\chapter{\'Equations cartésiennes de droites, systèmes linéaires}
\label{chap:equation-de-droites}

\newpage

\section{Introduction}

Dans ce chapitre, le plan est rapporté à un repère \Rij.

\subsection{\'Equation réduite d'une droite}

\begin{defin}
Soit $\mathcal{D}$ une droite du plan. On appelle \textbf{équation réduite} de $\mathcal{D}$ l'égalité:
\[
y=mx+p\qquad,\qquad m\in\R,\ p\in\R
\]
où $M\coord{x}{y}$ est un point quelconque de $\mathcal{D}$.

$m$ est appelé le \textbf{coefficient directeur} de $\mathcal{D}$; on l'appelle aussi la \textbf{pente} de la droite.

$p$ est appelé l'\textbf{ordonnée à l'origine} de $\mathcal{D}$; c'est l'ordonnée du point d'intersection de $\mathcal{D}$ et de l'axe des ordonnées.
\end{defin}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill=white] (img) {
\begin{tikzpicture}
\rep{-5}{-2}{5}{2}
\draw[thick,green!50!black] plot[domain=-5:5,samples=20] (\x,{0.5*\x-1});
\draw[<-,>=latex,blue] (0,-1) to[bend right=20] (0.5,-1.7) node[right] {$p$ : ordonnnée à l'origine};
\draw[thick,blue,->,>=latex] (3,0.5) -- (4,0.5) node[midway,below] {+1};
\draw[thick,blue,->,>=latex] (4,0.5) -- (4,1) node[midway,right] {$m$};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{prop}
Soient A\coord{x_A}{y_A} et B\coord{x_B}{y_B} deux points du plan. L'équation de la droite (AB) est $y=mx+p$, où:
\[
m = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}
\]
et
\[
p=y_A-mx_A=y_B-mx_B.
\]
\end{prop}

\begin{exemple}\label{eqcart-ex1}
Soient A\coord{-1}{-3} et B\coord{3}{5}. Alors, l'équation réduite de (AB) est $y=mx+p$ où :
\[
m=\dfrac{5-(-3)}{3-(-1)}=\dfrac{8}{4}=2
\]
et
\[
p=y_B-mx_B=5-2\times3=-1.
\]
Ainsi, l'équation réduite de (AB) est : $y=2x-1$.
\end{exemple}

\begin{rem}
\begin{itemize}
\item si $m=0$ alors la droite est horizontale.
\item si $p=0$ alors la droite passe par l'origine du repère.
\end{itemize}
\end{rem}

\subsection{\'Equation cartésienne d'une droite}

\begin{defin}
Une \textbf{équation cartésienne de droite} est une équation de la forme :
\[
ax+by+c=0
\]
où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels.
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{itemize}
\item $3x-5y+2=0$ est une équation cartésienne d'une droite, où $a=3$, $b=-5$ et $c=2$.
\item $-4y+7=0$ est une équation cartésienne d'une droite, où $a=0$, $b=-4$ et $c=7$.
\item $3x+1=0$ est une équation cartésienne d'une droite, où $a=3$, $b=0$ et $c=1$.
\end{itemize}
\end{exemple}


\begin{attention}
\underline{Une} équation cartésienne n'est pas unique (d'où l'article \og une \fg).

En effet, si on considère l'équation $x+y+1=0$, elle est équivalente à l'équation\linebreak $2x+2y+2=0$ (on a multiplié par 2 les deux membres de la première équation).

Ainsi, une droite admet une infinité d'équations cartésiennes, contrairement au fait qu'elle admet une unique équation réduite.
\end{attention}

\subsection{Interprétation d'une équation de droite}

Qu'elle soit réduite ou cartésienne, une équation de droite représente toujours un lien entre les abscisses et les ordonnées des points de cette droite.

\begin{itemize}
\item En écrivant $y=mx+p$, on signifie que n'importe quel point $M$ de la droite a pour ordonnée $mx+p$, où $x$ est son abscisse.

Ainsi, si on connaît l'abscisse d'un point de la droite, on peut connaître son ordonnée, et réciproquement.

\item En écrivant $ax+by+c=0$, on signifie que, quel que soit le point M\coord{x}{y} sur la droite, on a nécessairement l'égalité $ax+by+c=0$.
\end{itemize}

On décrit ainsi, à l'aide d'une égalité (algébrique), un ensemble (géométrique).

\medskip

C'est le français René Descartes qui, au XVII\ieme{} siècle, fait le lien entre la géométrie et l'algèbre.

\section{\'Etablir une équation cartésienne d'une droite}

Il existe deux façons principales d'obtenir une équation cartésienne d'une droite : à partir de son équation réduite ou à l'aide de vecteurs.

\subsection{À partir de l'équation réduite}

L'équation réduite d'une droite étant de la forme $y=mx+p$, on arrive à :
\[
mx-y+p=0.
\]

\begin{exemple}
Soient A\coord{-1}{-3} et B\coord{3}{5}. Alors, l'équation réduite de (AB) est :
\[
y=2x-1
\]
d'après l'exemple \ref{eqcart-ex1}.

Une équation cartésienne de (AB) est donc :
\[
2x-y-1=0.
\]
\end{exemple}

\subsection{À l'aide de vecteurs}

Considérons deux points A\coord{x_A}{y_A} et B\coord{x_B}{y_B}, ainsi qu'un point M\coord{x}{y} sur (AB), où :
\begin{itemize}
\item $x_A,\ y_A,\ x_B,\ y_B$ sont quatre réels fixés;
\item $x$ et $y$ sont deux réels variables (dont les valeurs peuvent changer).
\end{itemize}

Dire que M appartient à (AB) signifie que $\vv{AB}$ et $\vv{AM}$ sont colinéaires.

Or, deux vecteurs $\vv{u}\dbinom{x}{y}$ et $\vv{v}\dbinom{x'}{y'}$ sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$.

Nous avons ainsi un moyen de passer de la géométrie (colinéarité) à l'algèbre (égalité), ce qui signifie que nous pouvons établir une équation cartésienne.

\begin{exemple}
Soient A\coord{-2}{5} et B\coord{5}{-1}. Posons alors $M\coord{x}{y}\in(AB)$.

$\vv{AB}\dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A}=\dbinom{7}{-6}$ et $\vv{AM}\dbinom{x+2}{y-5}$.

Ainsi,
\begin{align*}
\vv{AM}\text{ et }\vv{AM}\text{ sont colinéaires} & \iff 7(y-5)-(-6)(x+2)=0\\
& \iff 7y-35+6x+12=0\\
& \iff 6x+7y-23=0.
\end{align*}

Une équation cartésienne de (AB) est donc $6x+7y-23=0$.
\end{exemple}


\section{Vecteur directeur d'une droite}

\subsection{Définition}

\begin{defin}
Un \textbf{vecteur directeur} d'une droite est un vecteur dont la direction est la même que celle de la droite.
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-5}{-2}{5}{2}
\draw[orange] plot[domain=-5:5] (\x,{(1/3)*\x-1});
\draw[very thick,->,>=latex,exemple] (3,0) -- (4.5,{0.5});
\draw[exemple,<-] (3.5,0.33) to[bend right=20] (2.5,1.5) node[fill=white,left,draw=exemple] (n) {un vecteur directeur}; 
\drawshadow{n}{black}
\draw[very thick,->,>=latex,exemple] (-0.5,{-1-1/6}) -- (-1.5,{-1-1/3-1/6});
\draw[exemple,<-] (-1,-1.33) to[bend right=20] (1,-1.5) node[fill=white,right,draw=exemple,text width=3cm] (m) {un autre vecteur directeur}; 
\drawshadow{m}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}

\subsection{Lien entre vecteur directeur et équations de droite}

\subsubsection{\'Equation réduite}

\begin{prop}[équation réduite]
Soit $(d)$ une droite d'équation réduite $y=mx+p$.

