer la longueur AB.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item A\coord{-2}{3} et B\coord{-3}{5}
\item A\coord{3}{2} et B\coord{8}{1}
\item A\coord{-1}{-3} et B\coord{-4}{-6}
\item A\coord{3}{-2} et B\coord{-2}{7}
\item A\coord{1}{-2} et B\coord{7}{-5}
\item A\coord{1}{4} et B\coord{-2}{-1}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item A\coord{-2}{3} et B\coord{-3}{5}.
\begin{align*}
\rm AB &= \sqrt{\big(-3-(-2)\big)^2+(5-3)^2}\\
& = \sqrt{(-3+2)^2+2^2}\\
& = \sqrt{(-1)^2+2^2}\\
& = \sqrt{1+4}\\
\Aboxed{\rm AB & = \sqrt{5}}
\end{align*}

\item A\coord{3}{2} et B\coord{8}{1}.

\begin{align*}
\rm AB & = \sqrt{(8-3)^2+(1-2)^2}\\
& = \sqrt{5^2+(-1)^2}\\
& = \sqrt{25+1}\\
\Aboxed{\rm AB & = \sqrt{26}}
\end{align*}

\item A\coord{-1}{-3} et B\coord{-4}{-6}.

\begin{align*}
\rm AB & = \sqrt{\big(-4-(-1)\big)^2+\big(-6-(-3)\big)^2}\\
& = \sqrt{(-3)^2+(-3)^2}\\
& = \sqrt{9+9}\\
& = \sqrt{18}\\
\Aboxed{\rm AB & = 3\sqrt{2}}
\end{align*}

\item A\coord{3}{-2} et B\coord{-2}{7}.
\begin{align*}
\rm AB & = \sqrt{(-2-3)^2+\big(7-(-2)\big)^2}\\
& = \sqrt{(-5)^2+9^2}\\
& = \sqrt{25+81}\\
\Aboxed{\rm AB & = \sqrt{106}}
\end{align*}

\item A\coord{1}{-2} et B\coord{7}{-5}.
\begin{align*}
\rm AB & = \sqrt{(7-1)^2+\big(-5-(-2)\big)^2}\\
& = \sqrt{6^2+(-3)^2}\\
& = \sqrt{36+9}\\
& = \sqrt{45}\\
& = \sqrt{9\times5}\\
& = \sqrt{9}\times\sqrt{5}\\
\Aboxed{\rm AB & = 3\sqrt{5}}
\end{align*}

\item A\coord{1}{4} et B\coord{-2}{-1}.
\begin{align*}
\rm AB & = \sqrt{(-2-1)^2+(-1-4)^2}\\
& = \sqrt{9+25}\\
& = \sqrt{34}\\
\Aboxed{\rm AB & = \sqrt{34}}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{milieu d'un segment}[1]
Pour chacun des points A et B suivants, calculer les coordonnées du point I, milieu de [AB].
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item A\coord{1}{2} et B\coord{3}{4}.
\item A\coord{-1}{2} et B\coord{-3}{4}.
\item A\coord{2}{-1} et B\coord{4}{-5}.
\item A\coord{-1}{-1} et B\coord{5}{-7}.
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item A\coord{1}{2} et B\coord{3}{4}.
\[
\begin{cases}
x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{1+3}{2}=\dfrac{4}{2}=2.\\[5mm]
y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{2+4}{2}=\dfrac{6}{2}=3.
\end{cases}\qquad\text{Ainsi, }\boxed{M\coord{2}{3}}
\]


\item A\coord{-1}{2} et B\coord{-3}{4}.
\[
\begin{cases}
x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{-1+(-3)}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2.\\[5mm]
y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{2+4}{2}=\dfrac{6}{2}=3.
\end{cases}\qquad\text{Ainsi, }\boxed{M\coord{-2}{3}}
\]

\item A\coord{2}{-1} et B\coord{4}{-5}.
\[
\begin{cases}
x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{2+4}{2}=\dfrac{6}{2}=3.\\[5mm]
y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{-1+(-5)}{2}=\dfrac{-6}{2}=-3.
\end{cases}\qquad\text{Ainsi, }\boxed{M\coord{3}{-3}}
\]

\item A\coord{-1}{-1} et B\coord{5}{-7}.
\[
\begin{cases}
x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{-1+5}{2}=\dfrac{4}{2}=2.\\[5mm]
y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{-1+(-7)}{2}=\dfrac{-8}{2}=4.
\end{cases}\qquad\text{Ainsi, }\boxed{M\coord{2}{4}}
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{milieu d'un segment}[2]
Pour chacune des questions suivantes, on a les coordonnées d'un point A ainsi que celles du point M, milieu de [AB].

