\chapter{Fonctions de référence}

\newpage

\section{La fonction carré}

\subsection{Définition}

\begin{defin}
La fonction carré est la fonction qui à tout réel $x$ associe son carré $x^2$.

On la note:
\[
x\longmapsto x^2.
\]
\end{defin}

\begin{prop}
La fonction carré est paire.
\end{prop}

\begin{demo}
Posons $f(x)=x^2$.

$f$ est définie sur \R, ensemble centré en 0.

De plus, pour tout réel $x$,
\[
f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)\;,
\]
ce qui justifie que $f$ est paire.
\end{demo}

\subsection{Courbe représentative}

Afin de tracer la courbe représentative de la fonction carré sur un intervalle \intervFF{-4}{4} par exemple, on peut avant tout souhaiter la tracer sur l'intervalle \intervFF{0}{4} car la fonction est paire (ce qui signifie que la courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, d'où le fait de tracer la courbe uniquement sur \intervFF{0}{4}).
\begin{center}
\arrayrulecolor{titrecolor}
\begin{tabular}{>{\columncolor{titrecolor}\color{white}}Sc|*{9}{Sc|}}
\hline
$x$ & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 & 3 & 3,5 & 4 \\
\hline
$x^2$ & 0 & 0,25 & 1 & 2,25 & 4 & 6,25 & 9 & 12,25 & 16 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
On obtient alors la courbe suivante:
\enlargethispage*{2\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,xscale=2,yscale=0.45]
\draw[dashed,gray] (0,0) grid[ystep=4] (4,16);
\draw[->,thick] (0,0) -- (4,0);
\draw[->,thick] (0,0) -- (0,16);
\foreach\x in {0,1,2,3,4}
{
\node[below] at (\x,0) {\x};
}
\foreach\y in {0,4,8,12,16}
{
\node[left] at (0,\y) {\y};
}
\foreach\x/\y in {%
0/0,%
0.5/0.25,%
1/1,%
1.5/2.25,%
2/4,%
2.5/6.25,%
3/9,%
3.5/12.25,%
4/16}
{
\fill[red] (\x,\y) circle[x radius=1pt,y radius=4pt];
}
\draw[orange] plot[domain=0:4,samples=70] (\x,{\x*\x});
\end{tikzpicture}
\end{center}

Par symétrie, on obtient la courbe représentative complète sur \intervFF{-4}{4}:

\begin{tikzpicture}[>=latex,xscale=2,yscale=0.5]
\draw[dashed,gray] (-4,0) grid[ystep=4] (4,16);
\draw[->,thick] (-4,0) -- (4,0);
\draw[->,thick] (0,0) -- (0,16);
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
{
\node[below] at (\x,0) {$\x$};
}
\foreach\y in {0,4,8,12,16}
{
\node[left] at (0,\y) {\y};
}
\foreach\x/\y in {%
0/0,%
0.5/0.25,%
1/1,%
1.5/2.25,%
2/4,%
2.5/6.25,%
3/9,%
3.5/12.25,%
4/16}
{
\fill[red] (\x,\y) circle[x radius=1pt,y radius=4pt];
}
\draw[orange] plot[domain=-4:4,samples=70] (\x,{\x*\x});
\end{tikzpicture}

On dit que cette courbe est une \textit{parabole}.

\subsection{Sens de variation}

On peut bien entendu voir sur le graphique les variations de la fonction carré, mais on aurait pu aussi trouver les variations \underline{avant} de construire la courbe.

Pour cela, on aurait pu prendre deux nombres $a$ et $b$ sur l'intervalle \intervFO{0}{+\infty}, et comparer $a^2$ et $b^2$ :
\begin{align*}
0\leqslant a < b& \iff a^2-b^2 = \underbrace{(a-b)}_{<0}\underbrace{(a+b)}_{>0}\\
& \iff a^2 < b^2\\
& \iff \text{la fonction carré est strictement croissante sur }\intervFO{0}{+\infty}.
\end{align*}

Par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, on peut en déduire que la fonction carré est strictement décroissante sur \intervOF{-\infty}{0}.

Le tableau de variation de la fonction carré sur \R est donc le suivant:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[%
	color,%
	colorC=titrecolor,
	colorL=titrecolor,
	colorV=titrecolor]
	{%
	\textcolor{white}{$x$}/0.5,
	\textcolor{white}{$x\mapsto x^2$}/1.5
	}{\textcolor{white}{$-\infty$},\textcolor{white}{0},\textcolor{white}{$+\infty$}}
\tkzTabVar{+/,-/0,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\enlargethispage*{2\baselineskip}
\subsection{\'Equations}

\begin{prop}
Pour tout nombre $a>0$,
\[
x^2 = a \iff x=-\sqrt{a}\quad\text{ ou }\quad x=\sqrt{a}.
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item $x^2=7 \iff x=-\sqrt{7}\quad\text{ ou }\quad x=\sqrt7$.
\item $x^2=16 \iff x=-\sqrt{16}=-4\quad\text{ ou }\quad x=\sqrt{16}=4$.
\end{enumerate}
\end{exemple}

Graphiquement, cela revient à trouver les antécédents du nombre $a$ par la fonction carré :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,xscale=1,yscale=0.33]
\draw[->,thick] (-4,0) -- (4,0);
\draw[->,thick] (0,0) -- (0,16);
\draw[orange] plot[domain=-4:4,samples=70] (\x,{\x*\x});
\draw[thick,blue,dotted] ({-sqrt(10)},0) node[below] {$-\sqrt{a}$} -- ({-sqrt(10)},10) -- ({sqrt(10)},10) -- ({sqrt(10)},0) node[below] {$\sqrt{a}$};
\node[above left,blue] at (0,10) {$a$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Inéquations}

\begin{prop}
Pour tout nombres $a>0$,
\[
x^2 < a \iff -\sqrt{a} < x < \sqrt{a}.
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
\[
x^2 < 9 \iff -3 < x < 3.
\]
\end{exemple}


Graphiquement, cela revient à trouver tous les antécédents dont l'image est plus petite que 9 par la fonction carré :
\enlargethispage*{2\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,xscale=1.5,yscale=0.35]
\draw[->,thick] (-4,0) -- (4,0);
\draw[->,thick] (0,0) -- (0,16);
\draw[orange] plot[domain=-4:4,samples=70] (\x,{\x*\x});
\draw[red,thick] plot[domain=-3:3,samples=70] (\x,{\x*\x});
\draw[thick,blue,dotted] (-3,0) node[below] {$-\sqrt{a}$} -- (-3,9) -- (3,9) -- (3,0) node[below] {$\sqrt{a}$};
\node[above left,blue] at (0,9) {$a$};
\draw[thick,*-*,violet] (-3.05,0) -- (3.05,0);
\node[text width=6.3cm,draw,fill=yellow!20,align=center,text=red] (txt) at (0,12) {Ensemble des points de la courbe dont l'image est inférieure à $a$};
\draw[->,red] (txt.300) to[bend left=20] (-2,4);
\drawshadow{txt}{black}
\node[text width=6cm,draw,fill=yellow!20,align=center,text=violet] (txtt) at (0,-4) {Ensemble des antécédents par la fonction carré dont l'image est inférieure à $a$};
\draw[->,violet] (txtt.110) to[bend right=20] (2,0);
\drawshadow{txtt}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\newpage
\begin{prop}
Pour tout réel $a>0$,
\[
x^2 > a \iff x \in\intervOO{-\infty}{-\sqrt{a}} \cup \intervOO{\sqrt{a}}{+\infty}.
\]
\end{prop}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,xscale=1.5,yscale=0.4]
\draw[->,thick] (-4,0) -- (4,0);
\draw[->,thick] (0,0) -- (0,16);
\draw[orange] plot[domain=-4:4,samples=70] (\x,{\x*\x});
\draw[red,thick] plot[domain=-4:-2,samples=70] (\x,{\x*\x});
\draw[red,thick] plot[domain=2:4,samples=70] (\x,{\x*\x});
\draw[thick,blue,dotted] (-2,0) node[below] {$-\sqrt{a}$} -- (-2,4) -- (2,4) -- (2,0) node[below] {$\sqrt{a}$};
\node[above left,blue] at (0,4) {$a$};
\draw[thick,-*,violet] (-4,0) node[below] {$-\infty$} -- (-1.95,0);
\draw[thick,*-,violet] (1.95,0) -- (4,0) node[below] {$+\infty$};
\node[text width=6.3cm,draw,fill=yellow!20,align=center,text=red] (txt) at (0,12) {Ensemble des points de la courbe dont l'image est supérieure à $a$};
\draw[->,red] (txt.west) to[bend right=10] (-3,9);
\draw[->,red] (txt.east) to[bend left=10] (3,9);
\drawshadow{txt}{black}
\node[text width=6cm,draw,fill=yellow!20,align=center,text=violet] (txtt) at (0,-4) {Intervalles des antécédents par la fonction carré dont l'image est supérieure à $a$};
\draw[->,violet] (txtt.west) to[bend left=10] (-3,0);
\draw[->,violet] (txtt.east) to[bend right=10] (3,0);
\drawshadow{txtt}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}


\section{La fonction inverse}

\subsection{Définition}

\begin{defin}
La fonction inverse est la fonction qui à tout réel $x$ associe son inverse $\dfrac{1}{x}$.

On la note:
\[
x\longmapsto \dfrac{1}{x}.
\]
\end{defin}

\begin{prop}
La fonction carré est impaire.
\end{prop}

\begin{demo}
Posons $f(x)=\dfrac{1}{x}$.

$f$ est définie sur $\intervOO{-\infty}{0}\cup\intervOO{0}{+\infty}$, ensemble centré en 0.

De plus, pour tout réel $x$,
\[
f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}=-f(x)\;,
\]
ce qui justifie que $f$ est impaire.
\end{demo}

\subsection{Sens de variation}

Soient deux nombres $a$ et $b$ tels que $a<b$. Posons $f(x)=\dfrac{1}{x}$.

\begin{align*}
f(a)-f(b) & = \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\\
& = \dfrac{b}{ab}-\dfrac{a}{ab}\\
& = \dfrac{b-a}{ab}.
\end{align*}

\begin{itemize}
\item Si on se place sur \intervOO{-\infty}{0} alors $a<0$ et $b<0$ donc $a$ et $b$ sont de même signe, ce qui signifie que $ab>0$.

\item Si on se place sur \intervOO{0}{+\infty} alors $a>0$ et $b>0$ donc $a$ et $b$ sont aussi de même signe, ce qui signifie que $ab>0$.
\end{itemize}

De plus, $a<b$ donc $b-a>0$. Ainsi, $f(a)-f(b)>0$, ce qui signifie que $f$ est strictement décroissante sur \intervOO{-\infty}{0} et sur \intervOO{0}{+\infty}.