\medskip

Alors $\vv{u}\dbinom{1}{m}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
\end{prop}

\begin{demo}
Soit A\coord{x_A}{y_A} un point de $(d)$.

Cherchons les coordonnées du point B dont l'abscisse vaut $x_B=x_A+1$ :
\[
y_B=mx_B+p=m(x_A+1)+p=mx_A+p+m=y_A+m.
\]
D'où B\coord{x_A+1}{y_A+m}.

\medskip


Ainsi, $\vv{AB}\dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A}=\dbinom{(x_A+1)-x_A}{(y_A+m)-y_A}=\dbinom{1}{m}$.

Or $\vv{AB}$ est un vecteur directeur de $(d)$ car A et B sont sur $(d)$.

Donc le vecteur de coordonnées $\dbinom{1}{m}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
\end{demo}

\subsubsection{\'Equation cartésienne}

\begin{prop}[coefficient directeur]
Soit $(d)$ une droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$.

\medskip

Alors $\vv{u}\dbinom{-b}{a}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
\end{prop}

\begin{demo}
$ax+by+c=0 \iff y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}$.

Ainsi, l'équation réduite de $(d)$ est : $y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}$, où $-\dfrac{a}{b}$ est le coefficient directeur.

\medskip

D'après la propriété \ref{prop:équation réduite}, le vecteur $\vv{v}\dbinom{1}{-\frac{a}{b}}$ est un vecteur directeur de $(d)$, comme tout vecteur colinéaire à $\vv{v}$.

Ainsi, $\vv{u}=-b\vv{v}$ est un vecteur directeur de $(d)$. Or, $-b\vv{v}\dbinom{-b\times1}{-b\times\left(-\frac{a}{b}\right)}=\dbinom{-b}{a}$.

Donc $\vv{u}\dbinom{-b}{a}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
\end{demo}

\section{Intersection de droites}

\subsection{Critère d'existence}

Par définition, deux droites sécantes sont deux droites qui ne sont pas parallèles.

Ainsi, l'intersection de deux droites existe quand leur vecteur directeur ne sont pas colinéaires.

\begin{prop}
Soient ($d$) et $(d')$ deux droites d'équations cartésiennes respectives :
\[ ax+by+c=0\qquad\text{et}\qquad a'x+b'y+c'=0. \]
\[
(d)\text{ et }(d')\text{ sont parallèles} \iff ab'=ba'
\]
\end{prop}

\begin{demo}
$\vv{u}\dbinom{-b}{a}$ et $\vv{u'}\dbinom{-b'}{a'}$ sont deux vecteurs directeurs de $(d)$ et $(d')$. 
\begin{align*}
\vv{u}\text{ et }\vv{u'}\text{ colinéaires } & \iff -b\times a' - a \times(-b')=0\\
& \iff -ba'+ab'=0\\
& \iff ab'=ba'.
\end{align*}
\end{demo}

\begin{exemple}
$\begin{array}{c@{\;:\;}l}
(d) & -3x+5y-2=0\\
(d') & 8x+3y+1=0
\end{array}$

\medskip

$-3\times3=-9$ et $8\times5=40\neq-9$, donc $(d)$ et $(d')$ ne sont pas parallèles.
\end{exemple}


\subsection{Méthodes}

\subsubsection{Avec les équations réduites}

Soient $(d)\;:\; y=mx+p$ et $(d')\;:\; y=m'x+p'$. On suppose que $m\neq m'$, ce qui signifie que les deux droites sont sécantes.

Pour trouver les coordonnées du point d'intersection des deux droites, on recherche d'abord son abscisse en résolvant l'équation :
\[
mx+p = m'x+p'
\]
puis on remplace $x$ dans l'équation $y=mx+p$ par la valeur trouvée.


\begin{exemple}
$\begin{array}{c@{\;:\;}l}
(d) & y=-5x+2\\
(d') & y=3x+10
\end{array}$
\[
-5x+2=3x+10 \iff -8x=8 \iff x=-1.
\]
On remplace $x$ par $-1$ dans l'équation $y=-5x+2$ : $y=-5\times(-1)+2=7$.

\medskip

Les coordonnées du point d'intersection sont donc \coord{-1}{7}.
\end{exemple}

\subsubsection{Avec les équations cartésiennes}

On peut certes se ramener aux équations réduites, mais on peut aussi faire autrement.

Chercher les coordonnées du point d'intersection de deux droites d'équations $ax+by+c=0$ et $a'x+b'y+c'=0$ revient à résoudre le système :
\[
\systeme{ax+by+c=0@L_1,a'x+b'y+c'=0@L_2}
\]
On note $L_1$ la première ligne du système et $L_2$ la seconde.

Nous avons le droit de multiplier les équations par n'importe quel nombre non nul. Par conséquent, on peut multiplier $L_1$ par $a'$ et $L_2$ par $a$ afin de faire apparaître le même coefficient devant $x$ dans chacune des équations. On notera alors :
\[
\systeme[sort={x,y}, autonum code = L_{*}\longleftarrow]{aa'x+ba'y+ca'=0@a'L_1,aa'x+ab'y+ac'=0@aL_2}
\]
Ainsi, en faisant par exemple $L_1-L_2$, on se retrouve avec une équation d'inconnue y :
\[
\systeme[sort={x,y}, autonum code = L_{*}\longleftarrow]{aa'x+ba'y+ca'=0@L_1,(ba'-ab')y+(ca'-ac')=0@L_1-L_2}
\]
On peut alors trouver $y$, puis $x$ à l'aide de l'une des deux équations du début.


\begin{exemple}
\begin{align*}
\systeme{3x-5y-1=0@L_1,-7x+15y+1=0@L_2}
& \iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{9x-15y-3=0@3L_1,-7x+15y+1=0@L_2}\\
& \iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{9x-15y-3=0@3L_1,2x-2=0@L_1+L_2}
\end{align*}
$L_2 \iff x=1$ et donc, en prenant l'équation $3x-5y-1=0$ et en remplaçant $x$ par 1, on obtient $3-5y-1=0$, soit $y=\dfrac{2}{5}$.

Le point d'intersection des deux droites a pour coordonnées \coord{1}{\dfrac{2}{5}}.
\end{exemple}

\begin{rem}
On peut bien sûr choisir d'éliminer l'inconnue que l'on veut : soit $x$, soit $y$ (comme dans l'exemple).
\end{rem}

\exercices

\subsection*{\'Equations de droites}

%%%

\begin{exocor}{trouver une équation cartésienne}[1]
Pour chacune des droites représentées ci-dessous, donner une équation cartésienne.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzInit[xmin=-4,xmax=6,ymin=-6,ymax=6]
\node[below left] at (0,0) {O};
\draw (1,0.1) -- (1,-0.1) node[below] {1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left] {1};
\draw[->,>=latex] (-4,0) -- (6,0);
\draw[->,>=latex] (0,-6) -- (0,6);
\tkzGrid
\tkzClip
\draw[color=blue,very thick] plot[domain=-4:6,samples=70] function {-3*x+2};
\draw[color=numpageenonce,very thick] plot[domain=-4:6,samples=70] function {0.5*x-3};
\draw[color=green!50!black,very thick] (-4,5) -- (6,5);
\draw[color=orange,very thick] (-3,-6) -- (-3,6);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\tcblower


\begin{itemize}
\item La droite verte est horizontale est passe par le point de coordonnées \coord{0}{5}. Tous les points de cette droite ont une ordonnée égale à 5, donc son équation est:
\[
y=5.
\]