Déterminer les coordonnées du point B.

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item A\coord{1}{2} et M\coord{3}{4}.
\item A\coord{-1}{2} et M\coord{-3}{4}.
\item A\coord{2}{-1} et M\coord{4}{-5}.
\item A\coord{-1}{-1} et M\coord{5}{-7}.
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item A\coord{1}{2} et M\coord{3}{4}.
\begin{align*}
& \begin{cases}
x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}\\[5mm]
y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
\end{cases}\\
\iff & \begin{cases}
x_B=2x_M-x_A=2\times3-1=5.\\
y_B=2y_M-y_A=2\times4-2=6.
\end{cases}
\end{align*}
Donc $\boxed{\text{B}\coord{5}{6}}$

\item A\coord{-1}{2} et M\coord{-3}{4}.
\begin{align*}
& \begin{cases}
x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}\\[5mm]
y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
\end{cases}\\
\iff & \begin{cases}
x_B=2x_M-x_A=2\times(-3)-(-1)=-6+1=-5.\\
y_B=2y_M-y_A=2\times4-2=6.
\end{cases}
\end{align*}
Donc $\boxed{\text{B}\coord{-5}{6}}$

\item A\coord{2}{-1} et M\coord{4}{-5}.
\begin{align*}
& \begin{cases}
x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}\\[5mm]
y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
\end{cases}\\
\iff & \begin{cases}
x_B=2x_M-x_A=2\times4-2=6.\\
y_B=2y_M-y_A=2\times(-5)-(-1)=-10+1=-9.
\end{cases}
\end{align*}
Donc $\boxed{\text{B}\coord{6}{-9}}$

\item A\coord{-1}{-1} et M\coord{5}{-7}.
\begin{align*}
& \begin{cases}
x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}\\[5mm]
y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
\end{cases}\\
\iff & \begin{cases}
x_B=2x_M-x_A=2\times5-(-1)=11.\\
y_B=2y_M-y_A=2\times(-7)-(-1)=-13.
\end{cases}
\end{align*}
Donc $\boxed{\text{B}\coord{11}{-13}}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{exercice récapitulatif de base}[2]
Dans le repère orthonormé (O,I,J), on considère les points A\coord{-1}{1}, B\coord{5}{-3} et C\coord{4}{2}.
\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C. Vous compléterez au fur et à mesure la figure.
\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
\item Déterminer les coordonnées du point F, centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
\item Calculer les coordonnées du milieu E de [AC].
\item En déduire les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
\item Sans calcul, donner la longueur EF.
\item Déterminer les coordonnées de G, symétrique de C par rapport à F.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item La figure complétée est celle donnée en fin de correction page suivante (manque de place sur celle-ci).

\item Calculons la longueur des côtés du triangle ABC :

\begin{multicols}{3}
\scalebox{0.85}{$\begin{aligned}[t]
\rm AB^2 & = \big(x_\text{B}-x_\text{A}\big)^2 + \big(y_\text{B}-y_\text{A}\big)^2\\
& = \big(5-(-1)\big)^2 + \big(-3-1\big)^2\\
& = 6^2+(-4)^2\\
& = 36+16\\
\rm AB^2 & = 52.
\end{aligned}$}

\columnbreak

\scalebox{0.85}{$\begin{aligned}[t]
\rm AC^2 & = \big(x_\text{C}-x_\text{A}\big)^2 + \big(y_\text{C}-y_\text{A}\big)^2\\
& = \big(4-(-1)\big)^2 + \big(2-1\big)^2\\
& = 5^2+1^2\\
& = 25+1\\
\rm AC^2 & = 26.
\end{aligned}$}

\columnbreak

\scalebox{0.85}{$\begin{aligned}[t]
\rm BC^2 & = \big(x_\text{C}-x_\text{B}\big)^2 + \big(y_\text{C}-y_\text{B}\big)^2\\
& = \big(4-5\big)^2 + \big(2-(-3)\big)^2\\
& = 1^2+5^2\\
& = 1+25\\
\rm BC^2 & = 26.
\end{aligned}$}
\end{multicols}

On remarque ainsi que $\rm AB^2=AC^2+BC^2$ et que $\rm AC^2=BC^2$ (donc que $\rm AC=BC$).