\subsection{Courbe représentative} 

Afin de tracer la courbe représentative de la fonction inverse sur un intervalle $\intervFF{-4}{0}\cup\intervOF{0}{4}$ par exemple, on peut avant tout souhaiter la tracer sur l'intervalle \intervOF{0}{4} car la fonction est impaire (ce qui signifie que la courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère, d'où le fait de tracer la courbe uniquement sur \intervOF{0}{4}).
\begin{center}
\arrayrulecolor{titrecolor}
\begin{tabular}{>{\columncolor{titrecolor}\color{white}}Sc|*{8}{Sc|}}
\hline
$x$ &  0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 & 3 & 3,5 & 4 \\
\hline
$x^2$ & 2 & 1 & 0,66 & 0,5 & 0,4 & 0,33 & 0,29 & 0,25 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
On obtient alors :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,xscale=2,yscale=2]
\draw[dashed,gray] (0,0) grid[ystep=0.5] (4,2);
\draw[->,thick] (0,0) -- (4,0);
\draw[->,thick] (0,0) -- (0,2);
\foreach\x in {0,1,2,3,4}
{
\node[below] at (\x,0) {\x};
}
\foreach\y in {0,0.5,1,1.5,2}
{
\node[left] at (0,\y) {\y};
}
\foreach\x/\y in {%
0.5/2,%
1/1,%
1.5/{2/3},%
2/0.5,%
2.5/0.4,%
3/{1/3},%
3.5/{2/7},%
4/0.25}
{
\fill[red] (\x,\y) circle[x radius=1pt,y radius=1pt];
}
\clip (0,0) rectangle (4,2);
\draw[orange] plot[domain=0.1:4,samples=70] (\x,{1/\x});
\end{tikzpicture}
\end{center}
\newpage
Par symétrie par rapport à $O$, on obtient la courbe représentative complète sur \intervFF{-4}{4}:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,xscale=1.5,yscale=1.5]
\draw[dashed,gray] (-4,-2) grid[ystep=0.5] (4,2);
\draw[->,thick] (-4,0) -- (4,0);
\draw[->,thick] (0,-2) -- (0,2);
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
\node[below] at (\x,0) {$\x$};
}
\foreach\y in {0.5,1,1.5,2}
{
\node[left] at (0,\y) {\y};
\node[right] at (0,-\y) {$-\y$};
}
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\foreach\x/\y in {%
0.5/2,%
1/1,%
1.5/{2/3},%
2/0.5,%
2.5/0.4,%
3/{1/3},%
3.5/{2/7},%
4/0.25}
{
\fill[red] (\x,\y) circle[x radius=1pt,y radius=1pt];
}
\clip (-4,-2) rectangle (4,2);
\draw[orange] plot[domain=-4:-0.1,samples=70] (\x,{1/\x});
\draw[orange] plot[domain=0.1:4,samples=70] (\x,{1/\x});
\end{tikzpicture}
\end{center}

On dit que cette courbe est une \textit{hyperbole}.

\subsection{\'Equations}

\begin{prop}
Pour tout nombre $a\neq0$,
\[
\dfrac{1}{x} = a \iff x=\dfrac{1}{a}.
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{x}=2 \iff x=\dfrac{1}{2}$.
\item $\dfrac{1}{x}=-1,5 \iff x=\dfrac{1}{-1,5}=-\dfrac{1}{1,5}=-\dfrac{1}{\frac{3}{2}}=-\dfrac{2}{3}$.
\end{enumerate}
\end{exemple}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,xscale=1.5,yscale=1.5]
\draw[dashed,gray] (-4,-2) grid[ystep=0.5] (4,2.5);
\draw[->,thick] (-4,0) -- (4,0);
\draw[->,thick] (0,-2) -- (0,2.5);
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
\node[below] at (\x,0) {$\x$};
}
\foreach\y in {0.5,1,1.5,2}
{
\node[left] at (0,\y) {\y};
\node[right] at (0,-\y) {$-\y$};
}
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\clip (-4,-2) rectangle (4,2.5);
\draw[orange] plot[domain=-4:-0.1,samples=70] (\x,{1/\x});
\draw[orange] plot[domain=0.1:4,samples=70] (\x,{1/\x});
%
\draw[purple,very thick,dashed] (0,2) -- (0.5,2) -- (0.5,0) node[below]{$\frac{1}{2}$};
\draw[violet,very thick,dashed] (0,-1.5) -- ({-2/3},-1.5) -- ({-2/3},0) node[above]{$-\frac{2}{3}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Inéquations}

\begin{prop}
\begin{enumerate}
\item Si $a>0$,
\begin{itemize}
\item $\dfrac{1}{x}>a \iff x\in\intervOO{0}{\dfrac{1}{a}}$;
\item $\dfrac{1}{x}<a \iff x\in\intervOO{-\infty}{0}\cup\intervOO{\dfrac{1}{a}}{+\infty}$.
\end{itemize}

\item Si $a<0$,
\begin{itemize}
\item $\dfrac{1}{x}>a \iff  x\in\intervOO{-\infty}{\dfrac{1}{a}}\cup\intervOO{0}{+\infty};$
\item $\dfrac{1}{x}<a \iff x\in\intervOO{\dfrac{1}{a}}{0}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{prop}


\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{x}>\dfrac{3}{2}\iff x\in\intervOO{0}{\dfrac{2}{3}}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,xscale=1.5,yscale=2.5]
\draw[dashed,gray] (-4,-2) grid[ystep=0.5] (4,2.5);
\draw[->,thick] (-4,0) -- (4,0);
\draw[->,thick] (0,-2) -- (0,2.5);
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
\node[below] at (\x,0) {$\x$};
}
\foreach\y in {0.5,1,1.5,2}
{
\node[left] at (0,\y) {\y};
\node[right] at (0,-\y) {$-\y$};
}
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\clip (-4,-2) rectangle (4,2.5);
\draw[orange] plot[domain=-4:-0.1,samples=70] (\x,{1/\x});
\draw[orange] plot[domain=0.1:4,samples=70] (\x,{1/\x});
%
\draw[purple,very thick,dashed] (0,1.5) -- ({2/3},1.5) -- ({2/3},0) node[below]{$\frac{2}{3}$};
\draw[very thick,red,-(] plot[domain=0.1:0.666,samples=70] (\x,{1/\x});
\draw[very thick,red,)-(] (0,0) -- ({2/3},0);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\newpage
\item $\dfrac{1}{x}<\dfrac{3}{2} \iff x\in\intervOO{-\infty}{0}\cup\intervOO{\dfrac{2}{3}}{+\infty}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,xscale=1.5,yscale=2]
\draw[dashed,gray] (-4,-2) grid[ystep=0.5] (4,2.5);
\draw[->,thick] (-4,0) -- (4,0);
\draw[->,thick] (0,-2) -- (0,2.5);
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
\node[below] at (\x,0) {$\x$};
}
\foreach\y in {0.5,1,1.5,2}
{
\node[left] at (0,\y) {\y};
\node[right] at (0,-\y) {$-\y$};
}
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\clip (-4,-2) rectangle (4,2.5);
\draw[orange] plot[domain=-4:-0.1,samples=70] (\x,{1/\x});
\draw[orange] plot[domain=0.1:4,samples=70] (\x,{1/\x});
%
\draw[purple,very thick,dashed] (0,1.5) -- ({2/3},1.5) -- ({2/3},0) node[below]{$\frac{2}{3}$};
\draw[very thick,red] plot[domain=-4:-0.1,samples=70] (\x,{1/\x});
\draw[very thick,red,)-] plot[domain=0.666:4,samples=70] (\x,{1/\x});
\draw[very thick,red,-(] (-4,0) -- (0,0);
\draw[very thick,red,)-] ({2/3},0) -- (4,0);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exemple}


\section{La fonction cube}

\subsection{Définition}

\begin{defin}
La fonction cube est la fonction qui à tout réel $x$ associe son cube $x^3$.

On la note:
\[
x\longmapsto x^3.
\]
\end{defin}

\begin{prop}
La fonction carré est impaire.
\end{prop}

\begin{demo}
Posons $f(x)=x^3$.

$f$ est définie sur \R, ensemble centré en 0.

De plus, pour tout réel $x$,
\[
f(-x)=(-x)^3 = (-1 \times x)^3 = (-1)^3 \times x^3 = -1 \times x^3 = -x^3=-f(x)\;,
\]
ce qui justifie que $f$ est impaire.
\end{demo}

\subsection{Sens de variation}

Soient deux nombres $a$ et $b$ tels que $a<b$. Posons $f(x)=x^3$.

\begin{align*}
f(a)-f(b) & = a^3-b^3\\
& = (a-b)(a^2+ab+b^2).
\end{align*}

\begin{itemize}
\item Si on se place sur \intervOF{-\infty}{0} alors $a\leqslant0$ et $b\leqslant0$ donc $ab\geqslant0$.

\item Si on se place sur \intervFO{0}{+\infty} alors $a\geqslant0$ et $b\geqslant0$ donc $ab\geqslant0$.
\end{itemize}

Dans les deux cas, $ab\geqslant0$; de plus, $a^2\geqslant0$ et $b^2\geqslant0$ donc $a^2+ab+b^2>0$.

\begin{rem}
$a$ et $b$ ne peuvent pas être égaux à 0 tous les deux car on a supposé $a<b$. Donc $a^2+b^2\neq0$, et donc $a^2+b^2>0$, d'où $a^2+b^2+ab>0$ (l'inégalité est nécessairement stricte).
\end{rem}

\medskip

De plus, $a<b$ donc $a-b<0$. Ainsi, $f(a)-f(b)<0$, ce qui signifie que $f$ est strictement croissante sur \intervOO{-\infty}{0} et sur \intervOO{0}{+\infty}.

\subsection{Courbe représentative} 

Afin de tracer la courbe représentative de la fonction cube sur un intervalle $\intervFF{-3}{3}$ par exemple, on peut avant tout souhaiter la tracer sur l'intervalle \intervOF{0}{3} car la fonction est impaire (ce qui signifie que la courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère, d'où le fait de tracer la courbe uniquement sur \intervOF{0}{3}).
\begin{center}
\arrayrulecolor{titrecolor}
\begin{tabular}{>{\columncolor{titrecolor}\color{white}}Sc|*{7}{Sc|}}
\hline
$x$ &  0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 & 3 \\
\hline
$x^2$ & 0 & 0,125 & 1 & 3,375 & 8 & 15,625 & 27 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
On obtient alors :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,xscale=2,yscale=0.25]
\draw[dashed,gray] (0,0) grid[ystep=4] (3,28);
\draw[->,thick] (0,0) -- (3,0);
\draw[->,thick] (0,0) -- (0,28);
\foreach\x in {0,1,2,3}
{
\node[below] at (\x,0) {\x};
}
\foreach\y in {0,4,8,...,28}
{
\node[left] at (0,\y) {\y};
}
\foreach\x/\y in {%
0/0,%
0.5/0.125,%
1/1,%
1.5/{3.375},%
2/8,%
2.5/15.625,%
3/27}
{
\fill[red] (\x,\y) circle[x radius=1pt,y radius=8pt];
}
\clip (0,0) rectangle (3,28);
\draw[orange] plot[domain=0:3,samples=70] (\x,{\x*\x*\x});
\end{tikzpicture}
\end{center}
\newpage
Par symétrie par rapport à $O$, on obtient la courbe représentative complète sur \intervFF{-3}{3}:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,xscale=2,yscale=0.25]
\draw[dashed,gray] (-3,-28) grid[ystep=4] (3,28);
\draw[->,thick] (-3,0) -- (3,0);
\draw[->,thick] (0,-28) -- (0,28);
\foreach\x in {-3,-2,-1,1,2,3}
{
\node[below] at (\x,0) {\x};
}
\foreach\y in {0,4,8,...,28}
{
\node[left] at (0,\y) {\y};
\node[right] at (0,-\y) {$-\y$};
}
\foreach\x/\y in {%
0/0,%
0.5/0.125,%
1/1,%
1.5/{3.375},%
2/8,%
2.5/15.625,%
3/27}
{
\fill[red] (\x,\y) circle[x radius=1pt,y radius=8pt];
}
\clip (-3,-28) rectangle (3,28);
\draw[orange] plot[domain=-3:3,samples=70] (\x,{\x*\x*\x});
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{\'Equations et inéquations}

\begin{prop}
Pour tout nombre réel $a$,
\[
x^3 = a \iff x=\sqrt[3]{a}.
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item $x^3=27 \iff x = \sqrt[3]{27}=3$ car $3^3=27$.
\item $x^3=-8 \iff x = \sqrt[3]{-8}=-2$ car $(-2)^3=-8$.
\end{enumerate}
\end{exemple}

\newpage
\begin{prop}
Pour tout nombre réel $a$,
\begin{align*}
x^3 > a \iff x>\sqrt[3]{a} \\
x^3 < a \iff x < \sqrt[3]{a}
\end{align*}
\end{prop}

\section{Racine carrée}

\subsection{Définition}

\begin{defin}
La fonction racine carrée est la fonction qui à tout réel $x$ associe sa racine carrée $\sqrt{x}$.