\item La droite orange est verticale et tous les points de cette droite ont une même abscisse: $-3$. Son équation est donc:
\[
x=-3.
\]
\end{itemize}
Pour les autres droites, le principe consiste à trouver les coordonnées d'un point de la droite et d'un vecteur directeur, puis d'appliquer la \og méthode du déterminant \fg.
\begin{itemize}
\item Pour la droite bleue, le point $A\coord{0}{2}$ est sur cette droite, ainsi que le point $B\coord{1}{-1}$. Un vecteur directeur de cette droite est alors:
\[
\vv{AB}\dbinom{1}{-3}.
\]
Alors,
\begin{align*}
M\coord{x}{y}\in(AB) & \iff \vv{AB}\text{ et } \vv{AM}\text{ sont colinéaires}\\
& \iff \det\big(\vv{AB},\vv{AM}\big)=0\\
& \iff \begin{vmatrix} 1 & x-0 \\ -3 & y-2\end{vmatrix} = 0\\
& \iff 1(y-2)-(-3)(x-0)=0\\
& \iff y-2+3x=0\\
& \iff 3x+y-2=0.
\end{align*}

Une équation cartésienne de la droite bleue est alors $3x+y-2=0$.

\item Pour la droite rouge, le point $C\coord{0}{-3}$ est sur cette droite, ainsi que le point $D\coord{2}{-2}$. Un vecteur directeur de cette droite est alors:
\[
\vv{CD}\dbinom{2}{1}.
\]
Alors,
\begin{align*}
M\coord{x}{y}\in(CD) & \iff \vv{CD}\text{ et } \vv{CM}\text{ sont colinéaires}\\
& \iff \det\big(\vv{CD},\vv{CM}\big)=0\\
& \iff \begin{vmatrix} 2 & x-0 \\ 1 & y-(-2)\end{vmatrix} = 0\\
& \iff 2(y+2)-1(x-0)=0\\
& \iff 2y+4-x=0\\
& \iff -x+2y+4=0.
\end{align*}

Une équation cartésienne de la droite bleue est alors $-x+2y+4=0$.
\end{itemize} 
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{appartenance d'un point à une droite}[1]
Pour chacune des questions suivantes, dire si le point $A$, dont on donne les coordonnées, appartient à la droite $d$, dont on donne l'équation réduite.
\begin{enumerate}
\item $(d)$ : $y = -3x+7$ ; $A\coord{-3}{2}$.
\item $(d)$ : $y = 7x - 1$ ; $A\coord{-1}{-8}$.
\item $(d)$ : $y = -\dfrac{2}{5}x + 21$ ; $A\coord{10}{17}$.
\item $(d)$ : $y = -\dfrac{1}{3}x+8$ ; $A\coord{9}{5}$.
\item $(d)$ : $y = x\sqrt2 - 2$ ; $A\coord{\sqrt2}{0}$.
\item $(d)$ : $y = \dfrac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3}x + 5-\sqrt3$; $A\coord{1-\sqrt3}{2\sqrt3}$.
\end{enumerate}

\tcblower

Un point appartient à une droite si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite. Il suffit donc de remplacer dans chaque équation $x$ par l'abscisse du point $A$ donné, et de vérifier si le calcul donne l'ordonnée de $A$.

\begin{enumerate}
\item $(d)$ : $y = -3x+7$ ; $A\coord{-3}{2}$.
\[
-3x_A+7 = -3\times(-3) + 7 =9+7 = 16 \neq 2 (= y_A).
\]
\underline{Donc $A\not\in(d)$.}


\item $(d)$ : $y = 7x - 1$ ; $A\coord{-1}{-8}$.
\[
7x_A-1 = 7\times(-1) - 1 = -7-1 = -8 = y_A.
\]
\underline{Donc $A\in(d)$.}


\item $(d)$ : $y = -\dfrac{2}{5}x + 21$ ; $A\coord{10}{17}$.
\[
-\frac{2}{5}x_A+21 = -\frac{2}{5}\times10+21 = -4+21=17=y_A.
\]
\underline{Donc $A\in(d)$.}


\item $(d)$ : $y = -\dfrac{1}{3}x+8$ ; $A\coord{9}{5}$.
\[
-\frac{1}{3}x_A+8 = -\frac{1}{3}\times9+8 = -3+8=5=y_A.
\]
\underline{Donc $A\in(d)$.}


\item $(d)$ : $y = x\sqrt2 - 2$ ; $A\coord{\sqrt2}{0}$.
\[
x_A\sqrt2-2 = \sqrt2 \times \sqrt2 - 2 = 2-2 = 0 = y_A.
\]
\underline{Donc $A\in(d)$.}

\item $(d)$ : $y = \dfrac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3}x + 5-\sqrt3$; $A\coord{1-\sqrt3}{2\sqrt3}$.
\begin{align*}
\dfrac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3}x_A + 5-\sqrt3 &  = \dfrac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3}(1-\sqrt3) + 5-\sqrt3\\
& = \dfrac{(1-\sqrt3)^2}{1+\sqrt3} + 5-\sqrt3\\
& = \dfrac{1-2\sqrt3+3}{1+\sqrt3}+5-\sqrt3\\
& = \dfrac{4-2\sqrt3}{1+\sqrt3}\textcolor{red}{\times\dfrac{1-\sqrt3}{1-\sqrt3}}+5-\sqrt3\\
& = \dfrac{4-4\sqrt3-2\sqrt3+2\times3}{1^2-(\sqrt3)^2}+5-\sqrt3
\end{align*}

\begin{align*}
\dfrac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3}x_A + 5-\sqrt3 &  = \dfrac{10-6\sqrt3}{-2}+5-\sqrt3\\
& = -5+3\sqrt3+5-\sqrt3\\
& = 2\sqrt3\\
& = y_A.
\end{align*}
\underline{Donc $A\in(d)$.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{appartenance d'un point à une droite}[1]
Pour chacune des questions suivantes, dire si le point $A$ appartient à la droite $(d)$.
\begin{enumerate}
\item $(d)$ : $3x + y - 5 = 0$ ; $A\coord{-2}{1}$.
\item $(d)$ : $-x + 5y + 6 = 0$ ; $A\coord{1}{-1}$.
\item $(d)$ : $-x\sqrt2 - y\sqrt3 + 5 = 0$ ; $A\coord{\sqrt2}{\sqrt3}$.
\item $(d)$ : $\dfrac{1}{2}x - 9y +5 = 0$ ; $A\coord{8}{1}$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $(d)$ : $3x + y - 5 = 0$ ; $A\coord{-2}{1}$.
\[
3x_A+y_A-5 = 3\times(-2) + 1 - 5 = -6 + 1 - 5 = -10 \neq 0.
\]
\underline{Donc $A\not\in(d)$.}


\item $(d)$ : $-x + 5y + 6 = 0$ ; $A\coord{1}{-1}$.
\[
-x_A+5y_A+6 = -1 + 5\times(-1) + 6 = -1-5 + 6 = -6 + 6 = 0.
\]
\underline{Donc $A\in(d)$.}

\item $(d)$ : $-x\sqrt2 - y\sqrt3 + 5 = 0$ ; $A\coord{\sqrt2}{\sqrt3}$.
\[
-x_A\sqrt2 - y_A\sqrt3 + 5 = -\sqrt2\times\sqrt2 - \sqrt3\times\sqrt3+5 = -2-3+5 = 0.
\]
\underline{Donc $A\in(d)$.}

\item $(d)$ : $\dfrac{1}{2}x - 9y +5 = 0$ ; $A\coord{8}{1}$.
\[
\dfrac{1}{2}x_A - 9y_A +5 = \dfrac{1}{2}\times8 - 9\times1 +5 = 4-9+5 = -5+5=0.
\]
\underline{Donc $A\in(d)$.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{droites confondues ?}[1]
Les droites suivantes sont-elles confondues ?
\begin{enumerate}
\item $(d)$ : $\dfrac{2}{3}x - \dfrac{3}{5}y + \dfrac{1}{10} = 0$ et $(d')$ : $20x-18y+3=0$.

