\chapter{Fonctions affines et linéaires. Tableaux de signes.}

\newpage

\section{Fonctions affines et linéaires}

\subsection{Fonctions affines (rappels de collège)}

\subsubsection{Définition}

\begin{defin}
Une fonction $f$ est une \textbf{fonction affine} si, pour tout réel $x$,
\[
f(x)=mx+p\quad,\quad m\in\R,\ p\in\R.
\]
\end{defin}

Une fonction affine est représentée dans un repère par une droite. Tout ce qui a été vu dans le chapitre \ref{chap:equation-de-droites} sera donc utile quand on parlera de fonctions affines.

\medskip

$m$ est donc le \textbf{coefficient directeur} de la droite représentative de la fonction, et $p$ est\linebreak l'\textbf{ordonnée à l'origine}, c'est-à-dire l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.

\subsubsection{Signe d'une fonction affine}

\begin{prop}[signe d'une fonction affine]
Soit $f(x)=mx+p$, où $m\neq0$.
\begin{itemize}
\item Si $m<0$ alors le signe de $f(x)$ est donné par le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=prop,colorL=prop,colorV=prop]{\textcolor{white}{$x$}/0.75,\textcolor{white}{$f(x)$}/0.75}{\textcolor{white}{$-\infty$},\textcolor{white}{$-\frac{p}{m}$},\textcolor{white}{$+\infty$}}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Si $m>0$ alors le signe de $f(x)$ est donné par le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt ] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=prop,colorL=prop,colorV=prop]{\textcolor{white}{$x$}/0.75,\textcolor{white}{$f(x)$}/0.75}{\textcolor{white}{$-\infty$},\textcolor{white}{$-\frac{p}{m}$},\textcolor{white}{$+\infty$}}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{prop}

En effet,
\begin{itemize}
\item d'une part, résolvons l'équation $f(x)=0$:
\begin{align*}
f(x)=0 & \iff mx+p=0\\
& \iff mx=-p\\
& \iff x = -\frac{p}{m}\text{ car }m\neq0.
\end{align*}

\newpage
\item d'autre part, si $m<0$ alors la fonction est décroissante. On a donc la situation suivante :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-5}{-2}{5}{2}
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[thick,red] plot[domain=-5:5,samples=10] (\x,{-\x/4+0.5});
\fill[red] (2,0) circle(2pt) node[above right] {$-\frac{p}{m}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
La droite est \textbf{au-dessus} de l'axe des abscisses pour $x<-\dfrac{p}{m}$, ce qui signifie que $f(x)>0$ sur \intervOO{-\infty}{-\dfrac{p}{m}}, et donc $f(x)<0$ sur \intervOO{-\dfrac{p}{m}}{+\infty}, d'où le tableau de signes :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=titrecolor,colorL=titrecolor,colorV=titrecolor]{\textcolor{white}{$x$}/0.75,\textcolor{white}{$f(x)$}/0.75}{\textcolor{white}{$-\infty$},\textcolor{white}{$-\frac{p}{m}$},\textcolor{white}{$+\infty$}}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Et si $m>0$, la fonction est croissante:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-5}{-2}{5}{2}
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[thick,red] plot[domain=-5:5,samples=10] (\x,{\x/4-0.5});
\fill[red] (2,0) circle(2pt) node[below right] {$-\frac{p}{m}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
La droite est \textbf{au-dessus} de l'axe des abscisses pour $x<-\dfrac{p}{m}$, ce qui signifie que $f(x)>0$ sur \intervOO{-\infty}{-\dfrac{p}{m}}, et donc $f(x)<0$ sur \intervOO{-\dfrac{p}{m}}{+\infty}, d'où le tableau de signes :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=titrecolor,colorL=titrecolor,colorV=titrecolor]{\textcolor{white}{$x$}/0.75,\textcolor{white}{$f(x)$}/0.75}{\textcolor{white}{$-\infty$},\textcolor{white}{$-\frac{p}{m}$},\textcolor{white}{$+\infty$}}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}

\begin{rem}
Dans le cas où $m=0$, $f(x)=p$ donc $f(x)$ est du signe de $p$ sur \R.
\end{rem}

\subsection{Fonctions linéaires}

\begin{defin}
Une fonction $f$ est une \textbf{fonction linéaire} si pour tout réel $x$,
\[
f(x)=mx\quad,\quad m\in\R.
\]
\end{defin}

C'est un cas particulier de fonctions affines.

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.

\newpage
\begin{prop}
Soit $f(x)=mx$, avec $m\neq0$.
\begin{itemize}
\item Si $m<0$ alors le signe de $f(x)$ est donné par le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=prop,colorL=prop,colorV=prop]{$x$/0.75,$f(x)$/0.75}{$-\infty$,0,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Si $m>0$ alors le signe de $f(x)$ est donné par le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=prop,colorL=prop,colorV=prop]{$x$/0.75,$f(x)$/0.75}{$-\infty$,0,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{prop}

\section{\'Equations-produits (rappels)}

\begin{defin}
Une \textbf{équation-produit} (sous-entendu \textit{équation-produit nul}) est une équation dont un membre est le produit de plusieurs fonctions affines ou linéaires et dont le second membre est le nombre 0.
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item $(2x-1)(3x+8)=0$ est une équation-produit. Le membre de gauche est le produit des fonctions affines $x\mapsto2x-1$ et $x\mapsto3x+8$.
\item $-2x(5-3x)$ est aussi une équation-produit. Le membre de gauche est le produit de la fonction linéaire $x\mapsto-2x$ et de la fonction affine $x\mapsto5-3x$.
\end{enumerate}
\end{exemple}

\begin{thm}[du produit nul : TPN]
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
\end{thm}

\begin{exemple}
$\begin{aligned}[t]
(2x-1)(3x+8)=0 & \iff 2x-1=0\quad\text{ou}\quad3x+8=0\\
& \iff 2x=1\hspace*{9.5mm}\text{ou}\quad3x=-8\\
& \iff x=\dfrac{1}{2}\hspace*{10.5mm}\text{ou}\quad x=-\dfrac{8}{3}.
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'équation $(2x-1)(3x+8)=0$ est donc $S=\left\{\dfrac{1}{2}~;~-\dfrac{8}{3}\right\}$.
\end{exemple}

\newpage

\section{Inéquations-produits}

\subsection{Définition et méthode de résolution}

\begin{defin}
Une \textbf{inéquation-produit} (sous-entendu \textit{inéquation-produit nul}) est une inéquation dont un membre est le produit de plusieurs fonctions affines ou linéaires et dont le second membre est le nombre 0.
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item $(2x-1)(3x+8)<0$ est une inéquation-produit.
\item $(8x-7)(6x-3)(7x+1)\geqslant0$ est une inéquation-produit.
\end{enumerate}
\end{exemple}

\begin{rem}
Pour résoudre une inéquation-produit,
\begin{itemize}
\item on cherche le signe de chaque facteur;
\item on dresse un tableau dans lequel chaque ligne contient les différents signes de chaque facteur (1 ligne par facteur);
\item la dernière ligne est le signe \og bilan \fg, trouvé avec la règle des signes.
\end{itemize}
\end{rem}

\subsection{Exemple de résolution}

On souhaite résoudre l'inéquation: $(3x-5)(-7x-8) \leqslant0$.

\begin{itemize}
\item \textbf{On cherche le signe de chaque facteur.}

Pour cela, on résout les inéquations suivantes (ou on utilise la propriété \ref{prop:signe d'une fonction affine}).