On la note:
\[
x\longmapsto\sqrt{x}.
\]
Son domaine de définition est $\R_+$, c'est-à-dire \intervFO{0}{+\infty}.
\end{defin}

\subsection{Sens de variation}

Soient deux nombres positifs $a$ et $b$ tels que $a<b$. Posons $f(x)=\sqrt{x}$.

\begin{align*}
f(a)-f(b) & = \sqrt{a}-\sqrt{b}\\
& =\big(\sqrt{a}-\sqrt{b}\big)\times\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\\
& = \dfrac{\big(\sqrt{a}-\sqrt{b}\big)\big(\sqrt{a}+\sqrt{b}\big)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\\
& = \dfrac{\big(\sqrt{a}\big)^2-\big(\sqrt{b}\big)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\\
& = \dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.
\end{align*}

$a<b$ donc $a-b<0$. De plus, $\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$. Ainsi, $f(a)-f(b)<0$, ce qui signifie que $f$ est strictement croissante sur $\R_+$.


\subsection{Courbe représentative} 

\begin{center}
\arrayrulecolor{titrecolor}
\begin{tabular}{>{\columncolor{titrecolor}\color{white}}Sc|*{12}{Sc|}}
\hline
$x$ &  0&0,5&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10 \\
\hline
$x^2$ & 0&0,7&1&1,4 & 1,7 & 2 & 2,2 & 2,4 & 2,6 & 2,8 & 3 & 3,2\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\newpage
On obtient alors :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,yscale=2]
\draw[dashed,gray] (0,0) grid[ystep=0.5] (10,3.5);
\draw[->,thick] (0,0) -- (10,0);
\draw[->,thick] (0,0) -- (0,3.5);
\foreach\x in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
{
\node[below] at (\x,0) {\x};
}
\foreach\y in {0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5}
{
\node[left] at (0,\y) {\y};
}
\foreach\x in {0,0.5,1,2,...,10}
{
\fill[red] (\x,{sqrt(\x)}) circle[x radius=2pt,y radius=1pt];
}
\draw[orange] plot[domain=0:10,samples=70] (\x,{sqrt(\x)});
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{\'Equations et inéquations}

\begin{prop}
Soit $a>0$.
\begin{align*}
\sqrt{x}=a & \iff x = a^2\\
\sqrt{x} < a &\iff x\in\intervOF{0}{a^2}\\
\sqrt{x} > a & \iff x\in\intervOO{a^2}{+\infty}.
\end{align*}
\end{prop}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item $\sqrt{x}=2 \iff x = 2^2 = 4.$
\item $\sqrt{x}<3 \iff 0 < x < 9$.
\item $\sqrt{x}>4 \iff x > 4^2 \iff x > 16$.
\end{enumerate}
\end{exemple}

\newpage
\section{Généralités sur les fonctions de référence}

\subsection{Ordre des images}

\begin{prop}
\begin{enumerate}
\item $0< a < b \iff 0 < a^2 < b^2$ et $a < b < 0 \iff 0 < b^2 < a^2$.
\item $a < b \iff \dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$.
\item $a < b \iff a^3 < b^3$.
\item $0 < a < b \iff \sqrt{a} < \sqrt{b}$.
\end{enumerate}
\end{prop}

Les résultats de cette propriété viennent des variations des fonctions de référence. 

Quand une fonction est croissante sur un intervalle, les images sont rangées dans le même ordre que les antécédents ($x\mapsto x^2$ sur \intervFO{0}{+\infty}, $x\mapsto x^3$ et $x\mapsto\sqrt{x}$).

\medskip

Au contraire, quand une fonction est décroissante sur un intervalle, les images sont rangées dans l'ordre inverse des antécédents ($x\mapsto x^2$ sur \intervOF{-\infty}{0} et $x\mapsto\frac{1}{x}$).

\subsection{Position relative des courbes}

\begin{prop}
Pour tout réel $x$ strictement compris entre 0 et 1, $x^3 < x^2 < x$.

Pour tout réel $x>1$, $x < x^2 < x^3$.
\end{prop}

\begin{demo}
\begin{itemize}
\item Soit $x\in\intervOO{0}{1}$.
\[
x^3-x^2=x^2(x-1).
\]
Or, $x^2>0$ et $x-1<0$, donc $x^2(x-1)<0$, soit $x^3-x^2<0$. Donc $x^3 < x^2$.

\medskip

De plus, $x^2-x = x(x-1)<0$ car $x>0$ et $x-1<0$. Ainsi, $x^2<x$.

\medskip

Finalement, on obtient : $x^3 < x^2 < x$.

\item Soit $x>1$. Alors, $x^3-x^2=x^2(x-1)>0$ car $x^2>0$ et $x-1>0$. Donc $x^3 > x^2$.

\medskip

De plus, $x^2-x = x(x-1)>0$ car $x>0$ et $x-1>0$. Donc $x^2 > x$.

\medskip

On obtient finalement : $x^3 > x^2 > x$, que l'on peut aussi écrire : $x < x^2 < x^3$.
\end{itemize}
\end{demo}

\newpage

Graphiquement, cela se traduit par le fait que sur \intervFF{0}{1}, la courbe représentative de $x\mapsto x^3$ est en-dessous de celle de $x\mapsto x^2$, qui est elle-même en-dessous de celle de $x\mapsto x$:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=10]
\draw[dashed,gray] (0,0) grid[step=0.1] (1,1);
\draw[->,thick] (0,0) -- (1.1,0);
\draw[->,thick] (0,0) -- (0,1.1);
\draw[orange] plot[domain=0:1,samples=70] (\x,{\x*\x*\x});
\draw[violet] plot[domain=0:1,samples=70] (\x,{\x*\x});
\draw[cyan] plot[domain=0:1,samples=70] (\x,{\x});
\node[below] at (0,0) {0};
\node[below] at (1,0) {1};
\node[left] at (0,0) {0};
\node[left] at (0,1) {1};
\node[below right,orange] at (0.7,0.3) {\Large $x^3$};
\node[left,violet] at (0.6,0.4) {\Large $x^2$};
\node[above left,cyan] at (0.5,0.5) {\Large $x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Cela sous-entend notamment que si $0<x<1$ alors $x^2$ et $x^3$ sont plus petits que $x$.

\begin{prop}
Pour tout réel $x$ strictement compris entre 0 et 1, $x^2 < x < \sqrt{x}$.

Pour tout réel $x>1$, $\sqrt{x} < x < x^2$.
\end{prop}
\enlargethispage*{\baselineskip}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=2.5]
\draw[dashed,gray] (0,0) grid[step=0.5] (4,2);
\draw[->,thick] (0,0) -- (4.1,0);
\draw[->,thick] (0,0) -- (0,2.1);
\foreach\x in {0,1,2,3,4}
{
\node[below] at (\x,0) {\x};
}
\foreach\y in {0,0.5,1,1.5,2}
{
\node[left] at (0,\y) {\y};
}
\clip (-1,-1) rectangle (4.5,2);
\draw[green!50!black] plot[domain=0:4,samples=70] (\x,{sqrt(\x)});
\draw[violet] plot[domain=0:4,samples=70] (\x,{\x*\x});
\draw[cyan] plot[domain=0:4,samples=70] (\x,{\x});
\node[right,green!50!black] at (3.5,1.75) {\Large $\sqrt{x}$};
\node[left,violet] at (1.3,1.85) {\Large $x^2$};
\node[below right,cyan] at (2,2) {\Large $x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exercices

%\vspace*{-5mm}
\subsection*{Fonction carré}

%%%

\begin{exocor}{complétions et ordre}[1]
Compléter les pointillés par l'un des symboles \og $<$ \fg{} et \og $>$ \fg.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $2,18^2\ldots2,19^2$
\item $(-\pi)^2\ldots(-4)^2$
\item $1,718^2\ldots1,0817^2$
\item $0,04^2\ldots0,006^2$
\item $(-0,78)^2\ldots(-0,77)^2$
\item $(1-\pi)^2\ldots(3-2\pi)^2$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $2,18^2 \textcolor{red}{<} 2,19^2$. En effet, $0<2,18 < 2,19$ et la fonction carré est strictement croissante sur $\R_+$, donc les images sont rangées dans le même ordre.

\item $(-\pi)^2 \textcolor{red}{<} (-4)^2$. En effet, $-4 < -\pi < 0$ et la fonction carré est strictement décroissante sur $\R_-$, donc les images sont rangées dans l'ordre inverse : $(-4)^2 >  (-\pi)^2$.

\item $1,718^2 \textcolor{red}{>} 1,0817^2$. En effet, $0<1,0817 < 1,718$ et la fonction carré est strictement croissante sur $\R_+$, donc les images sont rangées dans le même ordre.

\item $0,04^2 \textcolor{red}{>} 0,006^2$. En effet, $0< 0,006 < 0,04$ et la fonction carré est strictement croissante sur $\R_+$, donc les images sont rangées dans le même ordre.

\item $(-0,78)^2  \textcolor{red}{>} (-0,77)^2$. En effet, $-0,78 < -0,77 < 0$ et la fonction carré est strictement décroissante sur $\R_-$, donc les images sont rangées dans l'ordre inverse :\\ $(-0,78)^2 >  (-0,77)^2$.

\item $(1-\pi)^2 \textcolor{red}{<} (3-2\pi)^2$. En effet, $1-\pi\approx1-3,14\approx-2,14$ et $3-2\pi\approx3-6,28\approx-3,28$ donc $3-2\pi < 1-\pi < 0$. De plus, la fonction carré est strictement décroissante sur $\R_-$ donc les images sont rangées dans l'ordre inverse : $(3-2\pi)^2 > (1-\pi)^2$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{résolution d'équations}[1]
Résoudre les équations suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $x^2=8$
\item $x^2=16$
\item $x^2=25$
\item $x^2=54$
\item $2x^2-18=0$
\item $5x^2+1=0$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
x^2=8 &\iff x=-\sqrt8\text{ ou }x=\sqrt8\\
& \iff x = -\sqrt{4\times2}\text{ ou }x=\sqrt{4\times2}\\
& \iff x = -\sqrt4 \times \sqrt2\text{ ou }x=\sqrt4\times\sqrt2\\
& \iff x = -2\sqrt2\text{ ou }x=2\sqrt2.
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'équation $x^2=8$ est donc : $\boxed{S=\left\{-2\sqrt2~;~2\sqrt2\right\}}$.

\item $\begin{aligned}[t]
x^2=16 & \iff x=-\sqrt{16}\text{ ou }x=\sqrt{16}\\
& \iff x = -4\text{ ou }x=4.
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'équation $x^2=16$ est donc : $\boxed{S=\left\{-4~;~4\right\}}$.

\item $\begin{aligned}[t]
x^2=25 & \iff x=-\sqrt{25}\text{ ou }x=\sqrt{25}\\
& \iff x = -5\text{ ou }x=5.
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'équation $x^2=25$ est donc : $\boxed{S=\left\{-5~;~5\right\}}$.

\item $\begin{aligned}[t]
x^2=54 & \iff x=-\sqrt{54}\text{ ou }x=\sqrt{54}\\
& \iff x = -\sqrt{9 \times 6}\text{ ou }x=\sqrt{9 \times 6}\\
& \iff x = -3\sqrt6\text{ ou }x=3\sqrt6.
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'équation $x^2=16$ est donc : $\boxed{S=\left\{-3\sqrt6~;~3\sqrt6\right\}}$.

\newpage

\item $\begin{aligned}[t]
2x^2-18=0 & \iff 2x^2 = 18\\
& \iff x^2 = 9\\
& \iff x=-3\text{ ou }x=3.
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'équation $2x^2-18=0$ est donc : $\boxed{S=\left\{-3~;~3\right\}}$.