\item $(d)$ : $\dfrac{1}{7}x + 2y - \dfrac{1}{5} = 0$ et $(d')$ : $5x+70y-7=0$.

\item $(d)$ : $\dfrac{3}{5}x - \dfrac{5}{3}y + 1 = 0$ et $(d')$ : $-9x+25y+15=0$.
\end{enumerate}

\tcblower

Deux droites sont confondues si leurs équations cartésiennes sont équivalentes, c'est-à-dire si, en multipliant l'une, on obtient l'autre.

\begin{enumerate}
\item $(d)$ : $\dfrac{2}{3}x - \dfrac{3}{5}y + \dfrac{1}{10} = 0$ et $(d')$ : $20x-18y+3=0$.
\begin{align*}
M\coord{x}{y}\in(d) & \iff \dfrac{2}{3}x - \dfrac{3}{5}y + \dfrac{1}{10} = 0\\
& \iff 30\times\left(\dfrac{2}{3}x - \dfrac{3}{5}y + \dfrac{1}{10}\right) = 30 \times 0\\
& \iff 30\times\dfrac{2}{3}x - 30\times\dfrac{3}{5}y + 30\times\dfrac{1}{10} = 0
\end{align*}
\begin{align*}
& \iff 20x - 18y + 3 = 0 \leftarrow\text{ équation de }(d')\\
& \iff M\coord{x}{y}\in(d').
\end{align*}
\underline{Ainsi, $(d)$ et $(d')$ sont confondues.}
\begin{rem}
Comment obtenir le nombre \og 30 \fg{} par lequel j'ai multiplié ? J'ai regardé les dénominateurs des fractions $\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{1}{10}$ et j'ai pris le plus petit nombre dans leurs table (le ppcm de 3, 5 et 10 est égal à 30).
\end{rem}

\item $(d)$ : $\dfrac{1}{7}x + 2y - \dfrac{1}{5} = 0$ et $(d')$ : $5x+70y-7=0$.
\begin{align*}
M\coord{x}{y}\in(d) & \iff \dfrac{1}{7}x + 2y - \dfrac{1}{5} = 0\\
& \iff 35 \times \left(\dfrac{1}{7}x + 2y - \dfrac{1}{5}\right) = 35 \times0\\
& \iff 5x+70y-7=0\leftarrow\text{ équation de }(d')\\
& \iff M\coord{x}{y}\in(d').
\end{align*}
\underline{Ainsi, $(d)$ et $(d')$ sont confondues.}

\item $(d)$ : $\dfrac{3}{5}x - \dfrac{5}{3}y + 1 = 0$ et $(d')$ : $-9x+25y+15=0$.
\begin{align*}
M\coord{x}{y}\in(d) & \iff \dfrac{3}{5}x - \dfrac{5}{3}y + 1 = 0\\
& \iff 15\times\left(\dfrac{3}{5}x - \dfrac{5}{3}y + 1\right) = 0\\
& \iff 9x-25y+15=0\\
& \iff -9x+25y-15=0\text{ en multipliant par }(-1)
\end{align*}
Nous n'obtenons pas la même écriture que celle de l'équation de $(d')$ (le signe de \og 15 \fg{} n'est pas le même) donc  \underline{les deux droites ne sont pas confondues}.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{connaissant deux points}[1]
Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).
\begin{enumerate}
\item A\coord{-1}{2} et B\coord{3}{-7}.
\item A\coord{3}{-2} et $\vv{u}\dbinom{2}{1}$ est un vecteur directeur de (AB).
\item A\coord{5}{-4} et (AB) est parallèle à la droite d'équation cartésienne $x+y+1=0$.
\item A\coord{3}{2} et (AB) a pour coefficient directeur $-\dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item A\coord{-1}{2} et B\coord{3}{-7}, donc $\vv{\text{AB}}\dbinom{3-(-1)}{-7-2}$, soit $\vv{\text{AB}}\dbinom{4}{-9}$.

\begin{align*}
\text{M}\coord{x}{y}\in(\text{AB}) & \Longleftrightarrow \vv{\text{AM}}\dbinom{x+1}{y-2}~\text{et}~\vv{\text{AB}}\dbinom{4}{-9}~\text{sont colinéaires}\\
& \Longleftrightarrow -9(x+1)-4(y-2)=0\\
& \Longleftrightarrow -9x-4y-1=0.
\end{align*}

\underline{Une équation cartésienne de (AB) est donc $9x+4y+1=0$.}

\medskip

\item A\coord{3}{-2} et $\vv{u}\dbinom{2}{1}$ est un vecteur directeur de (AB).

\begin{align*}
\text{M}\coord{x}{y}\in(\text{AB}) & \Longleftrightarrow \vv{\text{AM}}\dbinom{x-3}{y+2}~\text{et}~\vv{u}\dbinom{2}{1}~\text{sont colinéaires}\\
& \Longleftrightarrow 1(x-3)-2(y+2)=0\\
& \Longleftrightarrow x-2y-7=0.
\end{align*}

\underline{Une équation cartésienne de (AB) est donc $x-2y-7=0$.}

\medskip

\item A\coord{5}{-4} et (AB) est parallèle à la droite d'équation cartésienne $x+y+1=0$.

La droite d'équation cartésienne $x+y+1=0$ a pour vecteur directeur $\vv{u}\dbinom{-1}{1}$ et (AB) est parallèle à cette droite, donc $\vv{u}$ est aussi un vecteur directeur de (AB). Donc :

\begin{align*}
\text{M}\coord{x}{y}\in(\text{AB}) & \Longleftrightarrow \vv{\text{AM}}\dbinom{x-5}{y+4}~\text{et}~\vv{u}\dbinom{-1}{1}~\text{sont colinéaires}\\
& \Longleftrightarrow 1(x-5)-(-1)(y+4)=0\\
& \Longleftrightarrow x+y-1=0.
\end{align*}

\underline{Une équation cartésienne de (AB) est donc $x+y-1=0$.}

\medskip

\item A\coord{3}{2} et (AB) a pour coefficient directeur $-\dfrac{1}{2}$.

Une droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$ a pour vecteur directeur $\vv{u}\dbinom{1}{m}$, où $m$ est le coefficient directeur de la droite.