\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
3x-5>0 & \iff 3x > 5\\
& \iff x > \dfrac{5}{3}
\end{align*}

\begin{align*}
-7x-8 > 0 & \iff -7x > 8\\
& \iff x < -\dfrac{8}{7}
\end{align*}
\end{multicols}


\item \textbf{On en déduit le tableau de signes.}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3.5,color,colorC=titrecolor,colorL=titrecolor,colorV=titrecolor]{\textcolor{white}{$x$}/0.75,\textcolor{white}{$3x-5$}/0.5,\textcolor{white}{$7x-8$}/0.5,\textcolor{white}{$(3x-5)(7x-8)$}/0.5}{\textcolor{white}{$-\infty$},\textcolor{white}{$-\frac{8}{7}$},\textcolor{white}{$\frac{5}{3}$},\textcolor{white}{$+\infty$}}
\tkzTabLine{,-,,-,z,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,,-}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-}
\draw[decorate,decoration=brace,thick,red] ($(N24)+(0,-0.15)$) -- ($(N14)+(0,-0.15)$);
\draw[decorate,decoration=brace,thick,red] ($(N44)+(0,-0.15)$) -- ($(N34)+(0,-0.15)$);
\node[text=red,text width=25mm,below,align=center] at ($0.5*(N24)+0.5*(N14)+(0,-0.3)$) {Le produit est ici négatif ou nul};
\node[text=red,text width=25mm,below,align=center] at ($0.5*(N44)+0.5*(N34)+(0,-0.3)$) {Le produit est ici négatif ou nul};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}

Donc l'ensemble solution de l'inéquation est : $S=\intervOF{-\infty}{-\dfrac{8}{7}}\cup\intervFO{\dfrac{5}{3}}{+\infty}$.

\section{Inéquations-quotients}

\subsection{Définition et méthode de résolution}

\begin{defin}
Une \textbf{inéquation-quotient} est une inéquation où un membre est de la forme $\dfrac{N(x)}{D(x)}$, où $N(x)$ et $D(x)$ sont des produits de fonctions affines.
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{3-2x}{7x+6}\geqslant0$ est une inéquation-quotient.
\item $\dfrac{(8x+5)(6x-3)}{x+1}<0$ est une inéquation-quotient.
\end{enumerate}
\end{exemple}

Pour résoudre une inéquation-quotient, on procède de la même façon que pour les inéquations-produits, à ceci près que l'on doit toujours exclure sur la dernière ligne du tableau de signes les valeurs de $x$ qui annulent le dénominateur. Cela se traduit par des \textbf{doubles barres}, symbolisées par \og $\|$ \fg, au niveau des valeurs de $x$ à exclure.

\subsection{Exemple de résolution}

On souhaite résoudre l'inéquation : $\dfrac{(7x-21)(20-5x)}{8x+16}\geqslant0$.

\medskip

En utilisant la propriété \ref{prop:signe d'une fonction affine} pour connaître le signe des facteurs, on complète le tableau de signes:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.5,color,colorC=titrecolor,colorL=titrecolor, colorV=titrecolor]{\textcolor{white}{$x$}/0.75,\textcolor{white}{$7x-21$}/0.5,\textcolor{white}{$20-5x$}/0.5,\textcolor{white}{$8x+16$}/0.5,\textcolor{white}{Quotient}/0.5}{\textcolor{white}{$-\infty$},\textcolor{white}{$-2$},\textcolor{white}{$3$},\textcolor{white}{$4$},\textcolor{white}{$+\infty$}}
\tkzTabLine{,-,,-,z,+,,+}
\tkzTabLine{,+,,+,,+,z,-}
\tkzTabLine{,-,z,+,,+,,+}
\tkzTabLine{,+,d,-,z,+,z,-}
\draw[<-,>=latex,thick,red] (N25) to[bend right=20] ($(M25)+(0,-1.5)$) node[right,text width=7cm,align=center,draw,fill=orange!20] (legende) {On exclut $x=-2$ car le dénominateur du quotient s'annule pour cette valeur; le quotient n'est donc pas défini ici.};
\drawshadow{legende}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

L'ensemble solution de l'inéquation est donc : $S=\intervOO{-\infty}{-2}\cup\intervFF{3}{4}$ (on exclut $-2$). 

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\exercices

\subsection*{Fonctions affines}

\begin{exocor}{établir l'expression de la fonction}[1]
$f$ est une fonction affine. Déterminer son expression dans chacun des cas suivants.
\begin{enumerate}
\item $f(0)=2$ et $f(1)=5$.
\item $f(-1)=-1$ et $f(1)=1$.
\item $f(-3)=2$ et $f(2)=-3$.
\item $f(5)=1$ et $f(-5)=2$.
\end{enumerate}

\tcblower

Posons $f(x)=ax+b$.

\begin{enumerate}
\item $f(0)=2$ et $f(1)=5$.
\begin{itemize}
\item $f(0)=2 \iff a\times0+b=2 \iff b=2$. Donc $f(x)=ax+2$.
\item $f(1)=5 \iff a\times1+2=5 \iff a=5-2=3$.
\end{itemize}
\underline{Ainsi, $f(x)=3x+2$.}

\item $f(-1)=-1$ et $f(1)=1$.
\begin{itemize}
\item $f(-1)=-1 \iff a\times(-1)+b=-1 \iff -a+b=-1 \iff b=-1+a$.
\item $\begin{aligned}[t]
f(1)=1 & \iff a\times1+b=1\\
& \iff a+b=1\\
& \iff a+(-1+a)=1\\
& \iff 2a=2\\
& \iff a=1.
\end{aligned}$
\end{itemize}
On en déduit que $b=-1+a=-1+1=0$, et donc \underline{$f(x)=x$}.

\item $f(-3)=2$ et $f(2)=-3$.
\begin{itemize}
\item $f(-2)=3 \iff -2a+b=3 \iff b = 3+2a$.
\item $f(3)=-2 \iff  3a+b=-2 \iff b=-2-3a$.
\end{itemize}
On en déduit :
\[
3+2a=-2-3a \iff 2a+3a=-2-3 \iff 5a=-5\iff a=-1
\]
et donc:
\[
b=3+2a=3+2\times(-1)=3-2=-1.
\]

Finalement, \underline{$f(x)=-x-1$}.

\item $f(5)=1$ et $f(-5)=2$.
\begin{itemize}
\item $f(5)=1 \iff 5a+b=1 \iff b = 1-5a$.
\item $f(-5)=2 \iff -5a+b=2 \iff b=2+5a$.
\end{itemize}
On en déduit que:
\[
1-5a=2+5a \iff -5a-5a=2-1 \iff -10a=1 \iff a=-\frac{1}{10}
\]
et donc:
\[
b=1-5a=1-5\times\left(-\frac{1}{10}\right) = 1+\frac{5}{10}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
\]
Finalement, $\boxed{f(x)=-\dfrac{1}{10}x+\frac{3}{2}}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{établir l'expression de la fonction}[1]
$f$ est une fonction affine. On note $\mathcal{D}$ sa représentation graphique. Dans chacun des cas suivants, donner son expression.
\begin{enumerate}
\item $\mathcal{D}$ a pour coefficient directeur $-3$ et passe par le point $A\coord{0}{2}$.
\item $\mathcal{D}$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 1 et passe par le point $B\coord{-1}{0}$.
\item $\mathcal{D}$ passe par les points $A\coord{-3}{5}$ et $B\coord{2}{-1}$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\mathcal{D}$ a pour coefficient directeur $-3$ et passe par le point $A\coord{0}{2}$.
\begin{itemize}
\item $\mathcal{D}$ a pour coefficient directeur $-3$ donc $f(x)=-3x+p$.
\item $\mathcal{D}$ passe par le point $A\coord{0}{2}$ donc $f(0)=2$, soit $p=2$.
\end{itemize}
\underline{Ainsi, $f(x)=-3x+2$.}