\item $\begin{aligned}[t]
5x^2+1=0 & \iff x^2 = -\dfrac{1}{5} \leftarrow \text{impossible car un carré est toujours positif ou nul}.
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'équation $5x^2+1=0$ est donc : $\boxed{S=\varnothing}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{résolution d'inéquations}[1]
Résoudre les inéquations suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $x^2 \geqslant 81$
\item $x^2 < -1$
\item $x^2>-5$
\item $x^2 \leqslant 64$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $x^2 \geqslant 81 \iff \underline{x\in\intervOF{-\infty}{-9}\cup\intervFO{9}{+\infty}}$.
\item $x^2 < -1$. Cette inégalité étant impossible (car un carré est toujours positif ou nul), l'ensemble solution est : $\underline{S=\varnothing}$.
\item $x^2>-5$. Un carré étant toujours positif ou nul, il est toujours plus grand que $-5$ donc l'ensemble solution de l'inéquation est : $\underline{S=\R}$.
\item $x^2 \leqslant 64 \iff \underline{x\in\intervFF{-8}{8}}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{équations}[2]
Résoudre les équations suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $(x+1)^2=5$
\item $(x-3)^2=100$
\item $(2x-1)^2=36$
\item $(5-2x)^2=64$
\item $2(x-1)^2-7=0$
\item $5(x+3)^2+1=0$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $(x+1)^2=5$. Posons $X=x+1$. Alors,
\begin{align*}
(x+1)^2=5 & \iff X^2=5\\
& \iff X=-\sqrt5\text{ ou }X=\sqrt5\\
& \iff x+1=-\sqrt5\text{ ou }x+1=\sqrt5\\
& \iff x=-\sqrt5-1\text{ ou }x=\sqrt5-1.
\end{align*}

L'ensemble solution de l'équation  $(x+1)^2=5$ est donc : $\boxed{S=\left\{-\sqrt5-1~;~\sqrt5-1 \right\}}$.

\item $(x-3)^2=100$. Posons $X=x-3$. Alors,
\begin{align*}
(x-3)^2=100 & \iff X^2=100\\
& \iff X=-10\text{ ou }X=10\\
& \iff x-3=-10\text{ ou }x-3=10\\
& \iff x=-10+3\text{ ou }x=10+3\\
& \iff x=-7\text{ ou }x=13.
\end{align*}

L'ensemble solution de l'équation  $(x-3)^2=100$ est donc : $\boxed{S=\left\{-7~;~13 \right\}}$.

\item $(2x-1)^2=36$. Posons $X=2x-1$. Alors,
\begin{align*}
(2x-1)^2=36 & \iff X^2=36\\
& \iff X=-6\text{ ou }X=6\\
& \iff 2x-1=-6\text{ ou }2x-1=6\\
& \iff 2x=-5\text{ ou }2x=7\\
& \iff x=-\dfrac{5}{2}\text{ ou }x=\dfrac{7}{2}.
\end{align*}

L'ensemble solution de l'équation  $(2x-1)^2=36$ est donc : $$\boxed{S=\left\{-\dfrac{5}{2}~;~\dfrac{7}{2} \right\}}$$

\item $(5-2x)^2=64$. Posons $X=5-2x$. Alors,
\begin{align*}
(5-2x)^2=64 & \iff X^2=64\\
& \iff X=-8\text{ ou }X=8\\
& \iff 5-2x=-8\text{ ou }5-2x=8\\
& \iff -2x=-13\text{ ou }-2x=3\\
& \iff x=\dfrac{13}{2}\text{ ou }x=-\dfrac{3}{2}.
\end{align*}

L'ensemble solution de l'équation  $(5-2x)^2=64$ est donc : $\boxed{S=\left\{-\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{13}{2} \right\}}$.

\item $2(x-1)^2-7=0$. Posons $X=x-1$. Alors,
\begin{align*}
2(x-1)^2-7=0 & \iff 2X^2=7\\
& \iff X^2 = \dfrac{7}{2}\\
& \iff X=-\sqrt{\dfrac{7}{2}}\text{ ou }X=\sqrt{\dfrac{7}{2}}\\
& \iff x-1=-\sqrt{\dfrac{7}{2}}\text{ ou }x-1=\sqrt{\dfrac{7}{2}}\\
& \iff x=-\sqrt{\dfrac{7}{2}}+1\text{ ou }x=\sqrt{\dfrac{7}{2}}+1.
\end{align*}

L'ensemble solution de l'équation  $2(x-1)^2-7=0$ est donc : $$\boxed{S=\left\{1-\sqrt{\dfrac{7}{2}}~;~1+\sqrt{\dfrac{7}{2}} \right\}}$$

\item $5(x+3)^2+1=0 \iff 5(x+3)^2=-1$.

Or, $5>0$ et $(x+3)^2\geqslant0$ donc $5(x+3)^2\geqslant0$, quel que soit $x$.

Ainsi, $5(x+3)^2$ ne peut jamais être égal à $-1$. Donc:$$\boxed{S=\varnothing}$$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{complétions}[2]
Compléter les pointillés.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item Si $x\in\intervFF{5}{8}$ alors $x^2\in\ldots$
\item Si $x\in\intervFO{-4}{-2}$ alors $x^2\in\ldots$
\item Si $x\in\intervOF{-1}{1}$ alors $x^2\in\ldots$
\item Si $x\in\intervOO{-2}{6}$ alors $x^2\in\ldots$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\vspace{-1.5em}

\tcblower


\begin{enumerate}
\item Si $x\in\intervFF{5}{8}$ alors $x^2\in\textcolor{red}{\intervFF{25}{64}}$.

En effet, $5>0$ et $8>0$, et la fonction carré est strictement croissante sur $\R_+$ donc quand on passe aux carrés, l'ordre ne change pas :
\[
5 \leqslant x \leqslant 8 \iff 5^2 \leqslant x^2 \leqslant 8^2.
\]

\item Si $x\in\intervFO{-4}{-2}$ alors $x^2\in\textcolor{red}{\intervOF{4}{16}}$.

En effet, $-4<0$ et $-2<0$, et la fonction carré est strictement décroissante sur $\R_-$ donc quand on passe aux carrés, on change l'ordre :
\[
-4 \leqslant x < -2 \iff (-4)^2 \geqslant x^2 > (-2)^2.
\]

\item Si $x\in\intervOF{-1}{1}$ alors $x^2\in\textcolor{red}{\intervFF{0}{1}}$. On peut le voir sur le graphique suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,xscale=5,yscale=5]
\draw[gray,dashed] (-1,0) grid[step=0.2] (1,1);
\draw[->,thick] (-1,0) -- (1,0);
\draw[->,thick] (0,0) -- (0,1);
\draw[red,line width=3pt,)-*] plot[domain=-1:1.01,samples=70] (\x,{\x*\x});
\foreach\x in {-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}
{
\node[below] at (\x,0) {$\x$};
}
\foreach\y in {0.2,0.4,0.6,0.8,1}
{
\node[left] at (0,\y) {\y};
}
\draw[<->,thick,red] (1.2,0) -- (1.2,1);
\node[text width=2cm,align=center,right,fill=white,text=red,draw=red] (note) at (1.25,0.5) {$x^2$ varie entre 0 et 1.};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Si $x\in\intervOO{-2}{6}$ alors $x^2\in\textcolor{red}{\intervFO{0}{36}}$. On peut le voir sur le graphique suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,xscale=1,yscale=0.2]
\draw[gray,dashed] (-3,0) grid[xstep=1,ystep=5] (7,50);
\draw[->,thick] (-3,0) -- (7,0);
\draw[->,thick] (0,0) -- (0,50);
\draw plot[domain=-3:7,samples=70] (\x,{\x*\x});
\draw[red,line width=3pt,*-(] plot[domain=-2.1:6,samples=70] (\x,{\x*\x});
\foreach\x in {-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}
{
\node[below] at (\x,0) {$\x$};
}
\foreach\y in {5,10,15,20,25,30,35,40,45}
{
\node[left] at (0,\y) {\y};
}
\draw[red,dashed] (-2,4) -- (0,4) node[right] {4};
\draw[red,dashed] (6,36) -- (0,36) node[left,outer xsep=1.5em] {36};
\draw[<->,thick,red] (6.5,0) -- (6.5,36);
\node[text width=2cm,align=center,right,fill=white,text=red,draw=red] (note) at (6.75,18) {$x^2$ varie entre 0 et 36.};
\drawshadow{note}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{déroutant mais pas si difficile que ça}[2]
On pose $f(x)=x^2$. Soient $a$ et $b$ deux réels quelconques. Calculer et simplifier:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\dfrac{1}{2}\Big[f(a+b)-\big(f(a)+f(b)\big)\Big]$
\item $f(a+b)-f(a-b)$
\item $f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f\left(\frac{a-b}{2}\right)$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{1}{2}\Big[f(a+b)-\big(f(a)+f(b)\big)\Big]
& = \dfrac{1}{2}\Big[ (a+b)^2 - \big( a^2+b^2 \big) \Big]\\
& = \dfrac{1}{2}[a^2+2ab+b^2-a^2-b^2]\\
\Aboxed{\dfrac{1}{2}\Big[f(a+b)-\big(f(a)+f(b)\big)\Big] & = ab}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
f(a+b)-f(a-b) & = (a+b)^2-  (a-b)^2\\
& = (a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)\\
& = a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2\\
\Aboxed{f(a+b)-f(a-b) & = 4ab}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f\left(\frac{a-b}{2}\right)
& = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2\\
& = \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}\\
& = \frac{4ab}{4}\text{ (d'après la question précédente)}\\
\Aboxed{f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f\left(\frac{a-b}{2}\right)& = ab}
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

\subsection*{La fonction inverse}

%%%

\begin{exocor}{complétions et ordre}[1]
Compléter les pointillés par l'un des symboles \og $<$ \fg{} et \og $>$ \fg.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\dfrac{1}{2,18}\ldots\dfrac{1}{2,19}$
\item $\dfrac{1}{-\pi} \ldots \dfrac{1}{-4}$
\item $\dfrac{1}{1,718} \ldots \dfrac{1}{1,0817}$
\item $\dfrac{1}{0,04} \ldots \dfrac{1}{0,006}$
\item $\dfrac{1}{-0,78} \ldots \dfrac{1}{-0,77}$
\item $\dfrac{1}{1-\pi} \ldots \dfrac{1}{3-2\pi}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{2,18}\textcolor{red}{>}\dfrac{1}{2,19}$. En effet, $2,18 < 2,19$ et la fonction inverse est strictement décroissante sur $\R*_+$, donc les images sont rangées dans l'ordre inverse.\\

\item $\dfrac{1}{-\pi} \textcolor{red}{<} \dfrac{1}{-4}$. En effet, $-\pi > -4$ et la fonction inverse est strictement décroissante sur $\R*_-$, donc les images sont rangées dans l'ordre inverse.\\

\item $\dfrac{1}{1,718} \textcolor{red}{<} \dfrac{1}{1,0817}$ car $1,718 > 1,0817$ et les images par la fonction inverse sont rangées dans l'ordre inverse des antécédents.\\

\item $\dfrac{1}{0,04} \textcolor{red}{<} \dfrac{1}{0,006}$ car $0,04 > 0,006$.\\

\item $\dfrac{1}{-0,78} \textcolor{red}{>} \dfrac{1}{-0,77}$ car $-0,78 < -0,77$.\\

\item $\dfrac{1}{1-\pi} \textcolor{red}{<} \dfrac{1}{3-2\pi}$ car $1-\pi\approx-2,14$ et $3-2\pi\approx-3,28$, donc $1-\pi>3-2\pi$.
\end{enumerate}
\vspace*{2cm}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{résolution d'équations}[1]
Résoudre les équations suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\dfrac{1}{x}=8$
\item $\dfrac{1}{x}=-16$
\item $\dfrac{1}{x}=0$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{x}=8 \iff \boxed{x=\dfrac{1}{8}}$.\\