\uline{Le triangle ABC est donc rectangle isocèle en C.}

\item Le triangle ABC étant rectangle en C, le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse, à savoir [AB].

Ainsi, F\coord{\dfrac{x_A+x_B}{2}}{\dfrac{y_A+y_B}{2}}, soit F\coord{\dfrac{-1+5}{2}}{\dfrac{1-3}{2}}, \uline{et donc F\coord{2}{-1}}.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[orange,dashed] (0,-4) -- (4,2);
\draw[gray,dashed] (-3,-5) grid (6,7);
\draw[thick,->] (-4,0) -- (7,0);
\draw[thick,->] (0,-6) -- (0,8);
\node[below left,red] at (0,0) {\textbf{O}};
\draw[very thick,red] (0,0) -- (1,0) node[below] {I};
\draw[very thick,red] (0,0) -- (0,1) node[left] {J};
\fill (-1,1) circle (1.5pt) node[above left] {A};
\fill (5,-3) circle (1.5pt) node[below right] {B};
\fill (4,2) circle (1.5pt) node[above right] {C};
\fill[orange] (0,-4) circle (1.5pt) node[below left] {G};
%
\fill (-2,6) circle (1.5pt) node[above left] {D};
\fill (1.5,1.5) circle (1.5pt) node[below] {E};
\fill[green!50!black] (2,-1) circle (1.5pt) node[below left] {F};
%
\draw[purple] (-1,1) -- (5,-3) -- (4,2) -- (-2,6) -- cycle;
\draw[violet] (-1,1) -- (4,2);
\draw[violet] (5,-3) -- (-2,6);
%
\draw[green!50!black] (2,-1) circle (3.6055cm);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item E est le milieu de [AC] donc E\coord{\dfrac{x_A+x_C}{2}}{\dfrac{y_A+y_C}{2}}, soit F\coord{\dfrac{-1+4}{2}}{\dfrac{1+2}{2}}, \underline{et donc E\coord{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{3}{2}}}.

\item Si ABCD est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Ainsi, F (qui est le milieu de [AC]) est le milieu de [BD]. On en déduit alors les égalités suivantes :
\[
\begin{cases}
x_F=\dfrac{x_B+x_D}{2}\\[12pt]
y_F=\dfrac{y_B+y_D}{2}
\end{cases}
\]
D'où, en remplaçant les lettres par leur valeur :
\[
\begin{cases}
\dfrac{3}{2}=\dfrac{5+x_D}{2}\\[12pt]
\dfrac{3}{2}=\dfrac{-3+y_D}{2}
\end{cases}
\qquad\text{ou encore :}\qquad
\begin{cases}
3=5+x_D\\
3=-3+y_D
\end{cases}
\]
On en déduit alors que $x_D=3-5=-2$ et $y_D=3+3=6$.

\underline{Ainsi, D\coord{-2}{6}.}

\item E et F sont les milieux respectifs de [AC] et [AB].

Ainsi, d'après le théorème des milieux appliqué au triangle ABC, $\rm EF = \dfrac{BC}{2}$, soit $\boxed{\rm EF=\dfrac{\sqrt{26}}{2}}$.

\item G est le symétrique de C par rapport à F donc F est le milieu de [CG]. Ainsi :
\[
\begin{cases}
x_F=\dfrac{x_C+x_G}{2}\\[12pt]
y_F=\dfrac{y_C+y_G}{2}
\end{cases}
\]
et donc :
\[
\begin{cases}
2=\dfrac{4+x_G}{2}\\[12pt]
-1=\dfrac{2+y_G}{2}
\end{cases}
\]
ou encore, en multipliant par 2 de chaque côté du signe \og $=$ \fg{} :
\[
\begin{cases}
4=4+x_G\\
-2=2+y_G
\end{cases}
\qquad\text{soit}\qquad
\begin{cases}
x_G=0\\
y_G=-4
\end{cases}
\]
\underline{Ainsi, G\coord{0}{-4}.}
\end{enumerate}

\vspace*{3cm}

\end{exocor}

%%%
\enlargethispage*{2cm}

\begin{exocor}{lire des coordonnées dans un parallélogramme}[2]
ABCD est un parallélogramme. I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AD].
On note K le point d'intersection des droites (IJ) et (BC).