\item $\mathcal{D}$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 1 et passe par le point $B\coord{-1}{0}$.
\begin{itemize}
\item $\mathcal{D}$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 1 donc $f(0)=1$, c'est-à-dire $f(x)=mx+1$.
\item $\mathcal{D}$ passe par le point $B\coord{-1}{0}$ donc $f(-1)=0$, soit $-m+1=0$, donc $m=1$.
\end{itemize}
\underline{Finalement, $f(x)=x+1$.}

\item $\mathcal{D}$ passe par les points $A\coord{-3}{5}$ et $B\coord{2}{-1}$. Posons $f(x)=mx+p$.
\begin{itemize}
\item $\mathcal{D}$ passe par le point $A\coord{-3}{5}$ donc $f(-3)=5$, soit $-3m+p=5$, et donc $p=5+3m$.
\item $\mathcal{D}$ passe par le point $B\coord{2}{-1}$ donc $f(2)=-1$, soit $2m+p=-1$, et donc\linebreak $p=-1-2m$.
\end{itemize}
On en déduit alors que:
\[
5+3m=-1-2m \iff 3m+2m=-1-5 \iff 5m=-6 \iff m--\frac{6}{5}
\]
et donc:
\[
p=5+3m=5+3\times\left(-\frac{6}{5}\right)=5-\frac{18}{5}=\frac{7}{5}.
\]
Finalement, $\boxed{f(x)=-\dfrac{6}{5}x+\dfrac{7}{5}}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[1]
On donne ci-dessous la représentation de deux fonctions affines $f$ (en vert) et $g$ (en bleu):

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-3}{-3}{6}{4}
\draw[thick,green!50!black] plot[domain=-3:6] (\x,{3*\x/5+1/5});
\draw[thick,blue!50!black] plot[domain=-3:6] (\x,{-3*\x/5+7/5});
\end{tikzpicture}
\end{center}

Déterminer une expression de $f(x)$ et $g(x)$.

\tcblower

\begin{itemize}
\item Détermination de $f(x)= mx + p$.

On prend deux points de la droite verte dont les coordonnées sont entières (si possible): ici, $A\coord{-2}{-1}$ et $B\coord{3}{2}$.

Pour aller de $A$ à $B$, on fait : $+3$ en $y$ (à la verticale) pour $+5$ en $x$ (à l'horizontale). Le coefficient directeur est donc $m=\frac{3}{5}$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\rep{-3}{-3}{6}{4}
\draw[thick,green!50!black] plot[domain=-3:6] (\x,{3*\x/5+1/5});
\draw[very thick, >=latex,red, ->]  (-2,-1) -- (-2,2) node[midway,left] {$+3$};
\draw[very thick, >=latex,red, ->] (-2,2) -- (3,2) node[midway,above] {$+5$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour trouver l'ordonnée à l'origine, qui n'est pas très visible sur le schéma, on exploite le fait que le point $B\coord{3}{2}$ appartient à la droite et donc que ses coordonnées vérifient l'équation. Autrement dit, on remplace $x$ et $y$ par les coordonnées:
\begin{align*}
B \in (AB) & \iff y_B = \frac{3}{5}x_B + p\\
            & \iff 2 = \frac{3}{5}\times 3 + p\\
            & \iff p = 2 - \frac{9}{5} = \frac{10}{5}-\frac{9}{5} = \frac{1}{5}.
\end{align*}
Ainsi,
\[
\boxed{ f(x)=\frac{3}{5}x+\frac{1}{5} }
\]

\item Détermination de $g(x) = m'x + p'$.

On prend deux points de la droite: $C\coord{-1}{2}$ et $D\coord{4}{-1}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-3}{-3}{6}{4}
\draw[thick,blue!50!black] plot[domain=-3:6] (\x,{-3*\x/5+7/5});
\draw[very thick, >=latex,red, ->]  (-1,2) -- (-1,-1) node[midway,left] {$-3$};
\draw[very thick, >=latex,red, ->] (-1,-1) -- (4,-1) node[midway,above] {$+5$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
On obtient un coefficient directeur $m' = \frac{-3}{5}$. Ainsi, $g(x)=-\frac{3}{5}x+p'$.
\begin{align*}
D \in (CD) & \iff y_D = -\frac{3}{5}x_D + p'\\
           & \iff -1 = -\frac{3}{5}\times4 + p'\\
           & \iff p = -1 + \frac{12}{5} = \frac{-5+12}{5} = \frac{7}{5}.
\end{align*}
Ainsi, 
\[
\boxed{ g(x) = -\frac{3}{5}x + \frac{7}{5} }
\]
\end{itemize}

\begin{rem}
Pour déterminer la valeur de $p$ et $p'$, sous avons pris les points $B$ et $D$, mais nous aurions pu aussi prendre les points $A$ et $C$.
\end{rem}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{le zéro absolu}[1]
Guillaume Amontons, physicien du XVII\ieme{} siècle fit une expérience: il a calculé la pression d'un gaz (exprimé en kPa - kilo-Pascal) en fonction de la température (exprimé en degré Celsius). Il a obtenu les résultats suivants:
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
\rowcolor{numpageenonce!20}
Température (°C) & Pression (kPa)\\
\hline
0 & 100\\
\hline
50 & 118,3\\
\hline
100 & 136,6\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On note $p(t)$ la fonction qui donne la pression du gaz (en kPa) pour une température de $t$ °C. On suppose que $p(t) = at + b$.

\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs de $a$ et $b$.
\item Pour quelle valeur théorique de la température la pression serait-elle nulle ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f(t)=at + b$.
\begin{itemize}
\item $a = \dfrac{p(50)-p(0)}{50-0}=\dfrac{118,3-100}{50}=0,366$.
\item $b = p(0) = 100$.
\end{itemize}
Donc, $p(t)=0,366t + 100$.

\item On doit résoudre l'équation:
\begin{align*}
p(t)=0 & \iff 0,366t + 100 = 0\\
& \iff 0,366t = - 100\\
& \iff t = -\dfrac{100}{0,366} \approx -273.
\end{align*}
Ainsi, en théorie, pour une température de $-273$°C, la pression serait nulle.
\end{enumerate}

Cette dernière valeur ($-273$°C) est appelée \og le zéro absolu \fg{} et constitue l'origine de l'échelle \textit{Kelvin} (le zéro absolu est égal à 0 degré Kelvin).
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{taxi}[2]
La compagnie de taxis \og Charles à temps \fg{} propose les tarifs suivants:
\begin{itemize}
\item 1,40 \euro{} / km
\item 0,25 \euro{} / min
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Combien devra-t-on payer pour une course de 22,7 km faite en 22 minutes ?

\item 
\begin{enumerate}
\item Je dois le rendre à 50 km de chez moi. Je note $f(t)$ la fonction représentant le prix que je devrai payer pour un trajet fait en $t$ minutes .

Quelle est l'expression de $f(t)$ ?

\item Je n'ai que 30 minutes pour faire mon trajet. Je note $g(x)$ la fonction représentant le prix que je devrai payer pour $x$ kilomètres parcourus.