\item $\dfrac{1}{x}=-16 \iff \boxed{x = -\dfrac{1}{16}}$.\\

\item $\dfrac{1}{x}=0\leftarrow$ impossible (la courbe représentative de la fonction inverse ne coupe jamais la droite d'équation $y=0$, c'est-à-dire l'axe des abscisses). Donc $\underline{S=\varnothing}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{résolution d'inéquations}[1]
Résoudre les inéquations suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $\dfrac{1}{x} \geqslant 81$
\item $\dfrac{1}{x} < -1$
\item $\dfrac{1}{x}>-5$
\item $\dfrac{1}{x} \leqslant 64$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower


\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{x} \geqslant 81 \iff x \in\intervOF{0}{\dfrac{1}{81}}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[thick,->] (-4,0) -- (4,0);
\draw[thick,->] (0,-4) -- (0,4);
\clip (-4,-4) rectangle (4,4);
\draw plot[domain=-4:-0.1,samples=70] (\x,{1/\x});
\draw plot[domain=0.1:4,samples=70] (\x,{1/\x});
\draw[red,thick] plot[domain=0.1:0.5,samples=70] (\x,{1/\x});
\draw[dashed,orange] (-4,2) -- (4,2);
\node[orange,above left] at (0,2) {$81$};
\draw[dashed,orange] (0.5,2) -- (0.5,0) node[below] {$\frac{1}{81}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $\dfrac{1}{x} < -1 \iff x \in\intervOO{-1}{0}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.8]
\draw[thick,->] (-4,0) -- (4,0);
\draw[thick,->] (0,-4) -- (0,4);
\clip (-4,-4) rectangle (4,4);
\draw plot[domain=-4:-0.1,samples=70] (\x,{1/\x});
\draw plot[domain=0.1:4,samples=70] (\x,{1/\x});
\draw[red,thick] plot[domain=-1:-0.1,samples=70] (\x,{1/\x});
\draw[dashed,orange] (-4,-1) -- (4,-1);
\node[orange,below right] at (0,-1) {$-1$};
\draw[dashed,orange] (-1,-1) -- (-1,0) node[above] {$-1$};
\end{tikzpicture}
\end{center}


\item $\dfrac{1}{x}>-5 \iff x\in\intervOO{-\infty}{-\dfrac{1}{5}}\cup\intervOO{0}{+\infty}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.8]
\draw[thick,->] (-4,0) -- (4,0);
\draw[thick,->] (0,-4) -- (0,4);
\clip (-4,-4) rectangle (4,4);
\draw plot[domain=-4:-0.1,samples=70] (\x,{1/\x});
\draw[thick,red] plot[domain=0.1:4,samples=70] (\x,{1/\x});
\draw[red,thick] plot[domain=-4:-0.5,samples=70] (\x,{1/\x});
\draw[dashed,orange] (-4,-2) -- (4,-2);
\node[orange,below right] at (0,-2) {$-5$};
\draw[dashed,orange] (-0.5,-2) -- (-0.5,0) node[above] {$-\frac{1}{5}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $\dfrac{1}{x} \leqslant 64 \iff x\in\intervOO{-\infty}{0}\cup\intervFO{\dfrac{1}{64}}{+\infty}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.8]
\draw[thick,->] (-4,0) -- (4,0);
\draw[thick,->] (0,-4) -- (0,4);
\clip (-4,-4) rectangle (4,4);
\draw[red,thick] plot[domain=-4:-0.1,samples=70] (\x,{1/\x});
\draw plot[domain=0.1:4,samples=70] (\x,{1/\x});
\draw[red,thick] plot[domain=0.5:4,samples=70] (\x,{1/\x});
\draw[dashed,orange] (-4,2) -- (4,2);
\node[orange,above left] at (0,2) {$64$};
\draw[dashed,orange] (0.5,2) -- (0.5,0) node[below] {$\frac{1}{64}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{résolution d'équations}[2]
Résoudre les équations suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\dfrac{1}{x+1}=5$
\item $\dfrac{1}{x-3}=100$
\item $\dfrac{1}{2x-1}=36$
\item $\dfrac{1}{5-2x}=64$
\item $\dfrac{2}{x-1}-7=0$
\item $\dfrac{5}{x+3}+1=0$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower


\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{x+1}=5$. Posons $X=x+1$. Alors,
\begin{align*}
\dfrac{1}{x+1}=5 & \iff \dfrac{1}{X}=5\\
& \iff X = \dfrac{1}{5}\\
& \iff x+1=\dfrac{1}{5}\\
& \iff x = \dfrac{1}{5}-1 = \dfrac{1}{5}-\dfrac{5}{5}\\
& \iff x = -\dfrac{4}{5}.
\end{align*}

L'ensemble solution de l'équation $\dfrac{1}{x+1}=5$ est donc : $\boxed{S=\left\{ -\dfrac{4}{5}\right\}}$.\\

\item $\dfrac{1}{x-3}=100$. Posons $X=x-3$. Alors,
\begin{align*}
\dfrac{1}{x-3}=100 & \iff \dfrac{1}{X}=100\\
& \iff X = \dfrac{1}{100}\\
& \iff x-3=\dfrac{1}{100}\\
& \iff x = \dfrac{1}{100}+3 = \dfrac{1}{100}+\dfrac{300}{100}\\
& \iff x = \dfrac{301}{100}.
\end{align*}

L'ensemble solution de l'équation $\dfrac{1}{x-3}=100$ est donc : $\boxed{S=\left\{ \dfrac{301}{100}\right\}}$.\\

\item $\dfrac{1}{2x-1}=36$. Posons $X=2x-1$. Alors,
\begin{align*}
\dfrac{1}{2x-1}=36 & \iff \dfrac{1}{X}=36\\
& \iff X = \dfrac{1}{36}\\
& \iff 2x-1=\dfrac{1}{36}\\
& \iff 2x = \dfrac{1}{36}+1\\
& \iff 2x = \dfrac{37}{36}\\
& \iff x = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{37}{36}\\
& \iff x = \dfrac{37}{72}.
\end{align*}

L'ensemble solution de l'équation $\dfrac{1}{2x-1}=36$ est donc : $\boxed{S=\left\{ \dfrac{37}{72}\right\}}$.

\item $\dfrac{1}{5-2x}=64$. Posons $X=5-2x$. Alors,
\begin{align*}
\dfrac{1}{5-2x}=64 & \iff \dfrac{1}{X}=64\\
& \iff X = \dfrac{1}{64}\\
& \iff 5-2x=\dfrac{1}{64}\\
& \iff -2x = \dfrac{1}{64}-5\\
& \iff -2x = \dfrac{-319}{64}\\
& \iff x = \dfrac{319}{128}.
\end{align*}

L'ensemble solution de l'équation $\dfrac{1}{5-2x}=64$ est donc : $\boxed{S=\left\{ \dfrac{319}{128}\right\}}$.

\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{2}{x-1}-7=0 & \iff \dfrac{2}{x-1}=7\\
& \iff \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{1}{7} & \text{(on a inversé les deux membres de l'égalité)}\\
& \iff x-1 = \dfrac{2}{7} & \text{(on a multiplé par deux les deux membres)}\\
& \iff x = \dfrac{2}{7}+1\\
& \iff x = \dfrac{9}{7}.
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'équation $\dfrac{2}{x-1}-7=0$ est donc : $\boxed{S=\left\{ \dfrac{9}{7} \right\}}$.

\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{5}{x+3}+1=0 & \iff \dfrac{5}{x+3}=-1\\
& \iff \dfrac{x+3}{5}=-1\\
& \iff x+3=-5 & \text{(on a multiplié par 5 les deux membres de l'égalité)}\\
& \iff x = -8.
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'équation $\dfrac{5}{x+3}+1=0$ est donc : $\boxed{S=\left\{ -8 \right\}}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{complétions}[2]
Compléter les pointillés.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item Si $x\in\intervFF{5}{8}$ alors $\dfrac{1}{x}\in\ldots$
\item Si $x\in\intervFO{-4}{-2}$ alors $\dfrac{1}{x}\in\ldots$
\item Si $x\in\intervOO{-1}{0}$ alors $\dfrac{1}{x}\in\ldots$
\item Si $x\in\intervOO{0}{7}$ alors $\dfrac{1}{x}\in\ldots$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower


\begin{enumerate}
\item Si $x\in\intervFF{5}{8}$ alors $\dfrac{1}{x}\in\textcolor{red}{\intervFF{\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{5}}}$.

En effet, la fonction inverse étant décroissante sur $\R*_+$, les images sont rangées dans l'ordre inverse : $5 \leqslant x \leqslant 8 \iff \dfrac{1}{5} \geqslant \dfrac{1}{x} \geqslant \dfrac{1}{8}$.

\item Si $x\in\intervFO{-4}{-2}$ alors $\dfrac{1}{x}\in\textcolor{red}{\intervOF{-\dfrac{1}{2}}{-\dfrac{1}{4}}}$.

\item Si $x\in\intervOO{-1}{0}$ alors $\dfrac{1}{x}\in\textcolor{red}{\intervOO{-\infty}{-1}}$. 

\item Si $x\in\intervOO{0}{7}$ alors $\dfrac{1}{x}\in\textcolor{red}{\intervOO{\dfrac{1}{7}}{+\infty}}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{}[2]
On pose $f(x)=\dfrac{1}{x}$. Soient $a$ et $b$ deux nombres non opposés. Calculer et simplifier:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $f(a+b)-f(a-b)$
\item $\dfrac{1}{2}\big[f(a+b)+f(a-b)\big]$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\vspace*{-1.2em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
f(a+b)-f(a-b) & =\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{a-b}\\
& = \dfrac{a-b}{(a+b)(a-b)}-\dfrac{a+b}{(a+b)(a-b)}\\
& = \dfrac{(a-b)-(a+b)}{(a-b)(a+b)}\\
& = \dfrac{a-b-a-b}{a^2-b^2}\\
\Aboxed{f(a+b)-f(a-b) & = \dfrac{-2b}{a^2-b^2}}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{1}{2}\big[ f(a+b)+f(a-b) \big] & =\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a-b}\right]\\
& = \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{a-b}{(a+b)(a-b)}+\dfrac{a+b}{(a+b)(a-b)}\right]\\
& = \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{(a-b)+(a+b)}{(a-b)(a+b)}\right]\\
& = \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{a-b+a+b}{a^2-b^2}\right]\\
\Aboxed{\dfrac{1}{2}\big[f(a+b)+f(a-b)\big] & = \dfrac{a}{a^2-b^2}}
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{exocor}


\subsection*{La fonction cube}

%%% 

\begin{exocor}{complétions et ordre}[1]
Compléter les pointillés par l'un des symboles \og $<$ \fg{} et \og $>$ \fg.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $2,18^3\ldots2,19^3$
\item $(-\pi)^3\ldots(-4)^3$
\item $1,718^3\ldots1,0817^3$
\item $(-0,04)^3\ldots0,006^3$
\item $(-0,78)^3\ldots(-0,77)^3$
\item $(1-\pi)^3\ldots(3-2\pi)^3$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $2,18^3 \textcolor{red}{<} 2,19^3$. En effet, $0<2,18 < 2,19$ et la fonction cube est strictement croissante sur $\R_+$, donc les images sont rangées dans le même ordre.

\item $(-\pi)^3 \textcolor{red}{>} (-4)^3$. En effet, $-4 < -\pi < 0$ et la fonction cube est strictement croissante sur $\R_-$, donc les images sont rangées dans le même ordre : $(-4)^3 < (-\pi)^3$.

\item $1,718^3 \textcolor{red}{>} 1,0817^3$. En effet, $0<1,0817 < 1,718$ et la fonction cube est strictement croissante sur $\R_+$, donc les images sont rangées dans le même ordre.

\item $(-0,04)^3 \textcolor{red}{<} 0,006^3$. En effet, $-0,04<0$ donc $(-0,04)^3<0$ et $0,006> 0$ donc $0,006^3>0$. 

\item $(-0,78)^3  \textcolor{red}{<} (-0,77)^3$. En effet, $-0,78 < -0,77 < 0$ et la fonction cube est strictement croissante sur $\R_-$, donc les images sont rangées dans le même ordre.

