\chapter{Généralités sur les fonctions}

\newpage

\section{Définition}

\subsection{Introduction}

On considère le programme de calcul suivant :
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{itemize}
\item Choisir un nombre
\item l'élever au carré
\item soustraire 7
\end{itemize}
\end{minipage}
}
\end{center}

Si on note $x$ le nombre choisi au départ, ce programme donne à la fin le nombre $x^2-7$.

Si on décide de noter $r(x)$ le \textbf{r}ésultat (dépendant du nombre de départ $x$) alors :
\[
r(x)=x^2-7.
\]
Si on avait noté $a$ le nombre de départ et $f(a)$ le nombre \textbf{f}inal obtenu (dépendant de $a$), alors on aurait noté:
\[
f(a)=a^2-7.
\]
Ce qui compte est l'expression qui permet d'obtenir le nombre final \textit{en fonction} du nombre de départ.

\medskip

On dit qu'à tout nombre réel $x$, ce programme \textbf{associe} le nombre $x^2-7$, et on note :
\[
x \longmapsto x^2-7.
\]
Il y a donc deux notations pour désigner le fait qu'un nombre est transformé en un autre.

\medskip

Cette transformation est appelée une \textbf{fonction}.

\subsection{Définition mathématique}

\begin{defin}
Soit $x$ un nombre réel.

On appelle \textbf{fonction} toute opération sur $x$ qui le transforme en un autre nombre.

\medskip

Si on note $f$ cette fonction alors le nombre final est noté $f(x)$.

$x$ est appelé \textbf{un antécédent} de $f(x)$.

$f(x)$ est appelé \textbf{l'image} de $x$ par la fonction $f$.

On note alors:
\[
f\;:\;x\longmapsto f(x)
\]
\end{defin}

\newpage
\section{Ensemble de définition et\\ensemble image}

\subsection{Ensemble de définition}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction.

L'\textbf{ensemble de définition} de $f$ (aussi appelé \textbf{domaine de définition}) est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ existe.

On le note en général $\mathcal{D}_f$.
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item Si $f\;:\;x\longmapsto x^2-7$ alors $\mathcal{D}_f=\R$ car on peut calculer $x^2-7$ pour toutes les valeurs réelles de $x$.
\item Si $g\;:\;x\longmapsto\dfrac{1}{x-1}$ alors $\mathcal{D}_g=\R\setminus\{1\}$ car on peut toujours calculer $\dfrac{1}{x-1}$ sauf si $x=1$ (car il est impossible de diviser par 0)
\end{enumerate}
\end{exemple}

\subsection{Ensemble image}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction dont le domaine de définition est $\mathcal{D}_f$.

On appelle \textbf{ensemble image} de $f$ l'ensemble de toutes les valeurs que prend $f(x)$ pour $x\in\mathcal{D}_f$.
\end{defin}

\begin{exemple}
Soit $f\;:\;x\longmapsto x^2-7$. On sait que pour tout $x$ réel, $x^2\geqslant0$ donc $x^2-7\geqslant-7$.

De plus, $x$ pouvant prendre des valeurs de plus en plus grandes, $x^2$ peut aussi prendre des valeurs de plus en plus grandes, donc il n'y a pas de limite supérieure à $x^2$, donc à $x^2-7$ (on dit que $x^2-7$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ et quand $x$ tend vers $-\infty$.

Ainsi, l'ensemble image de $f$ est $\intervFO{-7}{+\infty}$.
\end{exemple}

\begin{rem}
Trouver l'ensemble image d'une fonction n'est pas immédiat. Il sera très souvent nécessaire d'étudier la fonction. C'est l'objet du reste de ce chapitre.
\end{rem}

\newpage

\section{Représentation graphique}

\subsection{Tableau de valeurs}

\begin{defin}
On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I=\intervFF{a}{b}$ de \R.

On appelle \textbf{tableau de valeurs} de $f$ un tableau constitué de deux lignes:
\begin{itemize}
\item sur la 1\iere, sont reportées plusieurs valeurs de $x$ comprises entre $a$ et $b$;
\item sur la 2\ieme, sont reportées les images des valeurs de $x$ de la 1\iere{} ligne.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{rem}
Le \textbf{pas} des valeurs de $x$, c'est-à-dire la différence entre chaque valeur de $x$, est arbitraire: c'est nous qui le choisissons selon le contexte dans lequel nous sommes.
\end{rem}

\begin{exemple}
Soit $f\;:\;x\longmapsto x^2-7$. Un tableau de valeurs de $f$ sur \intervFF{-5}{5} est:
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\cellcolor{exemple}\color{white}}Sc|*{11}{Sc|}}
\hline
$x$ & $-5$ & $-4$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
\hline
$f(x)$ & 18 & 9 & 2 & $-3$ & $-6$ & $-7$ & $-6$ & $-3$ & 2 & 9 & 18\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Ici, j'ai pris la décision (ça n'a pas été simple, mais j'y suis tout de même arrivé...) de prendre un pas égal à 1 pour les valeurs de $x$, c'est-à-dire que je suis parti de la plus petite valeur de $x$ permise (donc $x=-5$ car la fonction est définie sur \intervFF{-5}{5}) et j'ai avancé en ajoutant 1 à chaque fois, jusqu'à arriver à la plus grande valeur de $x$ permise, donc jusqu'à $x=5$.

Pour chaque valeur de $x$, j'ai calculé $f(x)$ (donc $f(-5)$, $f(-4)$, $f(-3)$, ... jusqu'à $f(5)$).
\end{exemple}

\subsection{Courbe représentative}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction définie sur son domaine de définition $\mathcal{D}_f$.
 
On appelle \textbf{courbe représentative} de $f$ dans un repère cartésien l'ensemble de tous les points de coordonnées \coord{x}{f(x)}, pour $x\in\mathcal{D}_f$.
\end{defin}

\begin{exemple}[courbe représentative]
\begin{minipage}{6cm}
\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.15]
\draw[gray,dashed] (-5,-7) grid (5,18);
\draw[->,thick,>=latex] (-5,0) -- (5,0);
\draw[->,thick,>=latex] (0,-7) -- (0,18);
\draw[thick,red] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{\x*\x-7});
\foreach \x/\y in {-5/18,-4/9,-3/2,-1/-6,0/-7,1/-6,2/-3,3/2,4/9,5/18}
{
\fill[green!50!black] (\x,\y) circle[x radius=4pt,y radius=10pt];
}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-6cm}
On a représenté ci-contre la courbe représentative de la fonction $f\;:\;x\mapsto x^2-7$.

Pour tracer cette courbe, on s'aide du tableau de\linebreak valeurs établi précédemment en mettant dans le repère les points de coordonnées \coord{-5}{18}, \coord{-4}{9}, ..., \coord{5}{18}.

\medskip

On les relie ensuite de sorte à ce que la courbe finale ne soit pas trop rectiligne.
\end{minipage}
\end{exemple}

\begin{rem}
La définition de la courbe représentative d'une fonction est très importante. En effet, elle nous permet de savoir l'ordonnée d'un de ses points si on en connaît\linebreak l'abscisse.

Par exemple, sur la fonction $f\;:\:x\mapsto x^2-7$, on sait que le point de la courbe représentative de $f$ d'abscisse $x=2,5$ a pour ordonnée $y=f(2,5)=2,5^2-7=-0,75$.
\end{rem}

\begin{attention}
La courbe représentative d'une fonction ne \og retourne pas en arrière \fg; autrement dit, pour un $x$ donné, il n'y a qu'un seul point sur la courbe dont l'abscisse vaut $x$. Par exemple, le cercle suivant n'est pas la courbe représentative d'une fonction car pour l'abscisse $x$ indiquée, il y a deux points sur le cercle dont l'abscisse est $x$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-2}{-2}{2}{2}
\draw[cyan] (0,0) circle (1.5cm);
\draw[dashed,red,thick] (-130:1.5) -- (130:1.5);
\fill[red] (130:1.5) circle (2pt);
\fill[red] (-130:1.5) circle (2pt);
\node[red,above right] at (-1,0) {$x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{attention}

\subsection{Ce que fait votre calculatrice}

\textit{Les captures d'écran ci-dessous sont issues du manuel d'utilisation de la CASIO GRAPH90+}.
\enlargethispage*{2\baselineskip}

Pour tracer une courbe sur une calculatrice,
\begin{enumerate}
\item il faut avant tout entrer l'expression de la fonction en accédant à un écran ressemblant à celui-ci :
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{CASIO-fct01.png}
\end{center}


\item il faut ensuite entrer les paramètres d'affichage en accédant à une fenêtre comme celle-ci:

\medskip

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.75]{CASIO-fct02.png}
\end{center}

Ici, \texttt{Xmin} représente la plus petite valeur de $x$ du domaine de définition sur lequel on souhaite tracer la courbe. Quant à \texttt{Xmax}, cela représente la plus grande valeur de $x$. Ainsi, pour une fonction définie sur \intervFF{-5}{5}, on entrera \texttt{Xmin=-5} et \texttt{Xmax=5}.

\newpage

Il va de soit que \texttt{Ymin} et \texttt{Ymax} jouent le même rôle, mais pour les valeurs des images. Sur l'exemple précédent, d'après le tableau de valeurs, on pourra prendre \texttt{Ymin=-7} et \texttt{Ymax=18}.

\medskip

Le paramètre \texttt{scale} représente l'échelle des graduations.