Donc un vecteur directeur de (AB) est ici $\vv{u}\dbinom{1}{-\frac{1}{2}}$.

\begin{align*}
\text{M}\coord{x}{y}\in(\text{AB}) & \Longleftrightarrow \vv{\text{AM}}\dbinom{x-3}{y-2}~\text{et}~\vv{u}\dbinom{1}{-\frac{1}{2}}~\text{sont colinéaires}\\[1.5em]
& \Longleftrightarrow -\dfrac{1}{2}(x-3)-1(y-2)=0\\[1em]
& \Longleftrightarrow -\dfrac{1}{2}x-y+\dfrac{7}{2}=0\\[1em]
& \Longleftrightarrow x+2y-7=0.
\end{align*}

\underline{Une équation cartésienne de (AB) est donc $x+2y-7=0$.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{trouver un vecteur directeur}[1]
Dans chacun des cas suivants, donner un vecteur directeur de la droite dont on donne une équation cartésienne.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $3x-5y+2=0$
\item $-5x+9y-7=0$
\item $y=3x-1$
\item $y=5$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\vspace*{-1.5em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $3x-5y+2=0$. Un vecteur directeur est $\vv{u}\dbinom{5}{3}$ (propriété \ref{prop:coefficient directeur}).
\item $-5x+9y-7=0$. Un vecteur directeur est $\vv{u}\dbinom{-9}{-5}$ (propriété \ref{prop:coefficient directeur}).
\item $y=3x-1$. Un vecteur directeur est $\vv{u}\dbinom{1}{3}$ (propriété \ref{prop:équation réduite}).
\item $y=5$. Un vecteur directeur est $\vv{u}\dbinom{1}{0}$ (propriété \ref{prop:équation réduite}).
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{trouver un coefficient directeur}[1]
Dans chacun des cas suivants, donner un coefficient directeur de la droite dont on donne une équation cartésienne.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $3x-5y+2=0$
\item $-5x+9y-7=0$
\item $y=3x-1$
\item $y=5$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $3x-5y+2=0$. Un vecteur directeur est $\vv{u}\dbinom{5}{3}$ (propriété \ref{prop:coefficient directeur}). Donc le coefficient directeur est:
\[
m = \frac{3}{5}.
\]

\item $-5x+9y-7=0$. Un vecteur directeur est $\vv{u}\dbinom{-9}{-5}$ (propriété \ref{prop:coefficient directeur}). Donc le coefficient directeur est:
\[
m = \frac{-5}{-9}=\frac{5}{9}.
\]

\item $y=3x-1$. C'est une équation réduite, donc le coefficient directeur de la droite est le coefficient de $x$:
\[
m=3.
\]

\item $y=5$. La droite est horizontale, donc son coefficient directeur est nul (il n'y a aucune inclinaison par rapport à l'horizontale). Donc, $m = 0$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{médiatrice}[1]
Dans un repère orthonormé \Rij, on considère les points A\coord{3}{1}, B\coord{1}{2}, C\coord{2}{-1} et D\coord{-4}{2}.
\begin{enumerate}
\item Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
\item Montrer que O appartient à (CD).
\item Soit M\coord{x}{y}. Exprimer les distances BM et CM en fonction de $x$ et $y$.

En déduire une équation de la droite $\Delta$, médiatrice de [BC], puis montrer que $\Delta$ est la droite (OA).
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\vv{AB}\dbinom{1-3}{2-1}=\dbinom{-2}{1}$ et $\vv{CD}\dbinom{-4-2}{2-(-1)}=\dbinom{-6}{3}=3\vv{AB}$. Ainsi, $\vv{AB}$ et $\vv{CD}$ sont colinéaires, donc $(AB)$ et ($CD)$ sont parallèles.

\item $\vv{OC}\dbinom{2}{-1}=-\vv{AB}$ donc $\vv{CD}=-3\vv{AB}$. Ainsi, $\vv{OC}$ et $\vv{CD}$ sont colinéaires, donc O, C et D sont alignés.

\item $BM=\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}$ et $CM=\sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2}$.

La médiatrice de [BC] est l'ensemble des points $M\coord{x}{y}$ tels que $BM = CM$, donc\linebreak $BM^2=CM^2$ On en déduit les équivalences page suivante.

\begin{align*}
(x-1)^2+(y-2)^2=(x-2)^2+(y+1)^2 & \Leftrightarrow x^2-2x+1+y^2-4y+4=x^2-4x+4+y^2+2y+1\\
& \Leftrightarrow 2x-6y=0\\
& \Leftrightarrow y=\dfrac{1}{3}x.
\end{align*}

L'équation réduite de $\Delta$ est donc $y=\dfrac{1}{3}x$.

Les coordonnées de $O$ et de $A$ vérifient cette équation (car $y_0=\dfrac{1}{3}x_O$ et $y_A=\dfrac{1}{3}x_A$) donc O et A appartiennent à cette droite. Ainsi, $\Delta=(OA)$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{équation de droites avec paramètre}[2]
Dans un repère, on considère la droite $\mathcal{D}_m$, $m\in\R$, dont une équation cartésienne est :
\[
mx+(2m-1)y+4=0.
\]
\begin{enumerate}
\item Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ la droite est-elle parallèle à l'axe des abscisses ?
\item Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ la droite est-elle parallèle à l'axe des ordonnées ?
\item Montrer que quelle que soit la valeur de $m$, la droite $\mathcal{D}_m$ passe par un point fixe dont on précisera les coordonnées.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item La droite est parallèle à l'axe des abscisses lorsqu'un vecteur directeur est de la forme $\vv{u}\dbinom{k}{0}$, $k\in\R$. Or, on sait que la droite d'équation $ax+by+c=0$ a pour vecteur directeur $\dbinom{-b}{a}$. \underline{Ainsi, il faut que $m=0$ pour que $\mathcal{D}_m$ soit parallèle à l'axe des abscisses.}

\item La droite est parallèle à l'axe des ordonnées lorsqu'un vecteur directeur est de la forme $\vv{u}\dbinom{0}{k}$, $k\in\R$. D'après ce que l'on a dit dans la question précédente, il faut donc que $1-2m=0$, soit $m=\dfrac{1}{2}$.

\underline{Ainsi, il faut que $m=\dfrac{1}{2}$ pour que $\mathcal{D}_m$ soit parallèle à l'axe des ordonnées.}

\item Posons A\coord{x_A}{y_A} le point fixe. Ainsi, $\text{A}\in\mathcal{D}_0$ et $\text{A}\in\mathcal{D}_{\frac{1}{2}}$ (on prend les valeurs de $m$ précédemment trouvées par exemple).

\medskip

$\mathcal{D}_0$ : $y=4$. Donc $y_A=4$.

$\mathcal{D}_{\frac{1}{2}}$ : $x=-8$. Donc $x_A=-8$.

\medskip

\underline{Le point fixe est donc A\coord{-8}{4}.}
\end{enumerate}
\end{exocor}



\subsection*{Systèmes d'équations}

%%%

\begin{exocor}{dimensions d'un rectangle}[1]
On désigne par $x$ la longueur d'un rectangle et par $y$ sa largeur, exprimées en cm. 

Le périmètre de ce rectangle est 16 cm. Si on ajoute 3 cm à la longueur et si on double la largeur, le périmètre devient 28 cm. 

Quelles sont les dimensions de ce rectangle?

\tcblower

Traduisons par deux équations les données:
\begin{itemize}
\item \og Le périmètre de ce rectangle est 16 cm \fg{} se traduit par:
\[
2(x+y)=16 \iff x+y=8.
\]

\item \og Si on ajoute 3 cm à la longueur et si on double la largeur, le périmètre devient 28 cm \fg{} se traduit par:
\[
2\big[ (x+3) + 2y \big] = 28 \iff x+3+2y=14 \iff x+2y=11.
\]
\end{itemize}
On résout alors le système: $\systeme{x+y=8@(L_1),x+2y=11@(L_2)}$.
\begin{align*}
(L_2)-(L_1) & \iff (x+2y)-(x+y)=11-8\\
            & \iff y = 3.
\end{align*}
Ainsi, $(L_1) \iff x+3=8 \iff x=8-3=5$.

\underline{Les dimensions du rectangle sont donc 5 cm et 3 cm.}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{livre et stylo}[1]
Pour l'achat d'un livre et d'un stylo de luxe, la dépense est de 35 \euro. Après une réduction de \pourcent{20} sur le prix
du livre et de \pourcent{30} sur le prix du stylo, la dépense n'est que de 26 \euro.