\item $(1-\pi)^3 \textcolor{red}{>} (3-2\pi)^3$. En effet, $1-\pi\approx1-3,14\approx-2,14$ et $3-2\pi\approx3-6,28\approx-3,28$ donc $3-2\pi < 1-\pi < 0$. De plus, la fonction cube est strictement croissante sur $\R_-$ donc les images sont rangées dans l'ordre inverse : $(3-2\pi)^3 > (1-\pi)^3$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{complétions}[2]
Compléter les pointillés.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item Si $x\in\intervFF{5}{8}$ alors $x^3\in\ldots$
\item Si $x\in\intervFO{-4}{-2}$ alors $x^3\in\ldots$
\item Si $x\in\intervOF{-1}{1}$ alors $x^3\in\ldots$
\item Si $x\in\intervOO{-2}{6}$ alors $x^3\in\ldots$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\vspace*{-1.2em}

\tcblower


\begin{enumerate}
\item Si $x\in\intervFF{5}{8}$ alors $x^3\in\textcolor{red}{\intervFF{125}{512}}$, où $5^3=125$ et $8^3=512$.

En effet, $5>0$ et $8>0$, et la fonction cube est strictement croissante sur $\R_+$ donc quand on passe aux cubes, l'ordre ne change pas :
\[
5 \leqslant x \leqslant 8 \iff 5^3 \leqslant x^3 \leqslant 8^3.
\]

\item Si $x\in\intervFO{-4}{-2}$ alors $x^2\in\textcolor{red}{\intervFO{-64}{-8}}$.

En effet, $-4<0$ et $-2<0$, et la fonction cube est strictement croissante sur $\R_-$ donc quand on passe aux cubes, on change l'ordre :
\[
-4 \leqslant x < -2 \iff (-4)^3 \leqslant x^3 < (-2)^2.
\]


\item Si $x\in\intervOF{-1}{1}$ alors $x^3\in\textcolor{red}{\intervOF{-1}{1}}$. On peut le voir sur le graphique suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,xscale=3,yscale=3]
\draw[gray,dashed] (-1,-1) grid[step=0.2] (1,1);
\draw[->,thick] (-1,0) -- (1,0);
\draw[->,thick] (0,-1) -- (0,1);
\draw[red,line width=3pt,)-*] plot[domain=-1:1.01,samples=70] (\x,{\x*\x*\x});
\foreach\x in {-1,1}
{
\node[below] at (\x,0) {$\x$};
}
\foreach\y in {-1,1}
{
\node[left] at (0,\y) {\y};
}
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[<->,thick,red] (1.2,-1) -- (1.2,1);
\node[text width=2cm,align=center,right,fill=white,text=red,draw=red] (note) at (1.25,0.5) {$x^3$ varie entre $-1$ et 1.};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Si $x\in\intervOO{-2}{6}$ alors $x^3\in\textcolor{red}{\intervOO{-8}{216}}$, où $(-2)^3=-8$ et $6^3=216$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

\subsection*{La fonction racine carrée}

%%%

\begin{exocor}{complétion et ordre}[1]
Compléter les pointillés par l'un des symboles \og $<$ \fg{} et \og $>$ \fg.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\sqrt{2,18}\ldots\sqrt{2,19}$
\item $\sqrt{(-\pi)^2}\ldots\sqrt{(-4)^2}$
\item $1,718^2\ldots1,0817^2$
\item $\sqrt{(-0,04)^2}\ldots\sqrt{0,006^2}$
\item $\sqrt{(-0,78)^2}\ldots\sqrt{(-0,77)^2}$
\item $\sqrt{(1-\pi)^2}\ldots\sqrt{(3-2\pi)^2}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\vspace*{-1.2em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\sqrt{2,18} \textcolor{red}{<} \sqrt{2,19}$. En effet, $0<2,18 < 2,19$ et la fonction racine carrée est strictement croissante sur $\R_+$, donc les images sont rangées dans le même ordre.

\item $\sqrt{(-\pi)^2} \textcolor{red}{<} \sqrt{(-4)^2}$. En effet, $(-\pi)^2=\pi^2\approx9,9$ et $(-4)^2=16$, donc $(-\pi)^2 < (-4)^2$ et la fonction racine carrée est strictement croissante sur $\R_+$, donc les images sont rangées dans le même ordre.

\item $\sqrt{1,718} \textcolor{red}{>} \sqrt{1,0817}$. En effet, $0<1,0817 < 1,718$ et la fonction racine carrée est strictement croissante sur $\R_+$, donc les images sont rangées dans le même ordre.

\item $\sqrt{(-0,04)^2} \textcolor{red}{>} \sqrt{0,006^2}$. En effet, $(-0,04)^2=0,04^2$ et $0,006<0,04$; de plus,\linebreak $\sqrt{0,04^2}=0,04$ et $\sqrt{0,006^2}=0,006$. Or, on sait que $0,006<0,4$. D'où le résultat.

\item $\sqrt{(-0,78)^2}  \textcolor{red}{>} \sqrt{(-0,77)^2}$. En effet, $\sqrt{(-0,78)^2}=0,78$ et $\sqrt{(-0,77)^2}=0,77$. Or, on sait que $0,77 < 0,78$. D'où le résultat.

\item $\sqrt{(1-\pi)^2} \textcolor{red}{<} \sqrt{(3-2\pi)^2}$. En effet, $1-\pi\approx1-3,14\approx-2,14$ donc $1-\pi<0$, ce qui signifie que $\sqrt{(1-\pi)^2}=\pi-1\approx2,314$.

De plus, $3-2\pi\approx3-6,28\approx-3,28<0$ donc $\sqrt{(3-2\pi)^2}=2\pi-3\approx6,28-3\approx3,28$.

À l'aide des valeurs approchées trouvées précédemment, on peut dire que\linebreak $\pi-1<2\pi-3$. D'où le résultat.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{résolution d'équations}[1]
Résoudre les équations suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\sqrt{x}=8$
\item $\sqrt{x}=16$
\item $\sqrt{x}=25$
\item $\sqrt{x}=54$
\item $2\sqrt{x}-18=0$
\item $5\sqrt{x}+1=0$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\sqrt{x}=8 \iff \big(\sqrt{x}\big)^2=8^2 \iff x = 64$. Donc $\underline{S=\{64\}}$.
\item $\sqrt{x}=16\iff \big(\sqrt{x}\big)^2=16^2 \iff x = 256$. Donc $\underline{S=\{256\}}$.
\item $\sqrt{x}=25\iff \big(\sqrt{x}\big)^2=25^2 \iff x = 625$. Donc $\underline{S=\{625\}}$.
\item $\sqrt{x}=54\iff \big(\sqrt{x}\big)^2=54^2 \iff x = \numprint{2916}$. Donc $\underline{S=\{\numprint{2916}\}}$.
\item $2\sqrt{x}-18=0 \iff 2\sqrt{x}=18 \iff \sqrt{x}=9 \iff x=9^2 \iff x=81$. Donc $\underline{S=\{81\}}$.
\item $5\sqrt{x}+1=0\iff \sqrt{x}=-\dfrac{1}{5}\leftarrow $impossible car une racine carrée est toujours positive ou nulle. Donc \underline{$S=\varnothing$}.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{résolution d'équations}[2]
Résoudre les équations suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\sqrt{x+1}=5$
\item $\sqrt{x-3}=1$
\item $\sqrt{2x-1}=6$
\item $\sqrt{5-2x}=7$
\item $2\sqrt{x-1}-7=0$
\item $5\sqrt{x+3}-1=0$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\sqrt{x+1}=5$. On pose $X=x+1$. Alors,
\begin{align*}
\sqrt{x+1}=5 & \iff \sqrt{X}=5\\
& \iff X = 5^2\\
& \iff x+1 = 25\\
& \iff x = 24.
\end{align*}

On vérifie que $x=24$ vérifie l'égalité : $\sqrt{24+1}=\sqrt{25}=5$, ce qui est ce que nous souhaitons.

\medskip

\underline{L'ensemble solution de l'équation est donc $S=\{24\}$.}

\item $\sqrt{x-3}=1$. On pose $X=x-3$. Alors,
\begin{align*}
\sqrt{x-3}=1 & \iff \sqrt{X}=1\\
& \iff X = 1^2\\
& \iff x-3 = 1\\
& \iff x = 4.
\end{align*}

On vérifie que $x=4$ vérifie l'égalité : $\sqrt{4-3}=\sqrt{1}=1$, ce qui est ce que nous souhaitons.

\medskip

\underline{L'ensemble solution de l'équation est donc $S=\{4\}$.}

\item $\sqrt{2x-1}=6$. On pose $X=2x-1$. Alors,
\begin{align*}
\sqrt{2x-1}=6 & \iff \sqrt{X}=6\\
& \iff X = 6^2\\
& \iff 2x-1 = 36\\
& \iff 2x = 37\\
& \iff x = \dfrac{37}{2}.
\end{align*}

On vérifie que $x=\dfrac{37}{2}$ vérifie l'égalité : $\sqrt{2\times\dfrac{37}{2}-1}=\sqrt{37-1}=\sqrt{36}=6$, ce qui est ce que nous souhaitons.

\medskip

\underline{L'ensemble solution de l'équation est donc $S=\left\{\dfrac{37}{2}\right\}$.}

\item $\sqrt{5-2x}=7$. On pose $X=5-2x$. Alors,
\begin{align*}
\sqrt{5-2x}=7 & \iff \sqrt{X}=7\\
& \iff X = 7^2\\
& \iff 5-2x = 49\\
& \iff -2x = 44\\
& \iff x = -22.
\end{align*}

On vérifie que $x=-22$ vérifie l'égalité : $\sqrt{5-2\times(-22)}=\sqrt{5+44}=\sqrt{49}=7$, ce qui est ce que nous souhaitons.

\medskip

\underline{L'ensemble solution de l'équation est donc $S=\{-22\}$.}

\item $2\sqrt{x-1}-7=0$. On pose $X=x-1$. Alors,
\begin{align*}
2\sqrt{x-1}-7=0 & \iff 2\sqrt{X}=7\\
& \iff X = \dfrac{7}{2}\\
& \iff X = \left(\dfrac{7}{2}\right)^2\\
& \iff x-1 = \dfrac{49}{4}\\
& \iff x = \dfrac{49}{4}+1\\
& \iff x = \dfrac{53}{4}.
\end{align*}

On vérifie que $x=\dfrac{53}{4}$ vérifie l'égalité :
\[
2\sqrt{\frac{53}{4}-1}-7=2\sqrt{\dfrac{49}{4}}-7=2\times\dfrac{7}{2}-7=7-7=0,
\]
ce qui est ce que nous souhaitons.

\medskip

\underline{L'ensemble solution de l'équation est donc $S=\left\{\dfrac{53}{4}\right\}$.}

\item $\begin{aligned}[t]
5\sqrt{x+3}-1=0 & \iff 5\sqrt{x+3}=1\\
& \iff \sqrt{x+3}=\dfrac{1}{5}\\
& \iff x+3=\dfrac{1}{25}\\
& \iff x = \dfrac{1}{25}-3\\
& \iff x = -\dfrac{74}{25}
\end{aligned}$


\underline{L'ensemble solution de l'équation est donc $S=\left\{-\dfrac{22}{25}\right\}$.}
\end{enumerate}

\begin{rem}
Nous ne sommes pas obligés de toujours vérifier l'exactitude de la valeur trouvée, comme je l'ai fait dans les questions 1 à 5. Nous ne sommes pas non plus obligés de poser $X=\cdots$. Dans la question 6, j'ai justement fait autrement pour montrer qu'il est possible d'aller plus vite.