Sur la TI89, un paramètre \texttt{xres}	est présent : pour un tracé très précis, ce paramètre doit valoir 1. Pour un tracé rapide mais moins précis, on peut entrer une valeur de 2 à 10 (si \og 10 \fg{} est entré, cela sous-entend que la calculatrice prendra 1 pixel sur 10, calculera son image, et tracera une segment de cette image à la suivante).
\end{enumerate} 

Votre calculatrice peut aussi construire un tableau de valeurs.

Par exemple, sur la CASIO GRAPH90+, après avoir entrée l'expression de la fonction, on devra définir les paramètres du tableau de valeurs:
\begin{center}
\includegraphics{CASIO-fct03.png}
\end{center}

Ici, le paramètre \texttt{step} informe le \textit{pas} entre chaque valeurs de $x$ (sur cet exemple, \texttt{step=1} stipule que les valeurs de $x$ vont être : $-3$, $-2$, $-1$, 0, 1, 2 et 3).

\bigskip

Voici ci-dessous un extrait du manuel d'utilisation de la CASIO GRAPH90+ permettant de voir comment générer un tableau de valeurs pour trois fonctions ($x\mapsto3x^2-2$, $x\mapsto x+4$ et $x\mapsto x^2$).
\begin{center}
\includegraphics[width=\linewidth]{CASIO-fct04.png}
\end{center}

\newpage

\section{Variations d'une fonction}

\subsection{Sens de variation}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de \R. On considère deux nombres $a$ et $b$ quelconques dans $I$ tels que $a<b$.
\begin{itemize}
\item On dit que $f$ est \textbf{strictement croissante sur I} si $f(a)<f(b)$.
\item On dit que $f$ est \textbf{strictement décroissante sur I} si $f(a)>f(b)$.
\item On dit que $f$ est \textbf{constante sur I} si $f(a)=f(b)$.
\end{itemize}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\begin{scope}[scale=0.6]
\draw[->,thick] (-1,0) -- (5,0);
\draw[->,thick] (-1,0) -- (-1,7);
\draw[thick,red] plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{0.25*\x*\x+1});
\draw[dashed] (2,0) node[below] {$a$} -- (2,{0.25*4+1}) -- (-1,{0.25*4+1}) node[left] {$f(a)$};
\draw[dashed] (4,0) node[below] {$b$} -- (4,{0.25*16+1}) -- (-1,{0.25*16+1}) node[left] {$f(b)$};
\node at (2.5,-1) {$a<b \Rightarrow f(a)<f(b)$};
\node at (2.5,-2) {$f$ est strictement croissante};
\end{scope}

\begin{scope}[scale=0.6,shift={(10,0)}]
\draw[->,thick] (-1,0) -- (5,0);
\draw[->,thick] (-1,0) -- (-1,7);
\draw[thick,red] plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{-0.25*\x*\x+7});
\draw[dashed] (2,0) node[below] {$a$} -- (2,{-0.25*4+7}) -- (-1,{-0.25*4+7}) node[left] {$f(a)$};
\draw[dashed] (4,0) node[below] {$b$} -- (4,{-0.25*16+7}) -- (-1,{-0.25*16+7}) node[left] {$f(b)$};
\node at (2.5,-1) {$a<b \Rightarrow f(a)>f(b)$};
\node at (2.5,-2) {$f$ est strictement décroissante};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{defin}

\begin{rem}
\begin{itemize}
\item Si $f$ est strictement croissante sur un intervalle $I$ alors les images sont rangées dans le même ordre que les antécédents.
\item Si $f$ est strictement décroissante sur un intervalle $I$ alors les images sont rangées dans l'ordre inverse des antécédents.
\item Une fonction constante sur un intervalle $I$ sera représentée par une droite (ou segment si l'intervalle est fini) horizontal.e. :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[->,thick] (-1,0) -- (5,0);
\draw[->,thick] (-1,0) -- (-1,5);
\draw[thick,red] (0,3) -- (4.5,3);
\draw[dashed] (2,0) node[below] {$a$} -- (2,3);
\draw[dashed] (4,0) node[below] {$b$} -- (4,3);
\draw[dashed] (0,3) -- (-1,3) node[left] {$f(a)=f(b)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{rem}

\subsection{Tableau de variations}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction définie sur un domaine de définition $\mathcal{D}_f$.

Le \textbf{tableau de variations} de $f$ sur $\mathcal{D}_f$ est un tableau comportant deux lignes:
\begin{itemize}
\item sur la 1\iere{} sont reportées toutes les valeurs de $x$ importantes (bornes du domaine de définition, valeurs interdites de la fonction, valeurs de $x$ où la fonction change de sens de variation);
\item sur la 2\ieme{} sont représentées les variations de $f$ (une flèche montante quand $f$ est croissante, une flèche descendante quand $f$ est décroissante), ainsi éventuellement que la donnée de certaines images.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{exemple}
D'après la courbe représentative de la fonction $f\;:\;x\mapsto x^2-7$ donnée dans l'exemple \ref{exemple:courbe représentative}, ainsi que du tableau de valeurs de cette fonction, on peut dresser le tableau de variations suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,deltacl=0.5,espcl=2,color,colorC=exemple,colorL=exemple,
colorV=exemple]{\textcolor{white}{$x$}/0.8, {\textcolor{white}{Variations de $f(x)$}}/1.5}{\textcolor{white}{$-5$},\textcolor{white}{0},\textcolor{white}{5}}
\tkzTabVar{+/18,-/$-7$,+/18}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}

\subsection{Minimum et maximum}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de \R.
\begin{itemize}
\item On appelle \textbf{minimum} de $f$ sur $I$ la plus petite valeur atteinte par $f(x)$ pour $x\in I$.
\item On appelle \textbf{maximum} de $f$ sur $I$ la plus grande valeur atteinte par $f(x)$ pour $x\in I$.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{exemple}
D'après le tableau de variations précédent,
\begin{itemize}
\item le minimum de la fonction $f\;:\;x\mapsto x^2-7$ sur \intervFF{-5}{5} est $-7$;
\item le maximum de la fonction $f\;:\;x\mapsto x^2-7$ sur \intervFF{-5}{5} est $18$.
\end{itemize}
\end{exemple}

\newpage

\section{Fonctions paires, fonctions\\impaires}

\subsection{Fonctions paires}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathcal{D}_f$.

On dit que $f$ est \textbf{paire} si:
\begin{itemize}
\item $\forall x\in\mathcal{D}_f,\ -x\in\mathcal{D}_f$;
\item $f(-x)=f(x)$.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{exemple}
La fonction $f\;:\;x\mapsto x^2-7$ est paire car son domaine de définition est \R (donc pour tout $x\in\R$, $-x\in\R$) et:
\[
f(-x)=(-x)^2-7=x^2-7=f(x).
\]
\end{exemple}

\begin{prop}
Si une fonction $f$ est paire alors, dans un repère orthogonal, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
\end{prop}

En effet, on a la situation suivante:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->,thick,>=latex] (-5,0) -- (5,0);
\draw[->,thick,>=latex] (0,-1.5) -- (0,3);
\draw[dashed] (-4,0) node[below] {$-x_1$} -- (-4,2.5) -- (4,2.5) -- (4,0) node[below] {$x_1$};
\draw[dashed] (-2,0) node[below] {$-x_2$} -- (-2,1) -- (2,1) -- (2,0) node[below] {$x_2$};
\draw[dashed] (-1,0) node[above] {$-x_3$} -- (-1,-1) -- (1,-1) -- (1,0) node[above] {$x_3$};
\foreach \x/\y in {-4/2.5,4/2.5,-2/1,2/1,-1/-1,1/-1}
{
\fill (\x,\y) circle (2pt);
}
\end{tikzpicture}
\end{center}
$f$ est paire donc $f(x_1)=f(-x_1)$, $f(x_2)=f(-x_2)$, $f(x_3)=f(-x_3)$, etc. 

Les points sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées

\newpage

\subsection{Fonctions impaires}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathcal{D}_f$.

On dit que $f$ est \textbf{impaire} si:
\begin{itemize}
\item $\forall x\in\mathcal{D}_f,\ -x\in\mathcal{D}_f$;
\item $f(-x)=-f(x)$.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{exemple}
La fonction $f\;:\;x\mapsto x^3+x$ est impaire car son domaine de définition est \R (donc pour tout $x\in\R$, $-x\in\R$) et:
\[
f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x).
\]
\end{exemple}

\begin{prop}
Si une fonction $f$ est impaire alors, dans un repère orthogonal, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine.
\end{prop}
\enlargethispage*{2\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->,thick,>=latex] (-5,0) -- (5,0);
\draw[->,thick,>=latex] (0,-1.5) -- (0,3);
\draw[dashed,blue] (-4,0) node[below] {$-x_1$} -- (-4,2.5) -- (4,-2.5) -- (4,0) node[above] {$x_1$};
\draw[dashed,orange] (-2,0) node[below] {$-x_2$} -- (-2,1) -- (2,-1) -- (2,0) node[above] {$x_2$};
\draw[dashed,green!50!black] (-1,0) node[above] {$-x_3$} -- (-1,-1) -- (1,1) -- (1,0) node[below] {$x_3$};
\foreach \x/\y in {-4/2.5,4/-2.5,-2/1,2/-1,-1/-1,1/1}
{
\fill (\x,\y) circle (2pt);
}
\end{tikzpicture}
\end{center}
$f$ est impaire donc $f(x_1)=-f(x_1)$, $f(x_2)=-f(x_2)$, $f(x_3)=-f(x_3)$, etc. 