Calculer le prix d'un livre et celui d'un stylo avant la réduction.

\tcblower

Notons:
\begin{itemize}
\item $x$ le prix d'un livre avant la réduction,
\item $y$ le prix d'un stylo avant la réduction.
\end{itemize}
Traduisons par des équations les données:
\begin{itemize}
\item  \og Pour l'achat d'un livre et d'un stylo, la dépense est de 35 \euro \fg:
\[
x+y=35.
\]

\item \og Après une réduction de \pourcent{20} sur le prix
du livre et de \pourcent{30} sur le prix du stylo, la dépense n'est que de 26 \euro \fg:
\[
0,8x + 0,7y = 26.
\]
\end{itemize}
On doit alors résoudre le système $(S):\systeme{x+y=35@(L_1),{0,8}x+{0,7}y=26@(L_2)}$.

\begin{itemize}
\item Trouvons $y$:
\[
(S)\iff\systeme{{0,8}x+{0,8}y=28@(L_1)\longleftarrow{0,8}(L_1),{0,8}x+{0,7}y=26@(L_2)}
\] 
\begin{align*}
(L_1)-(L_2)&\iff0,1y=2\\
& \iff y = 20.
\end{align*}

\item Trouvons $x$:
\[
(S)\iff\systeme{{0,7}x+{0,7}y={24,5}@(L_1)\longleftarrow{0,7}(L_1),{0,8}x+{0,7}y=26@(L_2)}
\] 
\begin{align*}
(L_2)-(L_1)&\iff0,1x=1,5\\
& \iff x = 15.
\end{align*}
\end{itemize}
\underline{Un livre coûte donc 15 \euro{} et le stylo coûte 20 \euro.}
\vspace*{2cm}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{combien de pièces?}[1]
Max a 10 pièces dans son porte-monnaie. Ce sont uniquement des pièces de 1 \euro{} et 2 \euro{}. Le montant contenu dans le porte monnaie est de 15 \euro.

Combien a-t-il de pièces de chaque sorte ?

\tcblower

Posons:
\begin{itemize}
\item $x$ le nombre de pièces de 1 \euro;
\item $y$ le nombre de pièces de 2 \euro.
\end{itemize}

\og Max a 10 pièces dans son porte-monnaie \fg{} signifie que $x+y=10$.

\og Le montant contenu dans le porte monnaie est de 15 \euro \fg{} signifie que $1x+2y=15$.

\medskip

On doit alors résoudre le système:
\[
\systeme{x+y=10@(L_1),x+2y=15@(L_2)}
\]
On a:
\begin{align*}
(L_2)-(L_1) & \iff  (x+2y) - (x+y) = 15-10\\
            & \iff y = 5
\end{align*}
Ainsi, en remplaçant $y$ par 5 dans $(L_1)$, on a:
\[
(L_1) \iff x+5=10 \iff x = 10-5=5.
\]
\underline{Ainsi, Max possède 5 pièces de chaque sorte.}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{posts Instagram}[1]
Sur mon premier post Instagram, la somme des \og likes \fg{} et \og reposts \fg{} est égale à 840.

Sur mon second, j'ai trois fois plus de \og likes \fg{} et deux fois plus de \og reposts \fg, et leur somme est égale à \numprint{2208}.

Combien de \og likes \fg{} et de \og reposts \fg{} y a-t-il pour mon premier post ?

\tcblower

Posons:
\begin{itemize}
\item $x$ le nombre de \og likes \fg{} sur mon premier post;
\item $y$ le nombre de \og reposts \fg{} sur mon premier post.
\end{itemize}

L'énoncé nous dit alors que:
\[
(S)\;:\;\systeme{x+y=840@(L_1),3x+2y=\numprint{2208}@(L_2)}
\]

\begin{itemize}
\item Trouvons $y$ en éliminant $x$.
\[
(S)\iff \systeme{3x+3y=\numprint{2520}@(L_1)\leftarrow3(L_1),3x+2y=\numprint{2208}@(L_2)}
\]
\begin{align*}
(L_1)-(L_2) & \iff (3x+3y)-(3x+2y)=\numprint{2520}-\numprint{2208}\\
& \iff y = 312.
\end{align*}

\item On en déduit alors à partir du système $(S)$ initial:
\[
(L_1) \iff x+312=840 \iff x = 840-312=528.
\]
\end{itemize}

\underline{Ainsi, mon premier post a 528 \og likes \fg{} et 312 \og reposts \fg.}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{intersection de droites}[2]
Trouver les coordonnées du point d'intersection des droites dont on donne une équation cartésienne.
\begin{enumerate}
\item $(d)\;:\;3x+4y+1=0$ et $(d')\;:\;-5x+6y-2=0$.
\item $(d)\;:\;8x-3y-3=0$ et $(d')\;:\;-4x-5y+1=0$.
\item $(d)\;:\;5x+7y+6=0$ et $(d')\;:\;3x-5y+1=0$.
\item $(d)\;:\;\sqrt2x+\sqrt3y+1=0$ et $(d')\;:\;\sqrt3x-\sqrt2y+1=0$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $(d)\;:\;3x+4y+1=0$ et $(d')\;:\;-5x+6y-2=0$. On doit résoudre le système :
\begin{align*}
\systeme{3x+4y+1=0@L_1,-5x+6y-2=0@L_2}
&\iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{15x+20y+5=0@5L_1,-15x+18y-6=0@3L_2}\\
& \iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{15x+20y+5=0@L_1,38y-1=0@L_1+L_2}
\end{align*}
On en déduit que $y=\dfrac{1}{38}$ et en remplaçant $y$ par cette valeur dans l'équation $3x+4y+1=0$ (par exemple), on obtient :
\[
3x+\dfrac{4}{38}+1=0 \iff 3x=\dfrac{-21}{19} \iff x=-\dfrac{7}{19}.
\]
\underline{Les droites $(d)$ et $(d')$ se coupent donc en un point de coordonnées \coord{-\dfrac{7}{19}}{\dfrac{1}{38}}.}

\item $(d)\;:\;8x-3y-3=0$ et $(d')\;:\;-4x-5y+1=0$. On doit résoudre le système :
\begin{align*}
\systeme{8x-3y-3=0@L_1,-4x-5y+1=0@L_2}
&\iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{8x-3y-3=0@L_1,-8x-10y+2=0@2L_2}\\
& \iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{8x-3y-3=0@L_1,-13y-1=0@L_1+L_2}
\end{align*}
On en déduit que $y=-\dfrac{1}{13}$ et avec l'équation $8x-3y-3=0$, on a :
\[
8x+\dfrac{3}{13}-3=0\iff 8x=\dfrac{36}{13}\iff x=\dfrac{9}{26}.
\]
\underline{Les droites $(d)$ et $(d')$ se coupent donc en un point de coordonnées \coord{\dfrac{9}{26}}{-\dfrac{1}{13}}.}

\item $(d)\;:\;5x+7y+6=0$ et $(d')\;:\;3x-5y+1=0$. On doit résoudre le système :
\begin{align*}
\systeme{5x+7y+6=0@L_1,3x-5y+1=0@L_2}
&\iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{15x+21y+18=0@3L_1,-15x+25y-5=0@-5L_2}\\
& \iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{15x+21y+18=0@L_1,46y+13=0@L_1+L_2}
\end{align*}
O en déduit que $y=-\dfrac{13}{46}$ et à l'aide de l'équation $3x-5y+1=0$, on trouve :
\[
3x+\dfrac{65}{46}+1=0\iff  3x=-\dfrac{111}{46} \iff x = -\dfrac{37}{46}.
\]
\underline{Les droites $(d)$ et $(d')$ se coupent donc en un point de coordonnées \coord{-\dfrac{37}{46}}{-\dfrac{13}{46}}.}