Attention toutefois : il faut tout de même vérifier que la valeur trouvée est possible quand il y a une racine carrée... En effet, si on trouve par exemple $x=-2$ et que l'équation comporte $\sqrt{x-3}$, cette valeur n'est pas possible car $\sqrt{-2-3}=\sqrt{-5}$ n'existe pas! Enfin... pas dans les nombres réels.
\end{rem}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{résolutions d'inéquations}[2]
Résoudre les inéquations suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\sqrt{x} \geqslant 9$
\item $\sqrt{x} < -1$
\item $\sqrt{x}>-5$
\item $\sqrt{x} \leqslant 8$
\item $\sqrt{3x-8}<1$
\item $\sqrt{5-2x}\geqslant2$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\sqrt{x} \geqslant 9 \iff x \geqslant 9^2 \iff x \geqslant 81$. Donc \underline{$S=\intervFO{81}{+\infty}$}.

\item $\sqrt{x} < -1$. Une racine carrée étant toujours positive ou nulle, elle ne peut pas être inférieure à $-1$. Donc il n'y a aucune valeur de $x$ qui vérifie l'inégalité $\sqrt{x}<-1$. D'où \underline{$S=\varnothing$}.

\item $\sqrt{x}>-5$. Cette inégalité est toujours vraie car une racine carrée est toujours positive ou nulle. En revanche, $x$ doit être positif ou nul pour que $\sqrt{x}$ existe. Donc \underline{$S=\intervFO{0}{+\infty}$}.

\item $\sqrt{x} \leqslant 8 \iff 0 \leqslant x \leqslant 8^2$. Donc \underline{$S=\intervFF{0}{64}$}.

\item $\begin{aligned}[t]
\sqrt{3x-8}<1& \iff 0 \leqslant 3x-8 < 1\\
& \iff 8 \leqslant 3x < 9 & \text{en ajoutant 8 à chaque membre}\\
& \iff \dfrac{8}{3} \leqslant x < 3 & \text{en divisant par 3 chaque membre}
\end{aligned}$

L'ensemble solution est donc \underline{$S=\intervFO{\dfrac{8}{3}}{3}$}.

\item $\begin{aligned}[t]
\begin{aligned}[t]
\sqrt{5-2x}\geqslant2 & \iff 5-2x\geqslant4\\
& \iff -2x \geqslant -1\\
& \iff x \leqslant \dfrac{1}{2}.
\end{aligned}
&
\begin{aligned}[t]
\qquad\text{L'ensemble solution est donc:}\\
\underline{S=\intervOF{-\infty}{\dfrac{1}{2}}}.
\end{aligned}
\end{aligned}$

\begin{rem}
On s'assure que $5-2x \geqslant0$ pour $x\in S$ sinon $\sqrt{5-2x}$ n'existe pas.
\end{rem}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{}[3]
On pose $f(x)=\sqrt{x}$.

Montrer que pour tous réels positifs $a$ et $b$, $f(a+b) < f(a)+f(b)$.

\tcblower

Pour tous $a$ et $b$ strictement positifs,
\begin{align*}
f(a)+b) < f(a)+f(b) & \iff  \sqrt{a+b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}\\
& \iff \big(\sqrt{a+b}\big)^2 < \big(\sqrt{a} + \sqrt{b}\big)^2 \textcolor{red}{\text{\small car $x\mapsto x^2$ est strictement croissante sur $\R_+$}}\\
& \iff a+b < \big(\sqrt{a}\big)^2 + 2\sqrt{a}\times\sqrt{b} + \big(\sqrt{b}\big)^2\\
& \iff a+b < a + 2\sqrt{ab} + b\\
& \iff 0 < 2\sqrt{ab}\quad \textcolor{red}{ \leftarrow\text{ ce qui est toujours vrai.}}
\end{align*}

Nous avons raisonné par \textit{équivalences}, ce qui justifie que dans la mesure où \og $2\sqrt{ab}>0$ \fg est toujours vraie, \og $f(a+b)<f(a)+f(b)$ \fg{} l'est aussi.
\end{exocor}


\subsection*{Exercices généraux}

%%%

\begin{exocor}{comparaison de deux nombres}[1]
Comparer $a$ et $b$ dans chacun des cas suivants.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $a=(\pi+1)^3$ et $b=4,5^3$
\item $a=\sqrt{\pi+4}$ et $b=\sqrt7$
\item $a=\dfrac{1}{\pi}$  et $b=\dfrac{1}{3,1}$
\item $a=(\pi-5)^3$ et $b=(\pi-4)^3$
\item $a=\dfrac{1}{-4}$ et $b=\dfrac{1}{\pi-7}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\pi+1\approx3,14+1\approx4,14$ donc $\pi+1<4,5$; ainsi, \underline{$(\pi+1)^3 < 4,5^3$} (la fonction \og cube \fg{} conserve l'ordre de deux nombres).

\item $\pi+4\approx7,14$ donc $\pi+4>7$; ainsi, \underline{$\sqrt{\pi+4}>\sqrt7$} (la fonction \og racine carrée \fg{} conserve l'ordre de deux nombres positifs). 

\item $\pi\approx3,14>3,1$ donc $\boxed{\dfrac{1}{\pi}<\dfrac{1}{3,1}}$ (la fonction \og inverse \fg{} inverse l'ordre de deux nombres de même signe).

\item $\pi-5<\pi-4$ donc \underline{$(\pi-5)^3 < (\pi-4)^3$}.

\item $\pi-7\approx3,14-7\approx-3,86$ donc $\pi-7>-4$; ainsi, $\boxed{\dfrac{1}{-4}>\dfrac{1}{\pi-7}}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{comparaison de deux nombres}[1]
Comparer $a$ et $b$ sans calcul.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $a=(\pi-2)^2$ et $b=1,1^2$
\item $a=\sqrt{\pi-1}$ et $b=\sqrt{2}$
\item $a=\frac{1}{\pi}$ et $b=\frac{\pi^2+1}{\pi}$
\item $a=(\pi-7)^3$ et $b=(\pi-6)^3$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\pi-2\approx1,14>1,1>0$ donc $(\pi-2)^2>(1,1)^2$ car la fonction carré conserve l'ordre de deux nombres positifs.

\item $\pi-1\approx2,14>\sqrt{2}$ donc $\sqrt{\pi-1}>\sqrt2$ car la fonction racine carrée conserve l'ordre de deux nombres positifs.

\item $1<1+\pi^2$ donc $\frac{1}{\pi}<\frac{\pi^2+1}{\pi}$.

\item $\pi-7<\pi-6$ donc $(\pi-7)^3 < (\pi-6)^3$ car la fonction cube conserve l'ordre.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{encadrements} [1]
\begin{enumerate}
\item Encadrer $a^2$, $a^3$ et $\dfrac{1}{a}$ dans chacun des cas suivants/
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $3<a<5$
\item $-2 \leqslant a < -\dfrac{1}{2}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Encadrer $a^2$ dans les cas suivants:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $-\pi \leqslant a \leqslant3$
\item $-\dfrac{6}{7} < a < \dfrac{7}{6}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Si $3<a<5$ alors :
\begin{itemize}
\item $3^2 < a^2 < 5^2$, soit $9 < a^2 < 25$ car 3 et 5 sont tous les deux positifs et la fonction \og carré \fg{} conserve l'ordre sur les nombres positifs ;
\item $3^3 < a^3 < 5^3$, soit $27 < a^3 < 125$ car la fonction \og cube \fg{} conserve l'ordre;
\item $\dfrac{1}{5}<\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{3}$ car la fonction \og inverse \fg{} change l'ordre sur les nombres de mêmes signes.
\end{itemize}

\item Si $-2 \leqslant a < -\dfrac{1}{2}$ alors:
\begin{itemize}
\item $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 < a^2 \leqslant (-2)^2$, soit $\dfrac{1}{4}< a^2 \leqslant 4$;
\item $(-2)^3 \leqslant a^3 < \left(-\dfrac{1}{2}\right)^3$, soit $-8 \leqslant a^3 < -\dfrac{1}{8}$;
\item $\dfrac{1}{-\frac{1}{2}} < \dfrac{1}{a} \leqslant \dfrac{1}{-2}$, soit $-2 < \dfrac{1}{a} \leqslant -2$ (attention aux signes \og $<$ \fg{} et \og $\leqslant$ \fg).
\end{itemize}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Si $-\pi \leqslant a \leqslant3$ alors $3^2 \leqslant a^2 \leqslant (-\pi)^2$, soit \underline{$9 \leqslant a^2 \leqslant \pi^2$}.
\begin{attention}
La fonction \og carré \fg{} inverse l'ordre sur les nombres négatifs. 
\end{attention}

\item Si $-\dfrac{6}{7} < a < \dfrac{7}{6}$ alors $0 \leqslant a < \left(\dfrac{7}{6}\right)^2$, soit $\boxed{0 \leqslant a^2 < \dfrac{49}{36}}$.
\begin{attention}
Ici, $a$ est compris entre un nombre négatif et un nombre positif donc quand on élève au carré, on \og passera \fg{} forcément par \og 0 \fg, donc $a^2$ sera égal à $0^2=0$. \og 0 \fg{} ets donc la valeur minimale atteinte par $a^2$.
\end{attention}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%% 

\begin{exocor}{intersection de courbes}[1]
Montrer que la courbe représentative des fonctions carré et racine carrée se coupent en seulement deux points, dont on donnera les coordonnées.
\vspace*{-1em}

\tcblower


Supposons que la courbe représentative de la fonction carré coupe celle de la fonction racine carrée en au moins un point. Notons alors ce point $I\coord{x}{y}$.

Alors, $y=x^2$ (car $I$ appartient à la courbe représentative de la fonction carré) et $y=\sqrt{x}$  (car $I$ appartient à la courbe représentative de la fonction racine carrée), avec $x\geqslant0$. Ainsi,
\begin{align*}
x^2 = \sqrt{x} & \iff \big(x^2\big)^2 = \big(\sqrt{x}\big)^2\\
& \iff x^4=x\\
& \iff x^4-x=0\\
& \iff x(x^3-1)=0\\
& \iff x=0\text{ ou }x^3-1=0\\
& \iff x=0\text{ ou }x^3=1\\
& \iff x=0\text{ ou }x=1.
\end{align*}

Ainsi, il existe deux points d'intersection :
\begin{itemize}
\item l'un d'abscisse 0, et donc d'ordonnée $y=0^2=0$; c'est l'origine du repère,
\item l'autre d'abscisse 1, et donc d'ordonnée $y=1^2=1$.
\end{itemize}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{intersection de courbes}[1]
Montrer que la courbe représentative des fonctions inverse et racine carrée se coupent en un unique point, dont on donnera les coordonnées.
\vspace*{-1em}

\tcblower

Supposons que la courbe représentative de la fonction inverse coupe celle de la fonction racine carrée en au moins un point. Notons alors ce point $I\coord{x}{y}$.

Alors, $y=\dfrac{1}{x}$ (car $I$ appartient à la courbe représentative de la fonction inverse), avec $x\neq0$, et $y=\sqrt{x}$  (car $I$ appartient à la courbe représentative de la fonction racine carrée), avec $x\geqslant0$. Ainsi,
\begin{align*}
\dfrac{1}{x} = \sqrt{x} & \iff \left(\dfrac{1}{x}\right)^2= \big(\sqrt{x}\big)^2\\
& \iff \dfrac{1}{x^2}=x\\
& \iff \dfrac{1}{x^2}\textcolor{red}{\times\dfrac{1}{x}}
 =x\textcolor{red}{\times\dfrac{1}{x}}\\
& \iff \dfrac{1}{x^3}=1\\
& \iff x^3=1\\
& \iff x=1.
\end{align*}

Ainsi, il n'existe qu'un seul point d'intersection, donc l'abscisse vaut 1 et dont l'ordonnée vaut $y=\sqrt1=1$.
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{intersection de courbes}[1]
Montrer que la courbe représentative des fonctions inverse et carré se coupent en un unique point, dont on donnera les coordonnées.
\vspace*{-1em}

\tcblower

Supposons que la courbe représentative de la fonction inverse coupe celle de la fonction carré en au moins un point. Notons alors ce point $I\coord{x}{y}$.