Les points sont symétriques par rapport à l'origine du repère.

\exercices

\subsection*{Notion de fonctions}

%%%

\begin{exocor}{fonction ou pas fonction ?}[1]
Pour chaque courbe dessinée ci-dessous, dire si elle représente une fonction en justifiant.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item \begin{tikzpicture}[scale=0.45,baseline]
\rep{-5}{-5}{5}{5}
\draw[thick,red] (-5,-3) to[bend left=20] (-1,1) to[bend right=20] (5,4);
\end{tikzpicture}

\item \begin{tikzpicture}[scale=0.45,baseline]
\rep{-5}{-5}{5}{5}
\draw[color=red,thick,domain=0:6.28,samples=200,smooth] plot (canvas polar cs:angle=\x r,radius={60-60*sin(\x r)});
\end{tikzpicture}

\item \begin{tikzpicture}[scale=0.45,baseline]
\rep{-5}{-5}{5}{5}
\draw[color=red,thick] (-5,-5) -- (-2,-2) -- (-2,2) -- (5,5);
\end{tikzpicture}

\item \begin{tikzpicture}[scale=0.45,baseline]
\rep{-5}{-5}{5}{5}
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[color=red,thick] plot (\x,{0.25*\x*\x*\x+0.5*\x-1});
\end{tikzpicture}

\item \begin{tikzpicture}[scale=0.45,baseline]
\rep{-5}{-5}{5}{5}
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[color=red,thick] plot[domain=-5:1] (\x,{sqrt(\x*\x-3*\x+2)});
\draw[color=red,thick] plot[domain=2:5] (\x,{sqrt(\x*\x-3*\x+2)});
\end{tikzpicture}

\item \begin{tikzpicture}[scale=0.45,baseline]
\rep{-5}{-5}{5}{5}
\draw[color=red,thick,domain=0:360,samples=200,smooth] plot ({2*sin(3*\x)},{3*cos(2*\x)});
\end{tikzpicture}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item La courbe représente bien une fonction malgré la singularité au point d'abscisse $-1$ (regardez bien ce qui se passe au point de coordonnées \coord{-1}{1} : la courbe se \og brise \fg{} mais ce n'est pas vraiment grave...). En effet, chaque valeur de $x$ dans \intervFF{-5}{5} n'admet qu'une image $f(x)$ : si on prend une valeur de $x$ quelconque dans \intervFF{-5}{5}, on ne peut trouver qu'un seul point de la courbe qui a pour abscisse $x$.

\medskip

\item La courbe ne représente pas une fonction car il existe au moins un $x$ pour lequel deux images par $f$ existent. Par exemple, pour $x=1$, les points de coordonnées \coord{1}{0,5} et \coord{1}{-4} sont sur cette courbe.

\medskip

\item Cette courbe ne représente pas une fonction car on voit qu'il existe plusieurs points de cette courbe dont l'abscisse vaut $-2$.

\medskip

\item La courbe représente bien une fonction car sur \intervFF{-5}{5}, chaque valeur de $x$ admet une unique image.

\medskip

\item Cette courbe représente bien une fonction malgré le fait qu'elle possède un \og trou \fg{} sur \intervFF{1}{2}. En effet, chaque valeur de $x$ dans \intervFF{-5}{1} possède une unique image et il en est de m\^eme pour chaque valeur de $x$ dans \intervFF{2}{5}.

\medskip

\item Cette courbe n'est pas représentative d'une fonction car il existe au moins une valeur de $x$ qui possède deux images. Par exemple, pour $x=0$, il y a deux images : 3 et $-1.5$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%
\enlargethispage*{2em}
\begin{exocor}{associer une fonction à une notion}[1]
Dans chacune des situations suivantes, donner l'expression de la fonction associée.
\begin{enumerate}
\item Soit ABCD un carré de côté $x$. $p$ est la fonction qui à $x$ associe le périmètre de ABCD.

\item Soit ABCD un carré de côté $x$. $\mathcal{A}$ est la fonction qui à $x$ associe l'aire de ABCD.

\item Soit ABC un triangle rectangle en A tel que $AB=10$ et $AC=x$. $f$ est la fonction qui à $x$ associe d'aire de ABC.

\item Soit ABC un triangle rectangle en A tel que $AB=10$ et $AC=x$. $c$ est la fonction qui à $x$ associe la longueur BC.
\end{enumerate}
\vspace*{-2em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Le périmètre d'un carré de côté $x$ est égal à $4x$. Donc:
\[
\boxed{p\;:\;x\mapsto 4x\qquad\text{ou}\qquad p(x)=4x.}
\]

\item L'aire d'un carré de côté $x$ est égale à $x^2$. Donc:
\[
\boxed{\mathcal{A}\;:\;x\mapsto x^2\qquad\text{ou}\qquad \mathcal{A}(x)=x^2.}
\]

\item L'aire de ABC est égale à $\dfrac{AB \times AC}{2}$ car il est rectangle en A.
\[
\dfrac{AB \times AC}{2}=\dfrac{10 \times x}{2}=5x.
\]
Donc:
\[
\boxed{f\;:\;x\mapsto 5x\qquad\text{ou}\qquad f(x)=5x.}
\]

\item D'après le théorème de Pythagore, 
\[
BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{10^2+x^2}=\sqrt{100+x^2}.
\]
Donc:
\[
\boxed{c\;:\;x\mapsto \sqrt{100+x^2}\qquad\text{ou}\qquad c(x)=\sqrt{100+x^2}.}
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{établir une expression d'une fonction}[2]
Pour chacune des questions suivantes, exprimer $f(x)$ sous sa forme la plus simple, puis donner son domaine de définition.

\begin{enumerate}
\item Un complexe sportif est composé de plusieurs activités. Pour pouvoir y avoir accès, on doit payer un droit d'entrée de 5 \euro{} puis payer 2 \euro{} par heure.

$f(x)$ représente le prix à payer pour $x$ heures.

\item $f(x)$ représente l'aire hachurée dans le carré ABCD suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw (0,0) node[below left] {A} -- (3,0) node[below right] {B} -- (3,3) node[above right] {C} -- (0,3) node[above left] {D} -- cycle;
\draw[pattern=north west lines, pattern color=numpageenonce] (1,0) node[below] {M} -- (2,3) node[above] {N} -- (3,1) node[right] {O} -- cycle;
\draw[<->] (-0.5,0) -- (-0.5,3) node[midway,fill=pageenonce!30] {3};
\draw[<->] (0,-0.5) -- (1,-0.5) node[midway,below] {$x$};
\draw[<->] (2,3.5) -- (3,3.5) node[midway,above] {$x$};
\draw[<->] (3.5,0) -- (3.5,1) node[midway,right] {$x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $f(x)$ représente l'aire du triangle ABC inscrit dans le cercle de diamètre [AB] :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) circle (2cm);
\draw (-2,0) node[left] {A} -- (2,0) node[right] {B} node[midway,below] {5} -- (70:2cm) node[above] {C} -- cycle;
\draw (-1.5,0) arc (0:36:0.5cm);
\node[above right] at (-1.5,0) {$x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item On choisit un nombre $x$. $f(x)$ représente alors la différence entre le carré de son précédent et celui de son suivant.


\item $f(x)$ représente l'aire du domaine blanc de la figure suivante, où O est le centre du cercle de rayon 3 et A le centre du cercle de rayon $x$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.8]
\draw (0,0) circle (3cm);
\draw[pattern=north west lines, pattern color=numpageenonce] (45:1cm) circle (2cm);
\draw[pattern=north west lines, pattern color=numpageenonce] (225:2cm) circle (1cm);
\draw[<->,thick] (0,0) node[above left,fill=white,inner sep=1pt] {O} -- (-45:3cm) node[midway,above,rotate=-45,fill=white,inner sep=1pt,outer sep=2pt] {3};
\draw[<->,thick] (45:1cm) node[above left,fill=white,inner sep=1pt] {A} -- (45:3cm) node[midway,left,fill=white,inner sep=1pt,outer sep=6pt] {$x$};
\fill (0,0) circle (1pt);
\fill (45:1cm) circle (1pt);
\draw[dashed] (45:1cm) -- (225:3cm);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f(x)=5+2x$. Son domaine de définition est \intervFO{0}{+\infty} car $x$ ne peut pas être négatif (vu que $x$ représente un nombre d'heures).
\item 
\begin{itemize}
\item L'aire du carré ABCD est : 9.
\item L'aire des triangles MBO et NCO est : $\dfrac{x(3-x)}{2}$.
\item L'aire du trapèze AMND est la somme des aires des figures violette et verte : 
\[
\textcolor{violet}{3x}+\textcolor{green!50!black}{\dfrac{3(3-2x)}{2}}=\dfrac{6x+9-6x}{2}=\dfrac{9}{2}
\]
(soit la moitié de l'aire du carré ABCD... coïncidence ? Je ne crois pas...)
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\fill[violet,opacity=0.2] (0,0) rectangle+(1,3);
\fill[green,opacity=0.2] (1,0) -- (1,3) -- (2,3) -- cycle;
\draw (0,0) node[below left] {A} -- (3,0) node[below right] {B} -- (3,3) node[above right] {C} -- (0,3) node[above left] {D} -- cycle;
\draw[pattern=north west lines] (1,0) node[below] {M} -- (2,3) node[above] {N} -- (3,1) node[right] {O} -- cycle;
\draw[<->] (-0.5,0) -- (-0.5,3) node[midway,fill=pagecorrige!30] {3};
\draw[<->] (0,-0.5) -- (1,-0.5) node[midway,below] {$x$};
\draw[<->] (2,3.5) -- (3,3.5) node[midway,above] {$x$};
\draw[<->] (3.5,0) -- (3.5,1) node[midway,right] {$x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}

L'aire du triangle MON est donc :
\[
f(x)=9-\dfrac{9}{2}-2\times\dfrac{x(3-x)}{2}=\dfrac{9}{2}-x(3-x)=x^2-3x+\dfrac{9}{2}.
\]
Son domaine de définition est \intervFF{0}{3} car $x$ ne peut pas \^etre négatif ni plus grand que la mesure d'un c\^oté de ABCD.