Quelle est l'expression de $g(x)$ ?
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Je dois me rendre à un endroit situé à 17 km de chez moi. En combien de temps au maximum le trajet doit-il être fait pour dépenser au maximum  30 \euro{} ? 
\item Est-ce réalisable sachant que je suis en ville et que la vitesse moyenne est d'environ 35 km/h ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Selon les tarifs proposés, si une course fait $22,7$ km et que je paie 1,40 \euro/km, cela me fera:
\[
22,7 \times 1,40 = 31,78\text{ \euro}.
\]
À cela s'ajoute le prix que je dois payer pour 22 minutes sachant que je dois payer 0,25 \euro/min, donc:
\[
22 \times 0,25 = 5,5\text{ euro}.
\]
Je devrais donc payer:
\[
31,78 + 5,5 = 37,28\text{ euro}.
\]

\item 
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, je connais la distance (50 km), donc je sais que je vais payer :
\[
50 \times 1,40 = 70\text{ \euro}
\]
en plus de 0,25 \euro{} par minute, donc en plus de $0,25t$ (car un trajet dure $t$ minutes). Donc:
\[
\boxed{f(t)=0,25t+70}
\]

\item Dans cette question, je connais le temps (30 minutes) donc je sais que je vais payer :
\[
1,40 \times 30 = 7,5\text{ \euro}
\]
en plus de 1,40 \euro{} par kilomètre, donc en plus de $1,4x$ pour $x$ km de parcourus. Donc:
\[
\boxed{g(x)=1,4x+7,5}
\]
\end{enumerate}

\item Si je note $x$ le nombre de kilomètres et $t$ le nombre de minutes d'une course, alors le prix à payer est:
\[
1,4x + 0,25t.
\]
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, je sais que $x=17$ et je cherche à connaître $t$ de sorte que le tarif soit inférieur ou égal à 30 \euro, donc:
\begin{align*}
1,4 \times 17 + 0,25t & \leqslant 30\\
23,8 + 0,25t & \leqslant 30\\
0,25t & \leqslant 30-23,8\\
0,25t & \leqslant 6,2\\
t & \leqslant \dfrac{6,2}{0,25}\\
t & \leqslant 24,8.
\end{align*} 
\uline{Ainsi, il faut que le trajet soit fait en moins de 25 minutes (si on arrondit à la minute près).}

\item Dans cette question, je dois calculer le temps théorique d'une course de 17 km avec une vitesse moyenne de 35 km/h, à l'aide de la formule:
\[
\text{vitesse} = \frac{\text{distance}}{\text{temps}}
\]
soit ici:
\[
35 = \frac{17}{t},\text{ soit : } t = \dfrac{17}{35}\approx0,4857\text{ h}=0,4857\times60\text{ min}\approx29\text{min}.
\]
On dépasse donc le temps imparti (25 minutes).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{fonction définie par morceaux}[2]
Une entreprise vend des vis au poids. Le prix est de:
\begin{itemize}
\item 0,15 \euro{} par gramme jusqu'à 100 grammes;
\item 0,07 \euro{} par gramme supplémentaire jusqu'à 200 grammes;
\item 0,05 \euro{} par gramme au-delà.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Quel est le coût total pour 52 grammes ? 130 grammes ? 220 grammes ?
\newpage
\item On note $f(x)$ le prix à payer pour $x$ grammes de vis achetées.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $f(x)$ pour $x\in\intervFF{0}{100}$, $x\in\intervOF{100}{200}$ et $x\in\intervOF{200}{+\infty}$.
\end{enumerate}
\item Quelle quantité de vis a-t-on achetée si l'on a payé 11,25 \euro{}? 19,20 \euro{} ? 57 \euro{} ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Quel est le coût total pour 52 grammes ? 130 grammes ? 220 grammes ?
\begin{itemize}
\item $0 \leqslant 52 \leqslant 100$ donc le coût total pour 52 grammes est:
\[
52 \times 0,15 = 7,80\text{ \euro}.
\]

\item $100 < 130 \leqslant 200$ donc le coût total pour 130 grammes est:
\[
100 \times 0,15 + (130-100) \times 0,07 = 17,10\text{ \euro}.
\]

\item $220 > 200$ donc le coût total pour 220 grammes est:
\[
100 \times 0,15 + (200-100) \times 0,07  + (230-200)\times0,05= 23\text{ \euro}.
\]
\end{itemize}

\item 
\begin{enumerate}
\item En s'inspirant des calculs de la question précédent, on peut écrire:
\[
f(x)=\begin{cases}
0,15x & \text{ si } 0\leqslant x \leqslant 100\\
15+0,07(x-100) & \text{ si } 100 < x  \leqslant 200\\
15+7+0,05(x-200) & \text{ si } x > 200
\end{cases}
\]
c'est-à-dire:
\[
\boxed{
f(x)=\begin{cases}
0,15x & \text{ si } 0\leqslant x \leqslant 100\\
0,07x+8 & \text{ si } 100 < x  \leqslant 200\\
0,05+12 & \text{ si } x > 200
\end{cases}}
\]

Cela donne graphiquement:

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{fct-par-morceau-1.jpg}
\end{center}

\end{enumerate}


\item Quelle quantité de vis a-t-on achetée si l'on a payé 11,25 \euro{}? 19,20 \euro{} ? 57 \euro{} ?
\begin{itemize}
\item On cherche à résoudre l'équation $f(x)=11,25$. Or, $11,25 < 15$ donc nous devons prendre la première expression de $f(x)$:
\[
0,15x=11,25 \iff x = \dfrac{11,25}{0,15} \iff x = 75.
\]
\underline{Donc si l'on a payé 11,25 \euro, on a pris 75 grammes de vis.}

\item On cherche à résoudre l'équation $f(x)=19,20$. Or, $15 < 19,20 < 22$ donc nous devons prendre la deuxième expression de $f(x)$:
\begin{align*}
0,07x+8=19,20 & \iff 0,07x = 19,20-8\\
& \iff 0,07x = 11,2\\
& \iff x=\dfrac{11,20}{0,07}\\
& \iff x = 160.
\end{align*}

\underline{Donc si l'on a payé 19,20 \euro, on a pris 160 grammes de vis.}

\item On cherche à résoudre l'équation $f(x)=57$. Or, $57 > 22$ donc nous devons prendre la troisième expression de $f(x)$:
\[
0,05x+22=57 \iff 0,05x=57-22 \iff 0,05x=35 \iff x = \dfrac{35}{0,05} \iff x = 700.
\]
\underline{Donc si l'on a payé 57 \euro, on a pris 700 grammes de vis.}
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{fonction par morceaux}[2]
Dans un magasin bio, on peut acheter des lentilles en fonction de la masse selon la tarification suivante:
\begin{itemize}
\item 0,05 \euro{} par gramme jusqu'à 50 grammes;
\item 0,03 \euro{} par gramme supplémentaire jusqu'à 150 grammes;
\item 0,02 \euro{} par gramme au-delà.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Quel est le coût total pour 20 grammes ? 100 grammes ? 200 grammes ?
\item On note $f(x)$ le prix à payer pour $x$ grammes de lentilles achetées.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $f(x)$ pour $x\in\intervFF{0}{50}$, $x\in\intervOF{50}{150}$ et $x\in\intervOF{150}{+\infty}$.
\end{enumerate}
\item Quelle quantité de lentilles a-t-on achetée si l'on a payé 2,25 \euro{}? 4,75 \euro{} ? 12,50~\euro{} ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Quel est le coût total pour 20 grammes ? 100 grammes ? 200 grammes ?
\begin{itemize}
\item $0\leqslant 20 \leqslant 50$ donc pour 20 grammes, on doit payer $0,05\times20=1$~\euro.
\item $20 < 100 \leqslant 150$ donc pour 100 grammes, on doit payer $0,05\times50 + 0,03(100-50)=4$~\euro.
\item $200 > 150$ donc pour 200 grammes, on doit payer $0,05\times50 + 0,03(150-50) + 0,02(200-150)=6,50$~\euro.
\end{itemize}