\item $(d)\;:\;\sqrt2x+\sqrt3y+1=0$ et $(d')\;:\;\sqrt3x-\sqrt2y+1=0$. On doit résoudre le système :
\begin{align*}
\systeme{\sqrt2x+\sqrt3y+1=0@L_1,\sqrt3x-\sqrt2y+1=0@L_2}
&\iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{\sqrt6x+3y+\sqrt3=0@\sqrt3L_1,-\sqrt6x+2y-\sqrt2=0@-\sqrt2L_2}\\
& \iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{\sqrt6x+3y+\sqrt3=0@L_1,5y+\sqrt3-\sqrt2=0@L_1+L_2}
\end{align*}
On en déduit alors que $y=\dfrac{\sqrt2-\sqrt3}{5}$ et à l'aide de l'équation $\sqrt2x+\sqrt3y+1=0$, on obtient :
\[
\sqrt2x+\dfrac{\sqrt6-3}{5}+1=0 \iff \sqrt2x = -\dfrac{\sqrt6+2}{5} \iff x = -\dfrac{\sqrt6+2}{5\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt{12}+2\sqrt2}{10}=-\dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{5}.
\]
\underline{Les droites $(d)$ et $(d')$ se coupent donc en un point de coordonnées \coord{-\frac{\sqrt3+\sqrt2}{5}}{\frac{\sqrt2-\sqrt3}{5}}.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[2]
Trouver deux entiers naturels $x$ et $y$ tels que la somme de leurs carrés est égale à 225 et la différence de leurs carrés égale à 63.

\tcblower

On cherche les nombres $x>0$ et $y>0$ tels que :
\[
\systeme{x^2+y^2=225,x^2-y^2=63}
\]
Posons alors $X = x^2$ et $Y = y^2$ pour simplifier les écritures. On a alors:
\begin{align*}
\systeme{X+Y=225@L_1,X-Y=63@L_2} & 
\iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{X+Y=225,2X=288@L_1+L_2}\\
& \iff \systeme{X+Y=225,X=144}\\
& \iff \systeme{Y=225-144=81,X=144}\\
& \iff x = \sqrt{144}=12,\ y=\sqrt{81}=9.
\end{align*}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{baguette et croissant}[2]
Un client demande : \og 4 baguettes et 5 croissants  \fg. Il paie  9,35 \euro.

Un autre client demande : \og 2 baguettes et 3 croissants \fg. Il paie 5,15 \euro.

Quel est le prix d'une baguette ? D'un croissant ?

\tcblower

Posons:
\begin{itemize}
\item $x$ le prix d'une baguette,
\item $y$ le prix d'un croissant.
\end{itemize}

\begin{itemize}
\item \og 4 baguettes et 5 croissants  valent 9,35 \euro \fg{} se traduit par l'équation:
\[
4x+5y=9,35.
\]

\item \og 2 baguettes et 3 croissants valent 5,15 \euro \fg{} se traduit par l'équation:
\[
2x+3y=5,15.
\] 
\end{itemize}
On doit alors résoudre le système: $(S):\systeme{4x+5y={9,35}@(L_1),2x+3y={5,15}@(L_2)}$.
\begin{multicols}{2}
\[
(S)\iff  \systeme{4x+5y={9,35}@(L_1),4x+6y={10,3}@(L_2)\longleftarrow2(L_2)}
\]
\begin{align*}
(L_2)-(L_1) & \iff y = 10,3-9,35\\
& \iff y = 0,95.
\end{align*}

\columnbreak
\[
(S)\iff  \systeme{12x+15y={28,05}@(L_1)\longleftarrow3(L_1),10x+15y={25,75}@(L_2)\longleftarrow5(L_2)}
\]
\begin{align*}
(L_1)-(L_2) & \iff 2x = 28,05-25,75 = 2,30\\
& \iff x = 1,15.
\end{align*}
\end{multicols}
\underline{Ainsi, une baguette coûte 1,15 \euro{} et un croissant coûte 0,95 \euro.}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{le jeu du \og mouxalok \fg}[2]
Le jeu du \og mouxalok \fg{} se joue à deux joueurs sur un plateau sur lequel on place des jetons rouges (qui sont à un des joueurs) et noirs (pour l'autre joueur). Chaque jeton rouge rapporte $x$ points et chaque jeton noir en rapporte $y$.

Les règles sont très compliquées, mais ce qu'il faut retenir est qu'en fin de partie, le joueur qui possède le plus de jetons sur le plateau remporte la totalité des points correspondants. 

Par exemple, s'il reste 2 jetons rouges et 1 noir, le joueur qui possède les jetons rouges remporte $2x+y$ points.

Ci-dessous sont représentés les plateaux en fin de partie 1 et de partie 2:

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
Partie 1

\medskip

\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw (0,0) grid (4,4);
\foreach \x/\y/\c in {0.5/0.5/black,1.5/0.5/black,2.5/2.5/black,0.5/3.5/red,3.5/0.5/red,3.5/3.5/red,1.5/2.5/red}
{
	\fill[\c] (\x,\y) circle (0.3cm);
}
\end{tikzpicture}

\medskip

Total: 40 points
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
Partie 2

\medskip

\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw (0,0) grid (4,4);
\foreach \x/\y/\c in {0.5/0.5/black,1.5/0.5/black,2.5/2.5/black,0.5/3.5/red,3.5/0.5/red,3.5/3.5/red,1.5/2.5/black,2.5/1.5/black}
{
	\fill[\c] (\x,\y) circle (0.3cm);
}
\end{tikzpicture}

\medskip

Total: 41 points
\end{center}
\end{minipage}

\bigskip

Combien rapporte un jeton rouge ? Un jeton noir ?
\vspace*{-5mm}

\tcblower

\begin{itemize}
\item À la fin de la partie 1, il y a 4 jetons rouges, valant chacun $x$ points, et 3 jetons noirs (valant chacun $y$ points).

Le nombre total de points est donc égal à $4x+3y$.

Or, ce total vaut 40 points d'après ce qui est indiqué sous le dessin.

Par conséquent, $4x+3y=10$.

\item À la fin de la partie 2, il y a 3 jetons rouges et 5 jetons noirs, pour un total de points de 41 points.

Donc $3x+5y=41$.
\end{itemize}

On doit donc résoudre le système $(S)$ suivant:
\begin{align*}
\systeme{4x+3y=40@L_1,3x+5y=41@L_2} & 
\iff \systeme{12x+9y=120@L_1\leftarrow3L_1,12x+20y=164@L_2\leftarrow4L_2}\\
&\iff \systeme{12x+9y=120@L_1,11y=44@L2\leftarrow L_2-L_1}
\end{align*}
On déduit de la deuxième équation que $y=\dfrac{44}{11}=4$.

On peut alors s'aider de la première équation du premier système pour écrire:
\[
x=\dfrac{1}{4}(40-3\times4)=7.
\]

\underline{Ainsi, un jeton rouge rapporte 7 points et un jeton noir, 4 points.}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{pommes \& carottes}[2]
Dans le panier de Mme Martin, il y a 5 kg de pommes et 2 kg de carottes.

Dans le panier de M. Bernard, il y a 3 kg de pommes et 7 kg de carottes.

Mme Martin a payé 18,5 \euro{} alors que M. Bernard a payé 28,5 \euro.

\medskip

Quel est le prix d'un kg de pommes et d'un kg de carottes ?