\item Le triangle ABC est rectangle en C donc :
\[ \cos x=\dfrac{AC}{5}\qquad ; \qquad \sin x=\dfrac{BC}{5}
\]
donc $AC=5\cos x$ et $BC=5\sin x$.

L'aire de ABC est donc $f(x)=\dfrac{AC\times BC}{2} = \dfrac{25}{2}\sin x\cos x$.

$x$ étant un angle aigu, le domaine de définition de $f$ est \intervFO{0}{90}, si $x$ est exprimé en degrés.

\item Le carré du précédent de $x$ est $(x-1)^2$. 

Le carré du suivant de $x$ est $(x+1)^2$.

Ainsi, $f(x)=(x-1)^2-(x+1)^2=-4x$. C'est une fonction linéaire dont le domaine de définition est \R.

\item L'aire du disque de rayon 3 est : $9\pi$ (formule : $\pi \times r^2$).

L'aire du disque de rayon $x$ est : $\pi x^2$.

L'aire du \og petit disque  \fg{} est : $(3-x)^2\pi$.

\medskip

Ainsi, l'aire blanche est :
\begin{align*}
9\pi-\pi x^2 - (3-x)^2\pi & = \big[9-x^2-(9-6x+x^2)\big]\pi\\
& = (6x-2x^2)\pi\\
\Aboxed{f(x) & = 2x(3-x)\pi}
\end{align*}

Le domaine de définition de $f$ est \intervFF{0}{3}.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{fonction impaire}[3]
Soit $f$ une fonction impaire telle que $f(0)$ existe.

Montrer que $f(0)=0$.

\tcblower

\bigskip

$f$ est impaire donc pour tout $x$ de son domaine de définition, $f(-x)=-f(x)$.

\bigskip

$f(0)$ existe donc, en remplaçant $x$ par $0$ dans l'égalité $f(-x)=-f(x)$, on a les équivalences page suivante.

\begin{align*}
f(-0)=-f(0) & \iff f(0)=-f(0)\\
& \iff f(0)+f(0)=0\\
& \iff 2f(0)=0\\
& \iff \dfrac{2f(0)}{2}=\dfrac{0}{2}\\
& \iff \underline{f(0)=0}.
\end{align*}
\end{exocor}


\subsection*{Domaine de définition et tableau de valeurs}

%%%

\begin{exocor}{domaine de définition}[1]
Pour chacune des fonctions suivantes, trouver leur domaine de définition.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $f_1\;:\;x\mapsto\dfrac{1}{x-8}$
\item $f_2\;:\;x\mapsto\dfrac{1}{x^2-4}$
\item $f_3\;:\;x\mapsto\sqrt{x-7}$
\item $f_4\;:\;x\mapsto\sqrt{x^2+1}$
\item $f_5\;:\;x\mapsto x^2-5x+1$
\item $f_6\;:\;x\mapsto\sqrt{\dfrac{-8}{x-1}}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower


\begin{enumerate}
\item $f_1\;:\;x\mapsto\dfrac{1}{x-8}$ est définie pour toutes les valeurs de $x$ sauf quand $x-8=0$ car le dénominateur d'une fraction ne peut pas être égal à 0.

Or $x-8=0\iff x=0$; donc il faut enlever \og 8 \fg{} à l'ensemble des nombre réels pour que $f_1(x)$ existe.

\underline{Donc $\mathcal{D}_{f_1}=\R\setminus\{8\}$.}

\item $f_2\;:\;x\mapsto\dfrac{1}{x^2-4}$ est définie pour toutes les valeurs de $x$ sauf pour les valeurs telles que $x^2-4=0$.

Or, $x^2-4=0\iff (x-2)(x+2)=0\iff x=2\text{ ou }x=-2$.

On doit donc enlever à \R les valeurs $-2$ et 2.

\medskip

\underline{Donc $\mathcal{D}_{f_2}=\R\setminus\{-2~;2\}$.}

\item $f_3\;:\;x\mapsto\sqrt{x-7}$ est définie uniquement si $x-7\geqslant0$, donc si $x\geqslant7$.

\underline{Ainsi, $\mathcal{D}_{f_3}=\intervFO{7}{+\infty}$.}

\item $f_4\;:\;x\mapsto\sqrt{x^2+1}$ est définie uniquement si $x^2+1\geqslant0$. Or, pour toutes les valeurs de $x$ réelles, $x^2\geqslant0$ donc $x^2+1\geqslant1$. Donc $f_4(x)$ existe toujours, quelle que soit la valeur de $x$.

\medskip

\underline{Donc $\mathcal{D}_{f_4}=\R$.}

\item $f_5\;:\;x\mapsto x^2-5x+1$ est définie pour toutes les valeurs que $x$ peut prendre car on peut toujours calculer $x^2-5x+1$.

\medskip

\underline{Donc $\mathcal{D}_{f_5}=\R$.}

\item $f_6\;:\;x\mapsto\sqrt{\dfrac{-8}{x-1}}$ est définies uniquement si $\dfrac{-8}{x-1}\geqslant0$ et si $x-1\neq0$, c'est-à-dire si $x-1<0$, soit $x<1$.

\underline{Donc $\mathcal{D}_{f_6}=\intervOO{-\infty}{1}$.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{loi d'Ohm}[1]
En sciences physiques, la \textit{loi d'Ohm} dit que la tension $U$ (en volts) entre les bornes d'un résistor de résistance $R$ est égale au produit de l'intensité du courant électrique $I$ (en ampères) et de la valeur de $R$: $U = R \times I$.
\begin{enumerate}
\item Si l'intensité reste constamment égale à 5 ampères, quelle est la fonction $f(R)$ donnant la tension en fonction de la résistance ? 
\item Construire un tableau de valeurs de la fonction $f$ sur \intervFF{1}{10} avec un pas de 1.
\item Construire la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f(R)=U=RI=5R$ d'après la loi d'Ohm.

\item Tableau de valeurs de la fonction $f$ sur \intervFF{1}{10} avec un pas de 1:
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\cellcolor{numpagecorrige!20}}Sc|*{10}{Sc|}}
\hline
$R$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
\hline
$f(R)$ & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 & 35 & 40 & 45 & 50\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{rem}
C'est un tableau de proportionnalité de coefficient de proportionnalité égal à 5.
\end{rem}
\item Courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.18]
\draw[gray,dashed] (0,0) grid (10,50);
\draw[->,thick,>=latex] (0,0) -- (11,0) node[below] {R};
\draw[->,thick,>=latex] (0,0) -- (0,52) node[right] {U};
\draw[thick,red] (0,0)--(10,50);
\foreach \x in {1,2,...,10}
{
\draw[thick] (\x,0.5) -- (\x,-0.5) node[below] {\x};
\fill[green!50!black] (\x,{5*\x}) circle[x radius=2pt,y radius=10pt];
}
\foreach\y in {5,10,15,20,25,30,35,40,45,50}
{
\draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {\y};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{rem}
On reconnaît ici la représentation d'une fonction linéaire: c'est une droite qui passe par l'origine du repère.
\end{rem}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{tableau de valeurs à la calculatrice}[1]
\`A l'aide de votre calculatrice, compléter le tableau de valeurs donné pour chaque fonction.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^2-3x+6$.

\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce}\color{white}}Sc|*{11}{Sc|}}
\hline
$x$ & $-5$ & $-4$ & $-3$ &  $-2$ & $-1$ &  0 &  1 & 2 & 3 &  4 & 5\\
\hline
$f(x)$ & & & & & & & & & & & \\
\hline
\end{tabular}

\item $g(x)=\dfrac{1}{x-3}$.

\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce}\color{white}}Sc|*{13}{Sc|}}
\hline
$x$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 2,25 & 2,5 & 2,75 & 3,25 & 3,5 & 3,75 & 4 & 5 & 6\\
\hline
$g(x)$ & & & & & & & & & & & & & \\
\hline
\end{tabular}

\item $h(x)=\sqrt{4-x^2}$.

\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce}\color{white}}Sc|*{9}{Sc|}}
\hline
$x$ & $-2$ & $-1,5$ & $-1$ & $-0,5$ & 0  & 0,5 & 1 & 1,5 & 2\\
\hline
$h(x)$ & & & & & & & & &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{enumerate}

\tcblower

\paragraph*{Sur CASIO,} appuyer sur la touche [MENU], puis appuyer sur la touche [7] (ou sélectionner [TABLE]). 