\item 
\begin{enumerate}
\item D'après les calculs faits à la question précédente, on peut écrire:
\[
f(x)=\begin{cases}
0,05x & \qquad \text{ si }0 \leqslant x \leqslant 50\\
0,05\times50+0,03(x-50) & \qquad \text{ si }50 < x \leqslant 150\\
0,05\times50 + 0,03\times100 + 0,02(x-150) & \qquad \text{ si }x>150
\end{cases}
\]
soit, après simplifications:
\[
\boxed{
f(x)=\begin{cases}
0,05x & \qquad \text{ si }0 \leqslant x \leqslant 50\\
0,03x+1& \qquad \text{ si }50 < x \leqslant 150\\
0,02x+2,5 & \qquad \text{ si }x>150
\end{cases}}
\]

Cela donne le graphique page suivante.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{fct-par-morceau-2.jpg}
\end{center}
\end{enumerate}

\item Quelle quantité de lentilles a-t-on achetée si l'on a payé 2,25 \euro{}? 4,75 \euro{} ? 12,50~\euro{} ?
\begin{itemize}
\item $2,25 < 2,5$ donc $f(x)=2,25 \iff 0,05x = 2,25 \iff x = \dfrac{2,25}{0,05}=45$.

\underline{On a donc pris 45 grammes de lentilles si l'on a payé 2,25 \euro.}

\item $2,5 < 4,75 < 5,5$ donc $\begin{aligned}[t]
f(x)=4,75 & \iff 0,03x+2,5=4,75\\
& \iff 0,03x=2,25\\
& \iff x = 75.
\end{aligned}$

\underline{On a donc pris 75 grammes de lentilles si l'on a payé 4,75 \euro.}

\item $12,5 > 5,5$ donc $f(x)=12,5 \iff 0,02x+2,5 = 5,5 \iff 0,02x=3 \iff x = 150$.

\underline{On a donc pris 150 grammes de lentilles si l'on a payé 12,50 \euro.}
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[2]
On considère la figure suivante:

\medskip

\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw (0,0) node[below left] {A} -- (10,0) node[below] {B} -- (12,0) node[below right] {P} -- (10,7) node[above right] {C} -- (0,7) node[above left] {D} -- cycle;
\draw (10,0) -- (10,7);
\draw[pattern=north west lines] (1,0) node[below] {M} -- (12,0) -- (10,7) -- (0,7) -- cycle;
\draw[red,pattern=north east lines, pattern color=red] (0,0) -- (10,0) -- (10,6) node[left] {N} -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-7cm}
On donne:
\begin{itemize}
\item $AB = 10$, $AD = 7$
\item $M$ est un point de $[AB]$ tel que $AM = x$
\item $N$ est un point de $[BC]$
\item $BP=2x$, $CN = x$
\item $f(x)$ représente l'aire de $MPCD$
\item $g(x)$ représenter l'aire de $ABN$
\end{itemize}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Donner le domaine de définition des fonctions $f$ et $g$?
\item Donner l'expression de $f(x)$.
\item Donner l'expression de $g(x)$.
\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire de $MPCD$ est-elle égale au triple de celle de $ABN$?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $x$ représentant la longueur $AM$, et $M$ étant un point de [AB], $x$ peut varier de 0 à 10.

Le domaine de définition de la fonction $f$ est donc $\intervFF{0}{10}$.

\medskip

$N$ est un point de $[BC]$, donc $CN$ varie de 0 à 7.

Le domaine de définition de la fonction $g$ est donc $\intervFF{0}{7}$.

\item Pour calculer l'aire de $MPCD$, on peut ajouter l'aire de $MBCD$ et celle de $BPC$.

L'aire de $MBCD$ se trouve en prenant l'aire de $ABCD$ et en lui enlevant celle de $AMD$. On a donc:
\begin{align*}
f(x) & = \left( 7\times10 - \frac{7x}{2} \right) + \frac{2x \times 7}{2}\\
     &  = 70 -\frac{7}{2}x + \frac{14}{2}x\\
\Aboxed{f(x)     & = \frac{7}{2}x + 70}
\end{align*}

\item L'aire du triangle rectangle $ABN$ est:
\begin{align*}
g(x) & = \frac{AB \times BC}{2}\\
     & = \frac{10 \times (7 - x)}{2}\\
     & = 5(7-x)\\
\Aboxed{g(x) & = 35 - 5x}
\end{align*}

\item L'aire de  $MPCD$ est égale au triple de celle de $ABN$ si:
\begin{align*}
f(x) = 2g(x) & \iff  \frac{7}{2}x + 70 = 3(35-5x)\\
            & \iff \frac{7}{2}x + 70 = 105-15x\\
            & \iff \frac{7}{2}x + 15x = 105-70\\
            & \iff \frac{37}{2}x = 35\\
            & \iff x = 35 \times \frac{2}{37} = \frac{70}{37} \approx 1,9
\end{align*}
$\frac{70}{37}$ étant dans le domaine de définition des fonctions $f$ et $g$, cette valeur est bien solution de l'équation $f(x)=g(x)$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%
\newpage
\begin{exocor}{}[2]
$ABCD$ est un trapèze de hauteur $h=6$ avec $AB=17$ et $CD=9$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw (0,0) node[below left] {A} -- (3,0) node[below] {M} node[midway,below] {$x$} -- (2,3) node[above] {D} -- cycle;
\draw[pattern=north west lines] (3,0) -- (8,0) node[below right] {B} -- (7,3) node[above right] {C} -- (2,3) -- cycle;
\draw[dashed] (2,3) -- (2,0) node[midway,left] {$h$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
À tout point $M$ du segment $[AB]$, on associe le réel $x=AM$.

On note $f$ la fonction telle que le nombre $f(x)$ est égal à l'aire du trapèze $MBCD$.
\begin{enumerate}
\item Quel est le domaine de définition de $f$ ?
\item Justifier que $f(x)=78-3x$.
\item Déterminer la position du point $M$ pour que l'aire de $MBCD$ soit supérieure ou égale à la moitié de celle de $ABCD$.
\end{enumerate}
\vspace*{-1em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $M$ est un point de $[AB]$, avec $AB=17$. Par conséquent, le domaine de définition de $f$ est \intervFF{0}{17}.

\item L'aire d'un trapèze est obtenue à l'aide de la formule:
\begin{align*}
f(x) & = \frac{(MB+CD)\times h}{2}\\
     & = \frac{\big[(17-x) + 9\big] \times 6}{2}\\
     & = 3(26 - x)\\
     & = 78 - 3x.
\end{align*}

\item On veut:
\begin{align*}
f(x) \geqslant \frac{1}{2} \times \frac{(AB+CD)\times h}{2} & \iff 78-3x \geqslant \frac{(17+9)\times6}{4}\\
& \iff 78-3x \geqslant 39\\
& \iff 78-39 \geqslant 3x\\
& \iff 13 \geqslant x.
\end{align*}

Il faut donc que $M$  soit à une distance au plus égale à 13 de $A$ pour que l'aire de $MBCD$ soit supérieure ou égale à la moitié de celle de $ABCD$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[2]
Soit $f$ la fonction affine définie pour tout réel $x$ par:
\[
f(x)=-\frac{2}{3}x+b\qquad\text{avec}\qquad f(3)=-1.
\]
Lequel des quatre tableaux de variation suivants est celui de la fonction $f$ ?