On note O le centre du parallélogramme ABCD et M le point d'intersection des droites (OK) et (AB).

\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
\tkzDefPoint(0,0){A}
\tkzDefPoint(6,0){B}
\tkzDefPoint(8,3){C}
\tkzDefPoint(2,3){D}
\tkzDefMidPoint(A,B)\tkzGetPoint{I}
\tkzDefMidPoint(A,D)\tkzGetPoint{J}
\tkzInterLL(I,J)(B,C)\tkzGetPoint{K}
\tkzDefMidPoint(A,C)\tkzGetPoint{O}
\tkzDefMidPoint(I,B)\tkzGetPoint{M}
\draw (A) node[below left]{A} -- (B) node[below right] {B} -- (C) node[above right] {C} -- (D) node[above left] {D} -- cycle;
\fill (I) circle (2pt) node[below] {I};
\fill (J) circle (2pt) node[left] {J};
\draw[dashed] (B) -- (K);
\draw[dashed] (J) -- (K);
\fill (K) circle (2pt) node[below] {K};
\fill (O) circle (2pt) node[below] {O};
\draw[dashed] (O) -- (K);
\fill (M) circle (2pt) node[above right] {M};
%\draw[dashed] (A) -- (C);
%\draw[dashed] (B) -- (D);
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
Dans le repère (A;~B,D), donner les coordonnées de chacun de ces points.
\end{minipage}
\vspace*{-1.5em}


\tcblower

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoint(0,0){A}
\tkzDefPoint(6,0){B}
\tkzDefPoint(8,3){C}
\tkzDefPoint(2,3){D}
\tkzDefMidPoint(A,B)\tkzGetPoint{I}
\tkzDefMidPoint(A,D)\tkzGetPoint{J}
\tkzInterLL(I,J)(B,C)\tkzGetPoint{K}
\tkzDefMidPoint(A,C)\tkzGetPoint{O}
\draw (A) node[below left]{A} -- (B) node[below right] {B} -- (C) node[above right] {C} -- (D) node[above left] {D} -- cycle;
\fill (I) circle (2pt) node[below] {I};
\fill (J) circle (2pt) node[left] {J};
\draw[dashed] (B) -- (K);
\draw[dashed] (J) -- (K);
\fill (K) circle (2pt) node[below] {K};
\fill (O) circle (2pt) node[below] {O};
\draw[dashed] (A) -- (C);
\draw[dashed] (B) -- (D);
\draw[dashed,red] (O) -- (I);
\draw[dashed,red] (O) -- (J);
\draw[dashed] (O) -- (K);
\fill (M) circle (2pt) node[above right] {M};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{itemize}
\item A\coord{0}{0} car A est l'origine du repère.
\item B\coord{1}{0} car B définit l'unité en abscisses.
\item D\coord{0}{1} car D définit l'unité en ordonnées.
\item I\coord{\dfrac{1}{2}}{0} car I est le milieu de [AB].
\item J\coord{0}{\dfrac{1}{2}} car J est le milieu de [AD].
\item C\coord{1}{1} car (BC)~//~(AD) (donc l'abscisse de C vaut 1) et (CD)~//~(AB) (donc l'ordonnée de C vaut 1).
\item Dans le triangle ABC, O est le milieu de [AC] et I celui de [AB] donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, (OI) est parallèle à (BC); donc l'abscisse de O est égale à $\dfrac{1}{2}$. 

De même, dans le triangle ABD, on montre que (OJ) et (AB) sont parallèles donc l'ordonnée de O est égale à $\dfrac{1}{2}$.

Finalement, O\coord{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}}.