Ensuite, entrer l'expression de chaque fonction en Y1, Y2 et Y3. Noter que la touche [X,$t$,$\theta$,$n$] est à utiliser pour la variable X. Valider en appuyant sur la touche [EXE].

Pour construire le tableau de valeurs d'une fonction, positionnez-vous sur la ligne correspondant à la fonction souhaitée, puis appuyer sur la touche [F5] (SET) pour paramétrer la valeur initiale et la valeur finale de $x$, en précisant le pas (Step).

\paragraph*{Sur TI,} appuyer sur la touche [$f(x)$] pour rentrer l'expression des fonctions en Y1, Y2 et Y3. Noter que la touche [X,$t$,$\theta$,$n$] est à utiliser pour la variable X. Valider en appuyant sur la touche [ENTRER].

Pour paramétrer le tableau de valeurs, appuyer sur [2nd]+[F4] (afin de sélectionner \linebreak "TblSet").

\paragraph*{Sur NUMWORKS,} c'est bien plus simple: après avoir entré l'expression de la fonction (en choisissant \og Fonctions \fg{} dans le menu principal, sélectionner \og Afficher les valeurs \fg{} et aller sur \og Régler l'intervalle \fg{} au-dessus du tableau.

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item Ici, pour la \textbf{CASIO}, on entrera :
\begin{itemize}
\item Start: $-5$
\item End: 5
\item Step: 1
\end{itemize}

\columnbreak

Pour la \textbf{T.I.}, on entrera :
\begin{itemize}
\item TblStart : $-5$
\item {\small$\Delta$}tbl : 1
\end{itemize}
\end{multicols}

On obtient :

\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!10}}Sc|*{11}{Sc|}}
\hline
$x$ & $-5$ & $-4$ & $-3$ &  $-2$ & $-1$ &  0 &  1 & 2 & 3 &  4 & 5\\
\hline
$f(x)$ & 46 & 34 & 24 & 16 &10 &6 &4 &4 &6 &10 &16 \\
\hline
\end{tabular}

\medskip

\item 
\begin{multicols}{2}
Ici, pour la \textbf{CASIO}, on entrera :
\begin{itemize}
\item Start: $-1$
\item End: 6
\item Step: 0.25
\end{itemize}

\columnbreak

Pour la \textbf{T.I.}, on entrera :
\begin{itemize}
\item TblStart : $-1$
\item {\small$\Delta$}tbl : 0.25
\end{itemize}
\end{multicols}

On obtient :

\scalebox{0.9}{%
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!10}}Sc|*{13}{Sc|}}
\hline
$x$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 2,25 & 2,5 & 2,75 & 3,25 & 3,5 & 3,75 & 4 & 5 & 6\\
\hline
$g(x)$ &$-0,25$ &$-0,333$ &$-0,5$ &$-1$ & $-1,333$& $-2$& $-4$&4 &2 &1,333 &1 &0,5 &0,333 \\
\hline
\end{tabular}}

\medskip

\item 
\begin{multicols}{2}
Ici, pour la \textbf{CASIO}, on entrera :
\begin{itemize}
\item Start: $-2$
\item End: 2
\item Step: 0.5
\end{itemize}

\columnbreak

Pour la \textbf{T.I.}, on entrera :
\begin{itemize}
\item TblStart : $-2$
\item {\small$\Delta$}tbl : 0.5
\end{itemize}
\end{multicols}

On obtient :

\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!10}}Sc|*{9}{Sc|}}
\hline
$x$ & $-2$ & $-1,5$ & $-1$ & $-0,5$ & 0  & 0,5 & 1 & 1,5 & 2\\
\hline
$h(x)$ & 0&1,323 &1,732 & 1,936&2 &1,936 &1,732 &1,323 & 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{appartenance de points à une courbe}[1]
Soit $f$ une fonction et soit $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

Pour chacune des fonctions suivantes, dire si le point A (dont les coordonnées sont données à chaque fois) appartient ou non à $\mathcal{C}_f$.

\begin{enumerate}
\item $f(x)=-5x+2$, A\coord{-1}{7}.
\item $f(x)=x^2+x+1$, A\coord{-2}{3}.
\item $f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$, A\coord{2}{0,25}.
\item $f(x)=\sqrt{x^2+1}$, A\coord{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{rem}
Pour voir si un point appartient à la courbe représentative d'une fonction $f$, on doit vérifier si son ordonnée est égale à l'image de son abscisse par la fonction $f$; autrement dit,
\[
M\coord{x}{y}\in\mathcal{C}_f \iff y=f(x).
\]
\end{rem}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=-5x+2$, A\coord{-1}{7}.

$f(-1)=-5\times(-1)+2=5+2=7=y_A$. Donc \underline{A$\in\mathcal{C}_f$.}

\newpage

\item $f(x)=x^2+x+1$, A\coord{-2}{3}.

$f(-2)=(-2)^2+(-2)+1=4-2+1=2+1=3=y_A$ donc \underline{A$\in\mathcal{C}_f$.}

\medskip

\item $f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$, A\coord{2}{0,25}.

$f(2)=\dfrac{1}{2^2+1}=\dfrac{1}{4+1}=\dfrac{1}{5}=0,2\neq y_A$. Donc \underline{A$\notin\mathcal{C}_f$.}

\medskip

\item $f(x)=\sqrt{x^2+1}$, A\coord{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.

$f\big(\sqrt{2}\big)=\sqrt{\sqrt{2}^2+1}=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}=y_A$ donc \underline{A$\in\mathcal{C}_f$.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{images et antécédents}[2]
\begin{enumerate}
\item Soit $f(x)=-3x+2$.
\begin{enumerate}
\item Donner l'image des nombres $-1$, 0 et $\sqrt{2}$ par la fonction $f$.
\item $-1$ est-il un antécédent de 1 par la fonction $f$ ?
\item Trouver tous les antécédents de $-3$ par la fonction $f$.
\end{enumerate}

\item Soit $g(x)=x^2-5x+2$.
\begin{enumerate}
\item Donner l'image des nombres $-1$, 1 et $\sqrt{2}$ par la fonction $g$.
\item $-2$ est-il un antécédent de 1 par la fonction $g$ ?
\item Donner tous les antécédents de 2 par la fonction $g$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Soit $f(x)=-3x+2$.
\begin{enumerate}
\item Donner l'image des nombres $-1$, 0 et $\sqrt{2}$ par la fonction $f$.

\[
f(-1)=-3\times(-1)+2=5\qquad;\qquad f(0)=-3\times0+2=2\qquad;\]
\[
\underline{f\big(\sqrt{2}\big)=-3\sqrt{2}+2.}
\]

\item $-1$ est-il un antécédent de 1 par la fonction $f$ ?

$f(-1)=-3\times(-1)+2=3+2=5\neq1$.

\underline{$-1$ n'est donc pas un antécédent de 1 par la fonction $f$.}

\item Trouver tous les antécédents de $-3$ par la fonction $f$.

Rechercher les antécédents de $-3$ par $f$ revient à trouver toutes les valeurs de $x$ telles que $f(x)=-3$. Il faut donc résoudre cette équation.
\begin{align*}
f(x)=-3 & \Longleftrightarrow-3x+2=-3\\
& \Longleftrightarrow -3x=-5\\
& \Longleftrightarrow x=\dfrac{5}{3}.
\end{align*}

\underline{Ainsi, le seul antécédent de $-3$ par $f$ est $\dfrac{5}{3}$.}
\end{enumerate}

\newpage

\item $g(x)=x^2-5x+2$.
\begin{enumerate}
\item Donner l'image des nombres $-1$, 1 et $\sqrt{2}$ par la fonction $g$.
\[
g(-1)=(-1)^2-5(-1)+2=8\qquad;\qquad g(1)=1^2-5\times1+2=-2\qquad;\]
\[
g\big(\sqrt{2}\big)=\sqrt{2}^2-5\sqrt{2}+2=\underline{4-5\sqrt{2}}.
\]

\item $-2$ est-il un antécédent de 1 par la fonction $g$ ?

$g(-2)=(-2)^2-5(-2)+2=4+10+2=16\neq1$.

\underline{$-2$ n'est donc pas un antécédent de 1 par $g$.}

\item Donner tous les antécédents de 2 par la fonction $g$.
\begin{align*}
g(x)=2 & \Longleftrightarrow x^2-5x+2=2\\
& \Longleftrightarrow x^2-5x=0\\
& \Longleftrightarrow x(x-5)=0\\
& \Longleftrightarrow x=0\text{ ou } x=5.
\end{align*}

\underline{Les antécédents de 2 par $g$ sont donc 0 et 5.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{}[2]
Soit $f$ la fonction définie par:
\[
f(x)=\frac{3x+2}{x-4}.
\]
On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble de définition de $f$ ? Justifier votre réponse.
\item Calculer l'image de 2 par $f$, puis l'image de $-1$ par $f$.
\item Les points suivants sont-ils situés sur $\mathcal{C}$? Justifier votre réponse.
\[
A\coord{0}{\frac{1}{2}}\qquad;\qquad
B\coord{15}{4,27}\qquad;\qquad
C\coord{\frac{1}{3}}{-\frac{9}{11}}.
\]
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Le nombre $f(x)$ est défini quand son dénominateur n'est pas égal à zéro. 