\medskip

\begin{multicols}{2}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1,deltacl=0.5,espcl=4,color,colorC=numpageenonce!20,colorL=numpageenonce!20,colorV=numpageenonce!20]{$x$/0.8, $A(x)$/1}{$-\infty$	,$+\infty$}
\tkzTabVar{ +/ , -/}
\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{$-\frac{3}{2}$}{0}
\end{tikzpicture}

\medskip

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1,deltacl=0.5,espcl=4,color,colorC=numpageenonce!20,colorL=numpageenonce!20,colorV=numpageenonce!20]{$x$/0.8, $B(x)$/1}{$-\infty$	,$+\infty$}
\tkzTabVar{ -/ , +/}
\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{$\frac{3}{2}$}{0}
\end{tikzpicture}

\columnbreak

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1,deltacl=0.5,espcl=4,color,colorC=numpageenonce!20,colorL=numpageenonce!20,colorV=numpageenonce!20]{$x$/0.8, $C(x)$/1}{$-\infty$	,$+\infty$}
\tkzTabVar{ -/ , +/}
\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{$-\frac{2}{3}$}{0}
\end{tikzpicture}

\medskip

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1,deltacl=0.5,espcl=4,color,colorC=numpageenonce!20,colorL=numpageenonce!20,colorV=numpageenonce!20]{$x$/0.8, $D(x)$/1}{$-\infty$	,$+\infty$}
\tkzTabVar{ +/ , -/}
\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{$\frac{3}{2}$}{0}
\end{tikzpicture}
\end{multicols}

\tcblower

Avant tout, déterminons la valeur de $b$: $f(3)=-1$ donc:
\[
-\frac{2}{3} \times 3 + b = -1 \iff b = -1 + \frac{2}{3}\times3 = -1 + 2 = 1.
\]
Ainsi, $f(x)=-\dfrac{2}{3}x + 1$. On a donc:
\begin{align*}
f(x)=0 & \iff -\dfrac{2}{3}x + 1 = 0\\
       & \iff -\frac{2}{3}x = -1\\
       & \iff x = -1 \times \left(-\frac{3}{2}\right)\\
       & \iff x = \frac{3}{2}.
\end{align*}

Le coefficient directeur de $f$ est négatif, donc la fonction est décroissante. Elle s'annule pour $x=\frac{3}{2}$.

Le tableau de variation qui convient est donc celui de $D(x)$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,deltacl=0.5,espcl=4,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.8, $D(x)=f(x)$/1}{$-\infty$	,$+\infty$}
\tkzTabVar{ +/ , -/}
\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{$\frac{3}{2}$}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exocor}


\newpage

\subsection*{Tableaux de signes}

%%%

\begin{exocor}{comparaison de deux fonctions}[1]
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par:
\[
f(x)=(4x-1)(2-3x)\qquad\text{et}\qquad
g(x)=-6x^2-5x+6.
\]
On note respectivement $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives de $f$ et $g$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de signes de $f(x)$.
\item En déduire les solutions de l'inéquation $f(x)\leqslant0$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f(x)-g(x)=-2(x-2)(3x-2)$.
\item \'Etudier alors la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
\item Comparer alors sans calcul $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ et $g\left(\frac{\pi}{2}\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Le tableau de signes de $f(x)$ est le suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=4,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$4x-1$/0.5,$2-3x$/0.5,$f(x)$/0.5}{$-\infty$,$\frac{1}{4}$,$\frac{2}{3}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,,+}
\tkzTabLine{,+,,+,z,-}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item L'ensemble solution de l'inéquation $f(x)\leqslant0$ est donc:
\[
\boxed{S=\intervFF{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{2}{3}}}
\]
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Pour vérifier que $f(x)-g(x)=-2(x-2)(3x-2)$, on peut développer les membres de droite et gauche séparément, et constater que les formes développées sont égales:
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
f(x)-g(x) & = (4x-1)(2-3x) - (-6x^2-5x+6)\\
& = 8x-12x^2-2+3x + 6x^2+5x-6\\
& = -6x^2 +16x -8.
\end{aligned}$

\bigskip

\item $\begin{aligned}[t]
-2(x-2)(3x-2) & = -2(3x^2-2x-6x+4)\\
& = -2(3x^2-8x+4)\\
& = -6x^2+16x-8.
\end{aligned}$
\end{itemize}

\underline{Les deux formes développées sont donc égales: $f(x)-g(x)=-2(x-2)(3x-2)$.}

\item Dressons le tableau de signes de $f(x)-g(x)$ à l'aide de la forme factorisée trouvée à la question précédente:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=4,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.8,$-2$/0.8,$x-2$/0.8,$3x-2$/0.8,$f(x)-g(x)$/0.8}{$-\infty$,$\frac{2}{3}$,2,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,,-,,-}
\tkzTabLine{,-,,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}

On peut alors conclure que:
\begin{itemize}
\item $f(x)-g(x)<0$, et donc $f(x) < g(x)$, sur $\intervOO{-\infty}{\dfrac{2}{3}}$ et sur $\intervOO{2}{+\infty}$, soit $\mathcal{C}_f$  sous $\mathcal{C}_g$ sur ces intervalles;

\bigskip

\item $f(x)-g(x)>0$, et donc $f(x)>g(x)$, sur $\intervOO{\dfrac{2}{3}}{2}$, soit $\mathcal{C}_f$  au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur cet intervalle;

\bigskip

\item $f(x)-g(x)=0$, soit $f(x)=g(x)$, pour $x=\dfrac{2}{3}$ et $x=2$ et donc que les courbes se coupent aux points de coordonnées $\coord{2}{f(2)}$ et $\coord{\dfrac{2}{3}}{f\left(\dfrac{2}{3}\right)}$, c'est-à-dire aux points de coordonnées $\coord{2}{-28}$ et $\coord{\dfrac{2}{3}}{0}$.
\end{itemize}

\item Comparer alors sans calcul $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ et $g\left(\frac{\pi}{2}\right)$:

$\dfrac{2}{3}< \dfrac{\pi}{2} < 2$ donc d'après l'étude précédente de la position relative des deux courbes, $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) > g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{inéquations}[1]
Résoudre les inéquations suivantes:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $(4x-5)^2 \leqslant (12x-15)(1-x)$
\item $3x^3 > 12x$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
(4x-5)^2 \leqslant (12x-15)(1-x) &\iff  (4x-5)^2 \leqslant 3(4x-5)(1-x)\\
& \iff (4x-5)^2 - 3(4x-5)(1-x) \leqslant 0\\
& \iff (4x-5)\big[(4x-5)-3(1-x)\big] \leqslant0\\
& \iff (4x-5)(4x-5-3+3x) \leqslant0\\
& \iff (4x-5)(7x-8) \leqslant 0
\end{aligned}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,deltacl=0.5,espcl=2,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.8, $4x-5$/.8, $7x-8$/.8, $(4x-5)(7x-8)$/.8}{$-\infty$,$\frac{8}{7}$,$\frac{5}{4}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,,-,z,+, }
\tkzTabLine{,-,z,+,,+,}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\[
\boxed{S = \intervFF{\dfrac{8}{7}}{\dfrac{5}{4}}}
\]