\tcblower

Posons:
\begin{itemize}
\item $x$ le prix d'un kg de pommes;
\item $y$ le prix d'un kg de carottes.
\end{itemize}

\og Dans le panier de Mme Martin, il y a 5 kg de pommes et 2 kg de carottes.

Mme Martin a payé 18,5 \euro. \fg{}

Cela signifie que $5x+2y=18,5$.

\medskip

\og Dans le panier de M. Bernard, il y a 3 kg de pommes et 7 kg de carottes.

M. Bernard a payé 28,5 \euro. \fg{} 

Cela signifie que $3x+7y=28,5$.

On doit alors résoudre le système:
\[
(S)\;:\; \systeme{5x+2y={18,5}@(L_1),3x+7y={28,5}@(L_2)}
\]
\begin{itemize}
\item Trouvons $y$ en éliminant les $x$.
\[
(S) \iff \systeme{15x+6y={55,5}@(L_1)\leftarrow3(L_1),15x+35y={142,5}@(L_2)\leftarrow5(L_2)}
\]
\begin{align*}
(L_2)-(L_1) & \iff (15x+35y) - (15x+6y) = 142,5-55,5\\
& \iff 29y = 87\\
& \iff y = \dfrac{87}{29} = 3
\end{align*}

\item Trouvons $x$ en éliminant $y$.
\[
(S) \iff \systeme{35x+14y={129,5}@(L_1)\leftarrow7(L_1),6x+14y=57@(L_2)\leftarrow2(L_2)}
\]
\begin{align*}
(L_1)-(L_2) & \iff (35x+14y)-(6x+14y)=129,5-57\\
& \iff 29x=72,5\\
& \iff x = \dfrac{72,5}{29}=2,5.
\end{align*}
\end{itemize}

\underline{Ainsi, 1 kg de pommes vaut 2,50 \euro{} et 1 kg de carottes vaut 3 \euro.}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{chute d'une pierre}[3]
Une pierre qui s'est détachée du haut d'une falaise est tombée dans la mer.

La pierre est tombée à la vitesse moyenne de 16~m/s dans l'air jusqu'à atteindre l'eau, puis elle a continué à descendre à la vitesse moyenne de 3~m/s avant d'atteindre le fond marin. 

La distance totale du haut de la falaise jusqu'au fond marin est égale à 127~mètres et la chute de la pierre a duré 12~secondes en tout.

Pendant combien de temps la pierre est-elle tombée dans l'air et pendant combien de temps est-elle tombée dans l'eau ?

\tcblower

Appuyons-nous sur la formule:
\[
\text{vitesse} = \frac{\text{distance}}{\text{temps}}.
\]
Notons:
\begin{itemize}
\item $t$ le temps de chute de la pierre dans l'air;
\item $12-t$ le temps de chute de la pierre dans l'eau (car la temps total de la chute est égal à 12 secondes);
\item $d$ la distance parcourue par la pierre dans l'air;
\item $127-d$ la distance parcourue par la pierre dans l'eau (car la distance totale est égale à 127 mètres).
\end{itemize}
\newpage
Alors,
\begin{itemize}
\item dans l'air, $16=\dfrac{d}{t}$, soit : $d=16t$;
\item dans l'eau, $3=\dfrac{127-d}{12-t}$, soit : $3(12-t)=127-d$, ou encore : $3t-d=36-127$, et donc: $3x-d=-91$.

En remplaçant $d$ par $16t$, on obtient:
\[
-13t=-91\qquad\text{soit}\qquad t=\frac{91}{13}=7 
\]
et donc $d=16\times7=112$.
\end{itemize}
\uline{La pierre chute donc dans l'air sur 112 mètres pendant 7 secondes, puis dans l'eau sur 15 mètres pendant 5 secondes.}
\end{exocor}

%%%
\newpage

\begin{exocor}{balances et masses}[3]
Les balances suivantes sont en équilibre:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[very thick,draw,inner sep=0pt, outer sep=0pt] (img) {\includegraphics[scale=0.5]{balances.png}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Quelle est la masse d'un cône, d'un cylindre et d'une boule ?

\tcblower

Notons:
\begin{itemize}
\item $x$ la masse (en g) d'un cône,
\item $y$ la masse (en g) d'un cylindre,
\item $z$ la masse (en g) d'une boule.
\end{itemize}
Alors, on peut écrire les trois équations suivantes:
\[
\begin{cases}
x+y+z&=35\\
3x+3z&=4y\\
3x+4y&=7z
\end{cases}
\iff
\systeme{x+y+z=35@L_1,3x-4y+3z=0@L_2,3x+4y-7z=0@L3}
\]
Si on ajoute $L_2$ et $L_3$, on élimine les $y$:
\[
L_2+L_3 \iff 6x-4z=0 \iff x = \dfrac{2}{3}z.
\]
Si on les soustrait, on élimine les $x$:
\[
L_3-L_2 \iff 8y-10z=0 \iff y = \frac{5}{4}z.
\]
Ainsi, la première ligne devient:
\[
L_1 \iff \frac{2}{3}z + \frac{5}{4}z + z = 35 \iff \frac{35}{12}z=35 \iff z = 12.
\]
On en déduit alors : $x=\dfrac{2}{3}\times12 = 8$ et $y=\dfrac{5}{4}\times12=15$.

\bigskip

\uline{Ainsi, un cône pèse 12 g, un cylindre pèse 15 g et une boule pèse 12 g.}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{discussion de mathématiciens}[3]
Un mathématicien dit à son collègue : \og j'ai deux fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez.

Quand vous aurez l'âge que j'ai, la somme de nos âges sera égale à 153. 

Quels sont nos âges actuels ? \fg

Saurez-vous répondre à cette question ?

\tcblower

Pour ce type de problème, il faut faire un tableau (par exemple) :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = white] (tab) {
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige}\color{white}}c|Sc|Sc|Sc|}
\hline\rowcolor{numpagecorrige}
    &\color{white} Passé &\color{white} Présent &\color{white} Futur\\\hline
Moi & $y$   & $2x$    & $4x-y$\\\hline
Vous&  $x$  &  $y$    & $2x$\\
\hline
\end{tabular}
};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{itemize}
\item \og J'ai deux fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez \fg{} : je vais noter \og $2x$ \fg{} mon âge actuel car il est égal à deux fois l'âge que vous aviez dans le passé : je note donc $x$ votre âge dans le passé. Le passé est l'époque où j'avais l'âge que vous avez actuellement. Je vais donc noter $y$ votre âge actuel.
\item \og Quand vous aurez l'âge que j'ai... \fg{}  : dans le futur, quand vous aurez un âge égal à $2x$, il se sera écoulé $2x-y$ années, donc j'aurais $2x-y$ ans de plus, soit $2x+2x-y=4x-y$ années.
\end{itemize}

Maintenant que nous avons compléter le tableau, traduisons l'énoncé en équations:

\begin{itemize}
\item dans le futur, la somme de nos âges sera égale à 153 ans : $4x-y+2x=153$, soit\linebreak $6x-y=153$;
\item du passé au présent, il s'est passé $2x-y$ années (si on se réfère à mes âges), qui doit être égal à $y-x$ (si on se réfère à vos âges). On a donc : $2x-y=y-x$, soit $3x-2y=0$.
\end{itemize}
On doit donc résoudre le système:
\begin{align*}
\systeme{6x-y=153,3x-2y=0} & 
\iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{12x-2y=306@2L_1,3x-2y=0}\\
& \iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{9x=306@L_1-L_2,3x-2y=0}\\
& \iff\systeme{x=34,y=51}
\end{align*}

\underline{Ainsi, le mathématicien qui parle a 68 ans et son collègue, 51 ans.}
\end{exocor}


\corriges