Or, $x-4=0 \iff x=4$. Donc la fonction $f$ admet une valeur interdite: $x=4$. 

Par conséquent, le domaine de définition de $f$ est : $\mathcal{D} = \R\setminus\{4\}$.

\item L'image de 2 par la fonction $f$ est:
\[
f(2) = \frac{3\times2+2}{2-4}=\frac{8}{-2}=-4.
\]
L'image de $-1$ par la fonction $f$ est:
\[
f(-1)=\frac{3(-1)+2}{-1-4}=\frac{-1}{-5}=\frac{1}{5}.
\]

\item Un point de coordonnées \coord{x}{y} appartient à $\mathcal{C}$ quand $y=f(x)$.
\begin{itemize}
\item $f(0)=\dfrac{3\times0+2}{0-4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$, donc $A\coord{0}{\dfrac{1}{2}} \in\mathcal{C}$.

\item $f(15)=\dfrac{3\times15+2}{15-4}=\dfrac{47}{11}\approx4,272727\cdots \neq 4,27$, donc $B\coord{15}{4,27} \not\in\mathcal{C}$.

\begin{attention}
Il faut que l'ordonnée du point soit exactement égale à l'image de son abscisse pour que le point appartienne à la courbe. Ici, l'image de 15 n'est pas exactement égale à 4,27, donc le point $B$ ne sera pas exactement sur la courbe, mais \og juste à côté \fg.
\end{attention}

\item $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{3\times\tfrac{1}{3}+2}{\tfrac{1}{3}-4}=\dfrac{3}{\tfrac{-11}{3}}=\dfrac{-9}{11}$, donc $C\coord{\frac{1}{3}}{-\frac{9}{11}}\in\mathcal{C}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exocor}


\subsection*{Tableau de variations}

%%%

\begin{exocor}{tableau de variations avec valeur interdite}[1]
On considère la fonction $f$ définie sur \R par :
\[
f(x)=\dfrac{1}{x-1}
\]
dont la courbe représentative dans un repère orthonormé (dessinée à l'aide d'un logiciel de tracé de courbes) est donnée ci-dessous.

\bigskip

Construire le tableau de variations de $f$ sur \R.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.8]
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[dashed,gray] (-5,-5) grid (5,5);
\draw[thick,->] (-5,0) -- (5,0);
\draw[thick,->] (0,-5) -- (0,5);
\draw[numpageenonce,thick] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{1/(\x-1)});
\node[below left] at (0,0) {O};
\draw[thick] (1,0.1) -- (1,-0.1) node[below left] {1};
\draw[thick] (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left] {1};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace*{-2em}

\tcblower

Avant de construire le tableau de variations de $f$, remarquons qu'il a été tracée une droite verticale en $x=1$. Cette droite ne fait pas partie de la courbe mais a été tracée par le logiciel automatiquement pour signifier qu'en $x=1$, il y a une valeur interdite. En effet, l'expression de la fonction montre que l'on divise par $x-1$ et que ce n'est pas possible de le faire quand $x-1=0$, soit quand $x=1$.

\medskip

De plus, il semblerait que la courbe se rapproche de l'axe des abscisses aux infinis, donc que $f(x)$ se rapproche de 0 aux infinis.

Le tableau de variations de $f$ est donc le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$f(x)$/2}{$-\infty$,1,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/0,-D+/$-\infty$/$+\infty$,-/0}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{lecture d'un tableau de variations}[1]
On considère la fonction $f$ définie sur \intervFF{-6}{5} dont le tableau de variations est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpageenonce!20,colorV=numpageenonce!20,colorL=numpageenonce!20]{$x$/0.75,$f(x)$/2}{$-6$,$-3$,0,1,5}
\tkzTabVar{-/2,+/5,-/$-3$,+/0,-/$-4$}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quel est le maximum de la fonction $f$ sur \intervFF{-6}{5} ?
\item Quel est le minimum de la fonction $f$ sur \intervFF{-6}{5} ?
\item Comparer $f(-5)$ et $f(-4)$. Justifier.
\item Peut-on comparer $f(-5)$ et $f(3)$ ? Justifier.
\item Peut-on comparer $f(-1)$ et $f(4)$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Le maximum de la fonction $f$ sur \intervFF{-6}{5} est 5; il est atteint pour $x=-3$.
\item Le minimum de la fonction $f$ sur \intervFF{-6}{5} est $-4$; il est atteint pour $x=5$.
\item $-6 < -5 < -4 < -3$. De plus, sur \intervFF{-6}{-3}, $f$ est strictement croissante donc\linebreak $f(-6) < f(-5) < f(-4) < f(-3)$ (les images sont rangées dans le même ordre que les antécédents quand la fonction est strictement croissante).

\underline{Ainsi, $f(-5) < f(-4)$.}

\item $-6 < -5 < -3$ et $f$ est strictement croissante sur \intervFF{-6}{-3} donc $f(-6)<f(-5)<f(-3)$, soit $2 < f(-5) < 5$.

De plus, $1 < 3 < 5$ et $f$ est strictement décroissante sur \intervFF{1}{5} donc $f(1) > f(3) > f(5)$, soit $0 > f(3) > -4$, que l'on peut aussi écrire : $- < f(3) < 0$.

Donc $f(3)$ est négatif et $f(-5)$ est positif. 

\underline{Ainsi, $f(-5) > f(3)$.}

\item De la même manière, $-3<f(-1)<5$ et $-4<f(4)<0$. On ne peut donc pas comparer $f(-1)$ et $f(4)$ car les intervalles sur lesquels ils sont (à savoir \intervOO{-3}{5} et \intervOO{-4}{0}) ne sont pas disjoints, c'est-à-dire que leur réunion n'est pas vide.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{lecture d'un tableau de variations}[1]
Le tableau de variations d'une fonction $f$ est donnée ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpageenonce!20,colorV=numpageenonce!20,colorL=numpageenonce!20]{$x$/0.75,$f(x)$/2}{$-5$,$-2$,0,3,5}
\tkzTabVar{+/$-4$,-/$-5$,+/$6$,-/0,+/$4$}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer le maximum et le minimum de $f$ ainsi que les valeurs pour lesquelles ils sont atteints.
\item Quel est le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 4$. Justifier votre réponse.
\item Compléter par $<$, $>$, ou $?$ si on ne peut pas savoir en justifiant votre réponse :
\[
f(1) \ldots f(2) \qquad ; \qquad
f(-1) \ldots f(-2) \qquad ; \qquad
f(-1) \ldots f(4) \qquad ;\qquad 
f(4) \ldots f(-3)
\]
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item Le maximum de $f$ est 6; il est atteint pour $x=0$.
\item Le minimum de $f$ est $-5$; il est atteint pour $x=-2$.
\end{itemize}

\item L'équation $f(x)=4$ admet exactement 3 solutions. En effet,
\begin{itemize}
\item Sur \intervFF{-5}{-2}, $f(x)$ passe de $-4$ à $-5$, donc ne passe pas par 4;
\item sur \intervFF{-2}{0}, $f(x)$ passe de $-5$ à 6, donc passe par 4 une fois;
\item sur \intervFF{0}{3}, $f(x)$ passe de $6$ à 0, donc passe par 4 une fois;
\item sur \intervFF{3}{5}, $f(x)$ passe de $0$ à 4, donc passe par 4 une fois (à la fin).
\end{itemize}

\item 
\begin{itemize}
\item Sur \intervFF{0}{3}, $f$ est strictement décroissante, donc:
\[
 1 < 2 \iff f(1) > f(2).
\]
 
\item Sur \intervFF{-2}{0}, $f$ est strictement croissante, donc:
\[
-1 > -2 \iff f(-1) > f(-2).
\]

\item Sur \intervFF{-1}{4}, $f$ n'est pas monotone et les valeurs de $f(0)$ et $f(3)$ ne peuvent pas nous permettre d'ordonner $f(-1)$ et $f(4)$ donc:
\[
f(-1)\quad ? \quad f(4).
\]

\item Sur \intervFF{-3}{4}, $f$ n'est pas monotone mais, d'après les valeurs des images mises dans le tableau de variations, $f(-3) < 0$ et $f(4)>0$. Donc:
\[
f(4) > f(-3).
\]
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%% 

\begin{exocor}{tableau de variations}[1]
On considère la fonction $f$ définie sur \intervFF{-6}{3} par :
\[
f(x)=\sqrt{\dfrac{1}{3}x^3+2x^2+1}
\]
dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est donnée page suivante.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[dashed,gray] (-6,-1) grid (3,6);
\draw[thick,->] (-6,0) -- (3,0);
\draw[thick,->] (0,-1) -- (0,6);
\draw[numpageenonce,thick] plot[domain=-6:3,samples=100] (\x,{sqrt(\x*\x*\x/3+2*\x*\x+1)});
\fill[numpageenonce] (-6,1) circle (2pt);
\node[below left] at (0,0) {O};
\draw[thick] (1,0.1) -- (1,-0.1) node[below] {1};
\draw[thick] (0.1,1) -- (-0.1,1) node[below left] {1};
\draw[cyan,<->,thick] (-5,{sqrt(-4*4*4/3+2*4*4+1)}) -- (-3,{sqrt(-4*4*4/3+2*4*4+1)});
\fill[cyan] (-4,{sqrt(-4*4*4/3+2*4*4+1)}) circle (2pt);
\draw[cyan,<->,thick] (-1,1) -- (1,1);
\fill[cyan] (0,1) circle (2pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Construire le tableau de variations de $f$ sur \intervFF{-6}{3} en précisant les valeurs des extrema locaux (maximum et minimum dans cet intervalle).