\item $\begin{aligned}[t]
3x^3 > 12x & \iff 3x^3 - 12x > 0\\
& \iff 3x(x^2-4)>0\\
& \iff 3x(x-2)(x+2) > 0
\end{aligned}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,deltacl=0.5,espcl=2,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.8, $3x$/.8, $x+2$/.8, $x-2$/0.8, $3x(x-2)(x+2)$/.8}{$-\infty$,$-2$,$0$,$2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,,-,z,+,,+ }
\tkzTabLine{,-,z,+,,+,,+}
\tkzTabLine{,-,,-,,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\[
\boxed{S = \intervOO{-2}{0} \cup \intervOO{2}{+\infty} }
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[1]
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par:
\[
f(x)=2x^2-x+7\qquad\text{et}\qquad g(x)=2x^3+6x^2-7x+7.
\]
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f(x)-g(x)=2x(1-x)(x+3)$.
\item Déterminer alors la position relatives des courbes représentatives des deux fonctions.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
f(x)-g(x)&=(2x^2-x+7)-(2x^3+6x^2-7x+7)\\
& = 2x^2-x+7-2x^3-6x^2+7x-7\\
& = -2x^3-4x^2+6x.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
2x(1-x)(x+3) & =2x(x+3-x^2-3x)\\
& = 2x(-x^2-2x+3)\\
& = -2x^3+4x^2+6x\\
& = f(x)-g(x).
\end{aligned}$
\end{itemize}

\newpage

\item Dressons le tableau de signes de $f(x)-g(x)$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,deltacl=0.5,espcl=2,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.8, $2x$/.8, $1-x$/.8, $x+3$/0.8, $f(x)-g(x)$/.8}{$-\infty$,$-3$,$0$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,,-,z,+,,+ }
\tkzTabLine{,+,,+,,+,z,-}
\tkzTabLine{,-,z,+,,+,,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Notons $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$, et $\mathcal{C}_g$ celle de $g$.

Du tableau de signes, on déduit alors que:
\begin{itemize}
\item sur $\intervOO{-\infty}{-3}$ et sur $\intervOO{0}{1}$, $f(x)-g(x)>0$, donc $f(x)>g(x)$, ce qui signifie que $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$;

\item sur \intervOO{-3}{0} et sur \intervOO{1}{+\infty}, $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\mathcal{C}_g$;

\item les courbes se coupent aux points d'abscisses $A\coord{-3}{f(-3)}$, $B\coord{0}{f(0)}$ et $C\coord{1}{f(1)}$, soit $A\coord{-3}{28}$, $B\coord{0}{7}$ et $C\coord{1}{8}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{mise en inéquation}[2]
Un jardin à forme rectangulaire est représenté ci-dessous (partie verte) :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\filldraw[fill=yellow!50!brown,draw=black] (0,0) rectangle +(6,4);
\filldraw[fill=green!50!black,draw=black] (1,1) rectangle +(4,2);
\draw[<->,>=latex'] (3,0) -- (3,1) node[midway,right] {$x$};
\draw[<->,>=latex'] (5,2) -- (6,2) node[midway,above] {$x$};
\draw[<->,>=latex'] (3,3) -- (3,4) node[midway,right] {$x$};
\draw[<->,>=latex'] (0,2) -- (1,2) node[midway,above] {$x$};
\draw[<->,>=latex'] (0,-1) -- (6,-1) node[midway,fill=pageenonce!30] {100 m};
\draw[<->,>=latex'] (7,0) -- (7,4) node[midway,right] {60 m};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On note $f(x)$ l'aire (en m$^2$) de la partie extérieure à l'espace vert.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(x)=-4x(x-80)$.
\item Montrer que $f(x)=-4(x-40)^2+\numprint{6400}$.
\end{enumerate}

On souhaite savoir pour quelles valeurs de $x$ cette aire est inférieure ou égale à \numprint{1500} m$^2$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer alors que $(75-x)(x-5)\leqslant 0$.
\item Résoudre cette dernière inéquation et conclure.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
f(x) & =100\times60 - (100-2x)(60-2x)\\
& = \numprint{6000}-\numprint{6000}+200x+120x-4x^2\\
& = -4x^2+320x\\
\Aboxed{f(x) & = -4x(x-80)}
\end{aligned}$

\item On a : $\begin{aligned}[t]
-4(x-40)^2+\numprint{6400} & = -4(x^2-80x+\numprint{1600})+\numprint{6400}\\
& = -4x^2+320x-\numprint{6400}+\numprint{6400}\\
& = -4x^2+320x\\
& = f(x).
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
f(x)\leqslant\numprint{1500} & \iff -4(x-40)^2+\numprint{6400}\leqslant\numprint{1500}\\
& \iff -4(x-40)^2+\numprint{6400}-\numprint{1500}\leqslant0\\
& \iff \numprint{4900}-4(x-40)^2\leqslant0\\
& \iff 70^2-\big[2(x-40)\big]^2\leqslant0\\
& \iff \big[70-2(x-40)\big]\big[70+2(x-40)\big]\leqslant0\\
& \iff (70-2x+80)(70+2x-80)\leqslant0\\
& \iff (150-2x)(2x-10)\leqslant0\\
& \iff 2(75-x) \times 2(x-5)\leqslant0\\
& \iff (75-x)(x-5)\leqslant0
\end{aligned}$

\item Dressons le tableau de signes du produit $(75-x)(x-5)$ sur \intervFF{0}{30} (car $x$ ne peut pas dépasser 30 mètres, soit la moitié de la largeur du rectangle extérieur) :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=4,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$75-x$/0.5,$x-5$/0.5,$(75-x)(x-5)$/0.5}{0,5,30}
\tkzTabLine{,+,,+}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

Ainsi, l'aire jaune est inférieure à \numprint{1500} m$^2$ pour $0\leqslant x \leqslant5$.
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{inéquations}[3]
Résoudre les inéquations suivantes :

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $(x-1)(x+2)\leqslant 0$
\item $(3x-2)(5x-7)\geqslant 0$
\item $(5x-1)(-x+9)(2x+1)>0$
\item $\dfrac{2x+1}{2x-1}-\dfrac{2x-1}{2x+1}<\dfrac{2x+6}{4x^2-1}$
\item $\dfrac{5x+4}{2x-3}+\dfrac{(8-x)(10x+8)}{(2x-3)^2}\leqslant 0$
\item $\dfrac{(4-3x)(9x^2-10x-3)}{2x-7}<4-3x$
\item $\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\leqslant\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x(x^2-1)}$
\item $\dfrac{1-2x}{16x^2-9}\geqslant\dfrac{1-2x}{4x+3}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $(x-1)(x+2)\leqslant 0$.

Les valeurs de $x$ qui annulent le produit $(x-1)(x+2)$ sont les solutions des \'equations $x-1=0$ et $x+2=0$, donc sont \'egales \`a $x=1$ et $x=-2$. 

De plus, le coefficient de $x$ dans chaque facteur est positif, donc pour chacun d'eux, le signe sera  : $-$ 0 $+$, d'o\`u le tableau de signes page suivante.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,deltacl=0.5,espcl=2,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.8, $x-1$/.8, $x+2$/.8, $(x-1)(x+2)$/.8}{$-\infty$,$-2$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,,-,z,+, }
\tkzTabLine{,-,z,+,,+,}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Donc $\boxed{S=\intervFF{-2}{1}}$

\item $(3x-2)(5x-7)\geqslant 0$.