\item I, J, K d'une part, A, I, B d'autre part sont alignés. De plus, (AJ) et (BK) sont parallèles (ce qui signifie que l'abscisse de K vaut 1), donc I est le milieu de [JK] et $\rm AJ = BK$, donc l'ordonnée de K vaut $-\dfrac{1}{2}$.

Finalement, K\coord{1}{-\dfrac{1}{2}}.

\item Dans le triangle ABD, I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AD] donc (IJ) et (BD) sont parallèles. Ainsi, (IK)~//~(OB).

De plus, (OI)~//~(AD) et (AD)~//~(BC) donc (IO)~//~(BK).

Donc OIKB est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent donc en leur milieu; donc M est le milieu de [IB].

D'où M\coord{\dfrac{3}{4}}{0}.
\end{itemize}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{exercice de recherche}[3]
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A\coord{-3}{5}$, $B\coord{1}{-2}$ et $C\coord{3}{y}$, où $y$ est un nombre réel.

\medskip

Déterminer la valeur de $y$ afin que $ABC$ soit un triangle rectangle en $A$.

\tcblower


\begin{align*}
ABC\text{ rectangle en }A & \iff BC^2 = AB^2 + AC^2\\[2ex]
& \iff \big(x_C-x_B\big)^2+\big(y_C-y_B\big)^2 = \Big[ \big(x_B-x_A\big)^2+\big(y_B-y_A\big)^2 \Big]\\[2ex]
& \hspace*{7cm} + \Big[ \big(x_C-x_A\big)^2+\big(y_C-y_A\big)^2 \Big]\\[2ex]
& \iff (3-1)^2+(y+2)^2 = \Big[(1+3)^2 + (-2-5)^2\Big] + \Big[(3+3)^2 + (y-5)^2\Big]\\[2ex]
& \iff 4+\cancel{y^2}+4y+4=16+49+36+\cancel{y^2}-10y+25\\[2ex]
& \iff 4y+10y=16+49+36+25-4-4\\[2ex]
& \iff 14y = 118\\[2ex]
& \iff \boxed{y = \dfrac{118}{14}=\dfrac{59}{7}}
\end{align*}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{algorithme et programme Python}[3]
\'Ecrire un algorithme permettant de calculer la longueur entre deux points A et B connaissant leurs coordonnées, ainsi que les coordonnées du milieu de [AB].

\'Ecrire deux fonctions Python \texttt{milieu(A,B)} et \texttt{distance(A,B)}, où les arguments \texttt{A} et \texttt{B} désignent respectivement les coordonnées des points $A$ et $B$ (par exemple, \texttt{A=(-3,2)} si $A\coord{-3}{2}$), qui renvoient respectivement les coordonnées du milieu de $[AB]$ et la distance entre $A$ et $B$.

\tcblower

Un algorithme possible est le suivant:

\medskip

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\linewidth}
\ttfamily
Entrées:\\
\hspace*{1em}Coordonnées de A : $x_A$ et $y_A$\\
\hspace*{1em}Coordonnées de B : $x_B$ et $y_B$\\
Traitement:\\
\hspace*{1em}d $\leftarrow$ $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$\\
\hspace*{1em}x $\leftarrow$ $(x_A+x_B)$/2\\
\hspace*{1em}y $\leftarrow$ $(y_A+y_B)$/2\\
Sortie:\\
\hspace*{1em}Afficher : "AB = ", d\\
\hspace*{1em}Afficher : "Les coordonnées du milieu de [AB] sont : ", x , y
\end{minipage}}
\end{center}

En Python, cela donne les deux fonctions suivantes:

\medskip

\begin{python}
def milieu(A,B):
    # A[0] est l'abscisse de A, A[1] est son ordonnée
    # B[0] est l'abscisse de B, B[1] est son ordonnée
    return (A[0]+B[0])/2 , (A[1]+B[1])/2

def distance(A,B):
    return ( (B[0]-A[0])**2 + (B[1]-A[1])**2 )**0.5
    # (...)**0.5 correspond à prendre la racine carrée 
\end{python}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{trouver un point}[3]
Soient A\coord{-3}{5} et B\coord{5}{2} dans un repère orthonormé $(O;I,J)$. 