\tcblower

Avant de construire le tableau de variations de $f$, calculons la valeur du minimum et du maximum:

\begin{itemize}
\item il y a un maximum pour $x=-4$, et :
\[
f(-4)=\sqrt{\dfrac{1}{3}\times(-4)^3+2\times(-4)^2+1}=\sqrt{-\dfrac{64}{3}+32+1}=\sqrt{\dfrac{35}{3}}.
\]
\item il y a un minimum pour $x=0$ et $f(0)=1$.
\item $f(-6)=1$.
\item $f(3)=2\sqrt7$.
\end{itemize}

Le tableau de variations de $f$ est donc le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$f(x)$/2}{$-6$,$-4$,0,$3$}
\tkzTabVar{-/1,+/$\sqrt{\frac{35}{3}}$,-/1,+/$2\sqrt7$}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exocor}


\subsection*{Résolution graphique d'équations et d'inéquations}

\begin{exocor}{}[1]
On considère la fonction $f$ définie sur \intervFF{-2}{2} représentée par la courbe ci-dessous :

\medskip

\begin{minipage}{6cm}
\begin{tikzpicture}[scale=1.3]
\draw[gray,dashed] (-2,-2) grid[step=0.5] (2,3);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-2,0) -- (2,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-2) -- (0,3);
\foreach\x in {-2,-1,1,2}
{
	\draw[thick] (\x,0.033) -- (\x,-0.033) node[below,fill=pageenonce!30,inner sep=2pt] {\x};
}
\foreach\x in {-2,-1,1,2,3}
{
	\draw[thick] (0.033,\x) -- (-0.033,\x) node[left,fill=pageenonce!30,inner sep=2pt] {\x};
}
\clip (-2,-2) rectangle (2,3);
\draw[thick,numpageenonce] plot[domain=-2:2,samples=100] (\x,{\x*\x*\x*\x-\x*\x-1});
\node[below left] at (0,0) {O};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-6cm}
\`A l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes.

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation : $f(x)=-1$ sur \intervFF{-2}{2}.
\item Résoudre l'inéquation : $f(x)\geqslant-1$ sur \intervFF{-2}{2}.
\item Résoudre l'inéquation : $f(x)<-2$ sur \intervFF{-2}{2}.
\end{enumerate} 
\end{minipage}
\vspace*{-2em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item La droite horizontale passant par $y=-1$ coupe la courbe en 3 points d'abscisses respectives $-1$, 0 et 1. Ainsi, l'équation $f(x)=-1$ admet pour ensemble solution : $$\boxed{S=\{-1~;0~;1\}}$$

\newpage

\item Les parties de la courbe se trouvant au-dessus de la droite horizontale passant par $y=-1$ (ou sur cette droite) se trouvent respectivement sur \intervFF{-2}{-1}, \intervFF{1}{2} et au point d'abscisse 0. L'inéquation $f(x)\geqslant-1$ admet donc pour ensemble solution : $$\boxed{S=\intervFF{-2}{-1}\cup\{0\}\cup\intervFF{1}{2}}$$

\item La courbe n'est jamais sous de la droite horizontale passant par $y=-2$ donc l'inéquation $f(x)<-2$ admet pour ensemble solution :$$\boxed{S=\varnothing}\quad\text{(ensemble vide)}$$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[1]
On considère la fonction $f$ définie sur \intervFF{-3}{3} représentée par la courbe ci-dessous :

\medskip

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5cm}
\`A l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes.
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation : $f(x)=0$ sur \intervFF{-3}{3}.
\item Résoudre l'inéquation : $f(x)\leqslant-3$ sur \intervFF{-3}{3}.
\item Résoudre l'inéquation : $f(x)>0$ sur \intervFF{-3}{3}.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{3cm}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
\draw[gray,dashed] (-3,-6) grid (3,4);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-3,0) -- (3,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-6) -- (0,4);
\foreach\x in {-2,-1,1,2}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below,fill=pageenonce!30,inner sep=2pt] {\x};
}
\foreach\x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3}
{
	\draw[thick] (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left,fill=pageenonce!30,inner sep=2pt] {\x};
}
\clip (-3,-6) rectangle (3,4);
\draw[thick,numpageenonce] plot[domain=-3:3,samples=100] (\x,{\x*\x*\x+\x*\x-2*\x-3});
\node[below left] at (0,0) {O};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\tcblower


\begin{enumerate}
\item La courbe semble couper l'axe des abscisses en $x=1,5=\dfrac{3}{2}$. Ainsi, $f(x)=0$ admet pour ensemble solution : $$\boxed{S=\left\{\dfrac{3}{2}\right\}}$$ 


\item Les solutions de l'inéquation $f(x)\leqslant-3$ sont les valeurs de $x$ pour lesquelles les points de la courbe d'abscisse $x$ sont sous la droite horizontale passant par $y=-3$, donc sur les parties en rouge page suivante.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8,every node/.style={scale=0.8}]
\draw[gray,dashed] (-3,-6) grid (3,4);
\clip (-3,-6) rectangle (3,4);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-3,0) -- (3,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-6) -- (0,4);
\foreach\x in {-2,-1,1,2}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below,fill=pagecorrige!30,inner sep=2pt] {\x};
}
\foreach\x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3}
{
	\draw[thick] (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left,fill=pagecorrige!30,inner sep=2pt] {\x};
}
\draw[thick] plot[domain=-3:3,samples=100] (\x,{\x*\x*\x+\x*\x-2*\x-3});
\draw[blue,thick,dashed] (-3,-3) -- (3,-3);
\draw[very thick,red] plot[domain=-3:-2,samples=100] (\x,{\x*\x*\x+\x*\x-2*\x-3});
\draw[very thick,red] plot[domain=0:1,samples=100] (\x,{\x*\x*\x+\x*\x-2*\x-3});
\node[below left] at (0,0) {O};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ces parties sont sur les intervalles \intervFF{-3}{-2} et \intervFF{0}{1} donc l'ensemble solution de l'inéquation $f(x)\leqslant-3$ est : $$\boxed{S=\intervFF{-3}{-2}\cup\intervFF{0}{1}}$$
\newpage
\item Les solutions de l'inéquation $f(x)>0$ sont les valeurs de $x$ pour lesquelles les points de la courbe d'abscisse $x$ sont au-dessus de l'axe des abscisses, donc sur la branche rouge ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7,every node/.style={scale=0.7}]
\draw[gray,dashed] (-3,-6) grid (3,4);
\clip (-3,-6) rectangle (3,4);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-3,0) -- (3,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-6) -- (0,4);
\foreach\x in {-2,-1,1,2}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below,fill=pagecorrige!30,inner sep=2pt] {\x};
}
\foreach\x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3}
{
	\draw[thick] (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left,fill=pagecorrige!30,inner sep=2pt] {\x};
}
\draw[thick] plot[domain=-3:3,samples=100] (\x,{\x*\x*\x+\x*\x-2*\x-3});
\draw[very thick,red] plot[domain=1.55:3,samples=100] (\x,{\x*\x*\x+\x*\x-2*\x-3});
\node[below left] at (0,0) {O};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Donc l'ensemble solution de l'inéquation $f(x)>0$ sur \intervFF{-3}{3} est : $$\boxed{S=\intervOF{\dfrac{3}{2}}{3}}$$
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%% 

\newpage
\begin{exocor}{}[2]
On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies sur \intervFF{-5}{5} dont les courbes représentatives sont dessinées ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw[gray,dashed] (-5,-5) grid (5,5);
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-5,0) -- (5,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-5) -- (0,5);
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below,fill=pageenonce!30,inner sep=2pt] {\x};
	\draw[thick] (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left,fill=pageenonce!30,inner sep=2pt] {\x};
}
\draw[thick,cyan] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{\x*\x-2*\x-3});
\node[right,text=cyan] at (4,4.5) {$\mathcal{C}_f$};
\draw[thick,numpageenonce] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{-0.25*\x*\x*\x+\x*\x+\x-3});
\node[below left,text=purple] at (5,-4) {$\mathcal{C}_g$};
\node[below left] at (0,0) {O};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\`A l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes.
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation : $f(x)=g(x)$ sur \intervFF{-5}{5}.
\item Résoudre l'inéquation : $f(x)\leqslant g(x)$ sur \intervFF{-5}{5}.
\item Combien l'équation $g(x)=3$ possède-t-elle de solution(s) ?
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur \intervFF{-5}{5}.
\item Dresser un tableau de signes de la fonction $g$ sur \intervFF{-5}{5}.
\end{enumerate} 

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. Il y a deux points d'intersection (en rouge).