Les valeurs de $x$ qui annulent le produit $(3x-2)(5x-7)$ sont les solutions des \'equations $3x-2=0$ et $5x-7=0$, donc sont \'egales \`a $x=\dfrac{2}{3}$ et $x=\dfrac{7}{5}$, o\`u $\dfrac{2}{3}<\dfrac{7}{5}$. 

De plus, le coefficient de $x$ dans chaque facteur est positif, donc pour chacun d'eux, le signe sera  : $-$ 0 $+$, d'o\`u le tableau de signes suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3.5,deltacl=0.5,espcl=2,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.8, $3x-2$/.8, $5x-7$/.8, $(3x-2)(5x-7)$/.8}{$-\infty$,$\frac{2}{3}$,$\frac{7}{5}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,,+, }
\tkzTabLine{,-,,-,z,+,}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Donc $\boxed{S=\intervOF{-\infty}{\dfrac{2}{3}}\cup\intervFO{\dfrac{7}{5}}{+\infty}}$

\item $(5x-1)(-x+9)(2x+1)>0$.

Les valeurs de $x$ qui annulent le produit $(5x-1)(-x+9)(2x+1)$ sont les solutions des \'equations $5x-1=0$, $-x+9=0$ et $2x+1=0$, donc sont \'egales \`a $x=\dfrac{1}{5}$, $x=9$ et $x=-\dfrac{1}{2}$, o\`u $-\dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{5}<9$. 

D'o\`u le tableau de signes suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,deltacl=0.5,espcl=1.7,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.8, $5x-1$/.8, $-x+9$/.8, $2x+1$/.8,Produit/.8}{$-\infty$,$-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{5}$,$9$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,,-,z,+,,+}
\tkzTabLine{,+,,+,,+,z,-}
\tkzTabLine{,-,z,+,,+,,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,z,-,}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Donc $\boxed{S=\intervOO{-\infty}{-\dfrac{1}{2}}\cup\intervOO{\dfrac{1}{5}}{9}}$

\item $\begin{aligned}[t]
& \dfrac{2x+1}{2x-1}-\dfrac{2x-1}{2x+1}<\dfrac{2x+6}{4x^2-1}\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{(2x+1)^2-(2x-1)^2}{(2x+1)(2x-1)}<\dfrac{2x+6}{4x^2-1}\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{(2x+1-2x+1)(2x+1+2x-1)-2x-6}{4x^2-1}<0\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{8x-2x-6}{(2x-1)(2x+1)}<0\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{6(x-1)}{(2x+1)(2x-1)}<0
\end{aligned}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,deltacl=0.5,espcl=1.7,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.8, $x-1$/.8, $2x+1$/.8, $2x-1$/.8,Fraction/.8}{$-\infty$,$-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,,-,,-,z,+, }
\tkzTabLine{,-,z,+,,+,,+}
\tkzTabLine{,-,,-,z,+,,+,}
\tkzTabLine{,-,d,+,d,-,z,+,}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Donc $\boxed{S=\intervOO{-\infty}{-\dfrac{1}{2}}\cup\intervOO{\dfrac{1}{2}}{1}}$

\item $\begin{aligned}[t]
& \dfrac{5x+4}{2x-3}+\dfrac{(8-x)(10x+8)}{(2x-3)^2}\leq0\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{(5x+4)(2x-3)+2(8-x)(5x+4)}{(2x-3)^2} \leq 0\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{(5x+4)(2x-3+16-2x)}{(2x+3)^2} \leq 0\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{13(5x+4)}{(2x-3)^2} \leq 0
\end{aligned}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,deltacl=0.5,espcl=1.7,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.8, $5x+4$/.8, $(2x-3)^2$/.8, Fraction/.8}{$-\infty$,$-\frac{4}{5}$,$\frac{3}{2}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+, ,+}
\tkzTabLine{,+, ,+,z,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,d,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Donc $\boxed{S=\intervOF{-\infty}{-\dfrac{4}{5}}}$

\item $\begin{aligned}[t]
& \dfrac{(4-3x)(9x^2-10x-3)}{2x-7}<4-3x\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{(4-3x)(9x^2-10x-3)-(4-3x)(2x-7)}{2x-7}<0\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{(4-3x)(9x^2-10x-3-2x+7)}{2x-7}<0\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{(4-3x)(9x^2-12x+4)}{2x-7}<0\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{(4-3x)(3x-2)^2}{2x-7}<0
\end{aligned}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,deltacl=0.5,espcl=1.7,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]
{$x$/0.8,$4-3x$/.8,$(3x-2)^2$/.8,$2x-7$/.8,Fraction/.8}
{$-\infty$,$\frac{2}{3}$,$\frac{4}{3}$,$\frac{7}{2}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+, ,+,z,-, ,-}
\tkzTabLine{,+,z,+, ,+, ,+}
\tkzTabLine{,-, ,-, ,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,z,-,z,+,d,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Donc $\boxed{S=\intervOO{-\infty}{\dfrac{2}{3}}\cup\intervOO{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{4}{3}}\cup\intervOO{\dfrac{7}{2}}{+\infty}}$

\item $\begin{aligned}[t]
& \dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\leq\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x(x^2-1)}\, ,\, x\neq0,\ x\neq-1,\ x\neq1\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{x(x+1)-x(x-1)-(x+1)(x-1)-2}{x(x-1)(x+1)}\leq 0\qquad(\text{remarqué:}(x^2-1)=(x-1)(x+1))\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{2x-x^2-1}{x(x+1)(x-1)}\leqslant 0\\
\Leftrightarrow& -\dfrac{x^2-2x+1}{x(x+1)(x-1)}\leqslant 0\\
\Leftrightarrow& -\dfrac{(x-1)^2}{x(x+1)(x-1)}\leqslant 0\\
\Leftrightarrow&\, x(x+1)(x-1)>0,\ \text{car } (x-1)^2 >0
\end{aligned}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,deltacl=0.5,espcl=1.7,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]
{$x$/.8,$x$/.8,$x+1$/.8,$x-1$/.8,Fraction/.8}
{$-\infty$,$-1$,$0$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-, ,-,z,+, ,+}
\tkzTabLine{,-,z,+, ,+, ,+}
\tkzTabLine{,-, ,-, ,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,d,+,d,-,d,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Donc $\boxed{S=\intervOO{-1}{0}\cup\intervOO{1}{+\infty}}$

\item $\begin{aligned}[t]
& \dfrac{1-2x}{16x^2-9}\geqslant\dfrac{1-2x}{4x+3}\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{(1-2x)-(1-2x)(4x-3)}{16x^2-9}\geqslant 0\\
\Leftrightarrow &\, \dfrac{(1-2x)(1-4x+3)}{16x^2-9}\geqslant 0\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{4(1-2x)(1-x)}{(4x-3)(4x+3)}\geqslant 0
\end{aligned}$

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,deltacl=0.5,espcl=1.5,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.8, $1-2x$/.8, $1-x$/.8, $4x-3$/.8, $4x+3$/.8,Fraction/.8}{$-\infty$,$-\frac{3}{4}$,$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{4}$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+, ,+,z,-, ,-, ,-}
\tkzTabLine{,+, ,+, ,+, ,+,z,-}
\tkzTabLine{,-, ,-, ,-,z,+, ,+}
\tkzTabLine{,-,z,+, ,+, ,+, ,+}
\tkzTabLine{,+,d,-,z,+,d,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Donc $\boxed{S=\intervOO{-\infty}{-\dfrac{3}{4}}\cup\intervFO{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{4}}\cup\intervFO{1}{+\infty}}$
\end{enumerate}
\end{exocor}



\corriges