On sait que M\coord{x}{y} est à 3 unités de A et à 6 unités de B.

\begin{enumerate}
\item Montrer que :
\[
\begin{cases}
x^2+y^2=10y-6x-25\qquad&\text{à l'aide du point A,}\\
x^2+y^2=4y+10x+7\qquad&\text{à l'aide du point B}.
\end{cases}
\]
En déduire que $y=\dfrac{8}{3}x+\dfrac{16}{3}$.

\item Montrer alors que $73x^2+70x+1=0$ (on ne demande pas de résoudre cette équation).

\item Tracer la courbe de la fonction $f(x)=73x^2+70x+1$ sur votre calculatrice. Conjecturer alors le nombre de valeurs de $x$ possibles.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item A\coord{-3}{5} et M\coord{x}{y} donc :
\[
\rm MA^2=(x_A-x_M)^2+(y_A-y_M)^2=(-3-x)^2+(5-y)^2.
\]
Or, $\rm MA=3$ (d'après l'énoncé) donc $\rm MA^2=3^2=9$ d'où :
\[
(-3-x)^2+(5-y)^2=9
\]
soit, en développant : \hfil $9+6x+x^2+25-10y+y^2=9$\\
ou encore : \underline{$x^2+y^2=10y-6x-25.$}\hfill (1)

B\coord{5}{2} donc, de façon analogue à ce qui vient d'être fait :
\[
(5-x)^2+(2-y)^2=6^2=36
\]
soit : \hfil $25-10x+x^2+4-4y+y^2=36$\\
ou encore : \underline{$x^2+y^2=4y+10x+7$}\hfill (2)

Des égalités (1) et (2), on déduit :
\[
10y-6x-25=4y+10x+7
\]
et donc :
\[
6y=16x+32\qquad\text{soit}\qquad \boxed{y=\dfrac{8}{3}x+\dfrac{16}{3}}
\]

\item \`A l'aide de l'égalité (2), en remplaçant $y$ par $\dfrac{8}{3}x+\dfrac{16}{3}$, on obtient :
\begin{align*}
& x^2+\left(\dfrac{8}{3}x+\dfrac{16}{3}\right)^2 = 4\left(\dfrac{8}{3}x+\dfrac{16}{3}\right)+10x+7\\
\iff\ & x^2 + \dfrac{64}{9}x^2+2\times\dfrac{8}{3}x\times\dfrac{16}{3}+\dfrac{16^2}{3^2}=\dfrac{32}{3}x+\dfrac{64}{3}+10x+7\\
\iff\ & \dfrac{9}{9}x^2+\dfrac{64}{9}x^2+\dfrac{256}{9}x+\dfrac{256}{9}=\dfrac{96}{9}x+\dfrac{192}{9}+\dfrac{90}{9}x+\dfrac{63}{9}\\
\iff\ & 73x^2+256x+256=186x+255\\
\iff\ & 73x^2+70x+1=0.
\end{align*}

\item Sur la calculatrice, on obtient:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.04,xscale=2.5]
\draw[gray] (-2,-20) grid[ystep=10,xstep=0.5] (1,140);
\clip (-2,-20) rectangle (1,140);
\draw[thick,->,>=latex] (-2,0) -- (1,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-20) -- (0,140);
\draw[cyan,thick] plot[domain=-2:1,samples=70] (\x,{73*\x*\x+70*\x+1});
\foreach \x in {-1.5,-1,-0.5,0.5}
{
\node[below,scale=0.75] at (\x,0) {\x};
}
\foreach \y in {-10,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,110,120,130}
{
\node[left,scale=0.75] at (0,\y) {\y};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

On peut alors conjecturer que l'équation $f(x)=0$ admet deux solutions car la courbe représentative de $f$ coupe en deux points l'axe des abscisses.

\underline{Il semble donc y avoir deux points possibles à notre problème.}


Cela semble cohérent : ces deux points sont les intersections des cercles de centres A et B et de rayons respectifs 3 et 6.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.33]
\draw[gray] (-7,-5) grid (12,9);
\draw[thick,->,>=latex] (-7,0) -- (12,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-5) -- (0,9);
\fill (-3,5) circle (2pt) node[above] {A};
\fill (5,2) circle (2pt) node[above] {B};
\draw (-3,5) circle (3cm);
\draw (5,2) circle (6cm);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exocor}



\corriges