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw[gray,dashed] (-5,-5) grid (5,5);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-5,0) -- (5,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-5) -- (0,5);
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below,fill=pagecorrige!30,inner sep=2pt] {\x};
	\draw[thick] (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left,fill=pagecorrige!30,inner sep=2pt] {\x};
}
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[thick] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{\x*\x-2*\x-3});
\node[right] at (4,4.5) {$\mathcal{C}_f$};
\draw[thick] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{-0.25*\x*\x*\x+\x*\x+\x-3});
\node[below left] at (5,-4) {$\mathcal{C}_g$};
\node[below left] at (0,0) {O};
\fill[red] (0,-3) circle (2pt);
\fill[red] (3.5,2) circle (2pt);
\draw[red,thick,dotted] (3.5,2) -- (3.5,0);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\underline{Les solutions à l'équation $f(x)=g(x)$ sont donc $x=0$ et $x=3,5$.}


\item Repassons en rouge la partie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sous  $\mathcal{C}_g$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[gray,dashed] (-5,-5) grid (5,5);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-5,0) -- (5,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-5) -- (0,5);
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below,fill=pagecorrige!30,inner sep=2pt] {\x};
	\draw[thick] (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left,fill=pagecorrige!30,inner sep=2pt] {\x};
}
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[thick] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{\x*\x-2*\x-3});
\node[right] at (4,4.5) {$\mathcal{C}_f$};
\draw[thick] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{-0.25*\x*\x*\x+\x*\x+\x-3});
\node[below left] at (5,-4) {$\mathcal{C}_g$};
\node[below left] at (0,0) {O};
\draw[very thick,red] plot[domain=0:3.5,samples=100] (\x,{\x*\x-2*\x-3});
\draw[red,thick,dotted] (3.5,2) -- (3.5,0);
\end{tikzpicture}
\end{center}

La partie repassée en rouge correspond aux images des $x$ compris entre 0 à 3,5.

\underline{Donc, l'inéquation a pour solution l'intervalle \intervFF{0}{3,5}.}

\item Pour savoir combien l'équation $f(x)=3$ admet de solution(s), on regarde combien il y a de points d'intersection entre la droite d'équation $y=3$ et $\mathcal{C}_f$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[gray,dashed] (-5,-5) grid (5,5);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-5,0) -- (5,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-5) -- (0,5);
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below,fill=pagecorrige!30,inner sep=2pt] {\x};
	\draw[thick] (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left,fill=pagecorrige!30,inner sep=2pt] {\x};
}
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[thick] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{\x*\x-2*\x-3});
\node[right] at (4,4.5) {$\mathcal{C}_f$};
\draw[thick] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{-0.25*\x*\x*\x+\x*\x+\x-3});
\node[below left] at (5,-4) {$\mathcal{C}_g$};
\node[below left] at (0,0) {O};
\draw[red,thick] (-5,3) -- (5,3);
\fill[red] (-1.6,3) circle (3pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Il n'y a qu'un seul point d'intersection donc \underline{il n'y a qu'une solution à l'équation $f(x)=3$.}

\item Le tableau de variations de la fonction $g$ est :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[deltacl=1,color,colorV=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorL=numpagecorrige!10]{$x$/0.5,$g(x)$/1.5}{$-5$,$-{0,5}$,${3,1}$,5}
\tkzTabVar{+/,-/$-{3,2}$,+/${2,2}$,-/${-4,2}$}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}


\item Le tableau de signes de la fonction $g$ est :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorV=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorL=numpagecorrige!10]{$x$/0.5,$g(x)$/1}{$-5$,$-{1,9}$,{1,5},{4,4},5}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,z,-}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{rem}
Les valeurs mises pour les deux dernières réponses sont approximatives.
\end{rem}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%
\newpage
\begin{exocor}{Python}[2]
Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{5}x^3-3x^2+\dfrac{12}{5}x+1$ sur \R. Sa courbe représentative sur \intervFF{-3}{15} est donnée ci-dessous:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.1,xscale=0.8]
\draw[gray] (-3,-80) grid[xstep=1,ystep=10] (15,40);
\draw[->,>=latex,thick] (-3,0) -- (15,0);
\draw[->,>=latex,thick] (0,-80) -- (0,40);
\foreach\x in {-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}
{
\draw[thick] (\x,1) -- (\x,-1) node[below] {$\x$};
}
\draw[thick,numpageenonce] plot[domain=-3:15,samples=100] (\x,{0.2*\x*\x*\x-3*\x*\x+2.4*\x+1});
\end{tikzpicture}
\end{center}
Compléter le programme suivant, écrit en Python, afin qu'il calcule l'image de toutes les valeurs de $x$ pour $x\in\intervFF{0}{1}$ avec un pas de 0,01 et d'afficher le maximum de $f$ sur cet intervalle ainsi que l'abscisse de ce maximum.

\begin{python}
M = 0
xmax = 0
x = 0
while x <= ...:
    if 0.2*x*x*x-3*x*x+2.4*x+1 > ...:
        M = 0.2*x*x*x-3*x*x+2.4*x+1
        xmax = ...
    x = x + 0.01
print(xmax,M)
\end{python}


\tcblower

Le programme Python complété est le suivant.

\begin{python}
M, xmax, x = 0,0,0
while x <= 1:
    if 0.2*x*x*x-3*x*x+2.4*x+1 > M:
        M = 0.2*x*x*x-3*x*x+2.4*x+1
        xmax = x
    x = x + 0.01
print(xmax,M)
\end{python}

Explications:
\begin{itemize}
\item \texttt{while x <= 1}: les instructions dans la boucle \og \texttt{while} \fg{} sont exécutées tant que la valeur de \texttt{x} est inférieure ou égale à 1. En effet, on veut les images des $x$ qui sont dans \intervFF{0}{1}.

\item \texttt{if 0.2*x*x*x-3*x*x+2.4*x+1 > M}: si $f(x) > M$ c'est que $M$ n'est pas le maximum de la fonction $f$, donc il faut remplacer la valeur mise dans \texttt{M} par $f(x)$: \texttt{M = 0.2*x*x*x-3*x*x+2.4*x+1}. Dans ce cas, \texttt{xmax} représente la valeur de $x$ pour laquelle on atteint ce maximum, donc la valeur du \texttt{x} sur laquelle on est actuellement dans la boucle \og while \fg.
\end{itemize}


Le programme affiche alors \texttt{xmax=0,42} et \texttt{M=1,4936176}.

\begin{rem}
Si vous suivez l'enseignement de spécialité en 1\iere, vous saurez démontrer qu'en fait, l'abscisse du maximum est $x=5-\sqrt{21}\approx0,4174$.
\end{rem}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[3]
On donne la représentation graphique d'une fonction $f$ sur \intervFF{-1}{3}:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\clip (-1.5,-4) rectangle (3.5,6);
\draw[dashed,gray] (-1.5,-4) grid (3.5,6);
\draw[thick,->] (-1.5,0) -- (3.5,0);
\draw[thick,->] (0,-4) -- (0,6);
\draw[numpageenonce,thick] plot[domain=-1:3,samples=100] (\x,{\x*\x*\x-3*\x*\x+\x+2});
\node[below left] at (0,0) {O};
\draw[thick] (1,0.1) -- (1,-0.1) node[below left] {1};
\draw[thick] (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left] {1};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Par lectures graphiques, donner:
\begin{enumerate}
\item l'image de $-1$ par la fonction $f$;
\item un antécédent entier de 2 par la fonction $f$;
\item le nombre de solutions à l'équation $f(x)=0$
\end{enumerate}

\item On donne: $f(x)=x^3-3x^2+x+2$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(x)=(x-2)\left(x-\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)\left(x-\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right)$
\item En déduire les valeurs exactes des solutions de l'équation $f(x)=0$.
\item Dresser alors le tableau de signes de $f$ sur \intervFF{-1}{3}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Par lectures graphiques,
\begin{enumerate}
\item l'image de $-1$ par la fonction $f$ est $-3$;
\item un antécédent entier de 2 par la fonction $f$ est 0 car $f(0)=2$;
\item le nombre de solutions à l'équation $f(x)=0$ est 3 car la courbe coupe trois fois l'axe des abscisses.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Développons:
\begin{align*}
 & (x-2)\left(x-\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)\left(x-\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right) \\
= & (x-2)\left( x^2 - \frac{1-\sqrt5}{2}x - \frac{1+\sqrt5}{2}x + \dfrac{1+\sqrt5}{2}\times\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right)\\
= & (x-2)\left( x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt5}{2}x - \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt5}{2}x + \dfrac{1+\sqrt5}{2}\times\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right)\\
\end{align*}

\begin{align*}
= & (x-2) \left( x^2 - x + \frac{1^2-\sqrt5^2}{4}\right)\\
= & (x-2)(x^2-x-1)\\
= & x^3 - x^2 -x -2x^2+2x+2\\
= & x^3 - 3x^2 + x + 2\\
= & f(x).
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
f(x)=0 & \iff  (x-2)\left(x-\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)\left(x-\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right) =0\\
& \iff x-2 = 0 \text{ ou } x-\dfrac{1+\sqrt5}{2}=0 \text{ ou } x-\dfrac{1-\sqrt5}{2}=0\\
& \iff x=2 \text{ ou }  x=\dfrac{1+\sqrt5}{2} \text{ ou } x=\dfrac{1-\sqrt5}{2}.
\end{aligned}$

L'ensemble solutions de l'équation $f(x)=0$ est donc:
\[
S = \left\{ 2 ; \dfrac{1+\sqrt5}{2} ; \dfrac{1-\sqrt5}{2}  \right\}
\]

\item Le tableau de signes de $f$ peut être obtenu à partir de sa représentation graphique:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2,color,colorV=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorL=numpagecorrige!10]{$x$/0.8,$f(x)$/1}{$-3$,$\frac{1-\sqrt5}{2}$,$\frac{1+\sqrt5}{2}$,2,3}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+,}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

\corriges