Alors, $y=\dfrac{1}{x}$ (car $I$ appartient à la courbe représentative de la fonction inverse), avec $x\neq0$, et $y=x^2$  (car $I$ appartient à la courbe représentative de la fonction carré). Ainsi,
\begin{align*}
\dfrac{1}{x} = x^2 & \iff \dfrac{1}{x}\textcolor{red}{\times x}=x^2\textcolor{red}{\times x}\\
& \iff 1=x^3\\
& \iff x=1.
\end{align*}

Ainsi, il n'existe qu'un seul point d'intersection, donc l'abscisse vaut 1 et dont l'ordonnée vaut $y=1^2=1$.
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{équations et inéquations}[1]
\begin{enumerate}
\item Résoudre les équations suivantes:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $x^2=10$
\item $x^3=216$
\item $\sqrt{x}=8$
\item $\dfrac{1}{x}=5$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Résoudre les inéquations suivantes:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $x^2<6$
\item $x^2\geqslant10$
\item $x^3<8$
\item $\sqrt{x}\leqslant4$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $x^2=10 \iff x=-\sqrt{10}\text{ ou }x=\sqrt{10}$

$$\boxed{ S=\left\{-\sqrt{10};\sqrt{10}\right\} }$$

\item $x^3=216 \iff x=\sqrt[3]{216} \iff x = 6$.
$$\boxed{S = \{6\} }$$

\item $\sqrt{x}=8 \iff x = 8^2 \iff x = 64$.

$$\boxed{S = \{64\} }$$

\item $\dfrac{1}{x}=5 \iff x = \dfrac{1}{5}$.

$$\boxed{S = \left\{\dfrac{1}{5}\right\}}$$
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item $x^2<6 \iff -\sqrt6 < x < \sqrt6 \iff \boxed{x\in\intervOO{-\sqrt6}{\sqrt6}}$.

\medskip

\item $x^2\geqslant10 \iff x\leqslant\sqrt{10}\text{ ou }x\geqslant\sqrt{10}\iff \boxed{x\in\intervOF{-\infty}{\sqrt{10}}\cup\intervFO{\sqrt{10}}{+\infty}}$.

\medskip

\item $x^3<8 \iff x < \sqrt[3]{8} \iff x < 2 \iff \boxed{x\in\intervOO{-\infty}{2}}$.

\medskip

\item $\sqrt{x}\leqslant4 \iff 0 \leqslant x \leqslant 4^2 \iff 0\leqslant x \leqslant 16 \iff \boxed{x\in\intervFF{0}{16}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{équations et inéquations}[1]
\begin{enumerate}
\item Résoudre les équations suivantes:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $x^2=7$
\item $x^3=-64$
\item $\sqrt{x}=16$
\item $\dfrac{1}{x}=-\dfrac{2}{7}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Résoudre les inéquations suivantes:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $x^2 < 12$
\item $x^2 \geqslant 7$
\item $x^3 < -1$
\item $\sqrt{x} \leqslant 9$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $x^2=7 \iff x=-\sqrt7\text{ ou }x=\sqrt7$. $\boxed{S=\{-\sqrt7;\sqrt7\}}$

\item $x^3=-64 \iff x=-8$. $\boxed{S=\{-8\}}$

\item $\sqrt{x}=16 \iff x=16^2 \iff x=256$. $\boxed{S=\{ 256 \}}$
\item $\dfrac{1}{x}=-\dfrac{2}{7} \iff x = -\frac{7}{2}$. $\boxed{S=\left\{ -\dfrac{7}{2} \right\}}$
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item $x^2 < 12 \iff -\sqrt{12} < x < \sqrt{12}$. $\boxed{S=\intervOO{-\sqrt{12}}{\sqrt{12}}}$, que l'on peut aussi écrire $\boxed{S=\intervOO{-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}}$

\item $x^2 \geqslant 7 \iff x \leqslant-\sqrt7\text{ ou }x\geqslant\sqrt7$. $\boxed{S=\intervOF{-\infty}{-\sqrt7} \cup \intervFO{\sqrt7}{+\infty}}$

\item $x^3 < -1 \iff x < -1$. $\boxed{S=\intervOO{-\infty}{-1}}$

\item $\sqrt{x} \leqslant 9 \iff 0 \leqslant x \leqslant 81$. $\boxed{S=\intervFF{0}{81}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{encadrements}[2]
\begin{enumerate}
\item Encadrer $a^2$, $a^3$ et $\frac{1}{a}$ dans chacun des cas suivants:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $1 \leqslant a < 2$
\item $-3 \leqslant a < -1$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Encadrer $a^2$ dans chacun des cas suivants:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $-2\pi < a \leqslant 3$
\item $-\dfrac{2}{3} \leqslant a < \dfrac{3}{2}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Encadrer $a^2$, $a^3$ et $\frac{1}{a}$ dans chacun des cas suivants:
\begin{enumerate}
\item $1 \leqslant a < 2$. On a :

\begin{multicols}{3}
$1 \leqslant a^2 < 4$
\columnbreak
$1 \leqslant a^3 < 8$
\columnbreak
$\dfrac{1}{2}< \dfrac{1}{a} \leqslant 1$
\end{multicols}

\item $-3 \leqslant a < -1$. On a:

\begin{multicols}{3}
$1 < a^2 < 9$
\columnbreak
$-27 < a^3 < 1$
\columnbreak
$-1 < \dfrac{1}{a} < -\dfrac{1}{3}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Encadrer $a^2$ dans chacun des cas suivants:
\begin{enumerate}
\item $-2\pi < a \leqslant 3 \iff 0 \leqslant a^2 < 4\pi^2$ 

\item $-\dfrac{2}{3} \leqslant a < \dfrac{3}{2} \iff 0\leqslant a^2 < \dfrac{9}{4}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%% 

\begin{exocor}{}[3]
On considère deux fonctions $f$ et $g$ telles que :
\[
f(x)=2+\sqrt{x}-x\qquad\text{et}\qquad g(x)=x+\dfrac{1}{x}.
\]
\begin{enumerate}
\item Quel est le domaine de définition de $f$ ?
\item Quel est le domaine de définition de $g$ ?
\item Montrer que les courbes représentatives de $f$ et $g$ se coupent au point $A\coord{1}{2}$.
\item Tracer sur une calculatrice les deux courbes, puis en déduire le nombre de points d'intersection de ces deux courbes.
\item En déduire la valeur des solutions de l'équation $f(x)=g(x)$. On donnera une valeur approchée au centième si nécessaire.
\end{enumerate}

\textbf{À partir de là, les questions sont assez compliquées.}

\begin{enumerate}[start=6]
\item Montrer que l'équation $2x^2-2x+1=x\sqrt{x}$ admet les mêmes solutions que l'équation $f(x)=g(x)$.
\item Montrer alors que les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ sont aussi solutions de l'équation $4x^4-9x^3+8x^2-4x+1=0$.
\item On sait que $x=1$ est une solution de cette dernière équation. On peut alors écrire : $4x^4-9x^3+8x^2-4x+1=(x-1)(ax^3+bx^2+xc+d)$.

Trouver les valeurs de $a$, $b$, $c$ et $d$.
\end{enumerate}
\vspace*{-2em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f(x)=\sqrt{x}+2-x$. Le domaine de définition de $x\mapsto\sqrt{x}$ étant $\R_+$ et celui de $x\mapsto 2-x$ étant $\R$, le domaine de définition de $f$ est l'intersection des deux ensembles, c'est-à-dire :
\[
\underline{\mathcal{D}_f=\R_+=\intervFO{0}{+\infty}}.
\]


\item $g(x)=x+\dfrac{1}{x}$. Le domaine de définition de $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ étant $\R*$, celui de $g$ est aussi :\[
\underline{\mathcal{D}_g=\R*=\intervOO{0}{+\infty}\cup\intervOO{0}{+\infty}}.
\]

\item $f(1)=2+\sqrt1-1=2+1-1=2$; donc le point A\coord{1}{2} appartient à la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$.

$g(1)=\dfrac{1}{1}+1=1+1=1$, donc $A\in\mathcal{C}_g$, courbe représentative de $g$.

\medskip

\underline{Par conséquent, les deux courbes se coupent en A.}

\item On trace les deux courbes.

\medskip

On voit alors qu'il y a deux points d'intersection, dont le point $A$.

\begin{center}\shorthandoff{;}
\tikzset{%
	spy using mag glass/.style={%
		spy scope={%
			every spy on node/.style={
				circle,
				fill, 
				fill opacity=0.2, 
				text opacity=1},
			every spy in node/.style={
				magnifying glass, 
				circular drop shadow,
				fill=white, 
				draw, 
				ultra thick, 
				cap=round},
			#1}
	}
}
\begin{tikzpicture}[>=latex,spy using mag glass={magnification=3, size=1cm,connect spies}]
\rep{-5}{-4}{5}{3}
\clip (-5,-4) rectangle (5,3);
\draw[thick,violet] plot[domain=0:5,samples=70] (\x,{2+sqrt(\x)-\x});
\draw[thick,cyan] plot[domain=-5:-0.1,samples=70] (\x,{1/\x+\x});
\draw[thick,cyan] plot[domain=0.1:5,samples=70] (\x,{1/\x+\x});
\spy [blue,size=3cm,<-,>=latex] on (0.85,2) in node[fill=white] at (2.5,-2);
\end{tikzpicture}\shorthandon{;}
\end{center}


\item Le premier point d'intersection a pour abscisse à peu près 0,69. Par conséquent, les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ sont $x\approx0,69$ et $x=2$; ce sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes.

\item $\begin{aligned}[t]
f(x)=g(x) & \iff 2+\sqrt{x}-x=\dfrac{1}{x}+x\\
& \iff \textcolor{red}{x}\big(2+\sqrt{x}-x\big)=\textcolor{red}{x}\left(\dfrac{1}{x}+x\right) & \text{on multiplie par $x\neq0$}\\[-8pt]
& & \text{chaque membre de l'équation}\\
& \iff 2x+x\sqrt{x}-x^2=1+x^2 & \text{on distribue le $x$}\\
& \iff x\sqrt{x}=2x^2-2x+1
\end{aligned}$

Ainsi, les deux équations $f(x)=g(x)$ et $x\sqrt{x}=2x^2-2x+1$ sont équivalentes, ce qui signifie qu'elles sont exactement les mêmes solutions.

\begin{rem}
L'étape où on a multiplié par $x$ les deux membres de l'équation est importante. Ici, nous avons pu faire cela car $x=0$ n'est pas une solution de l'équation $f(x)=g(x)$. Si 0 avait été une solution de l'équation, on aurait tout de même pu multiplié par $x$, mais en posant la condition \og avec $x\neq0$ \fg{} et en transformant l'équivalence (\og $\iff$ \fg) en implication (\og $\Rightarrow$ \fg), ce qui rend la tâche moins évidente, mais possible tout de même. Dans un tel cas, les deux équations n'auraient pas eu exactement les mêmes solutions.
\end{rem}

\item $\begin{aligned}[t]
f(x)=g(x) & \iff x\sqrt{x}=2x^2-2x+1 & \text{d'après la question précédente}\\
& \Longrightarrow \big(x\sqrt{x}\big)^2=\big(2x^2-2x+1\big)^2 \\
& \Longrightarrow x^2 \times x = 4x^4-8x^3+8x^2-4x+1 & \text{d'après la formule}\\
&& (a+b+c)^2 = \\
&&a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\\
& \Longrightarrow 4x^4-9x^3+8x^2-4x+1=0.
\end{aligned}$

\begin{attention}
Dès que nous élevons au carré deux membres d'une équation, nous perdons l'équivalence. Cela signifie que SI $x$ est solution de $f(x)=g(x)$ ALORS $x$ est aussi solution de $4x^4-9x^3+8x^2-4x+1=0$, mais la réciproque est fausse.
\end{attention}

\item Développons :
\begin{align*}
(x-1)(ax^3+bx^2+xc+d) & = ax^4+bx^3+cx^2+dx-ax^3-bx^2-cx-d\\
& = ax^4 + (b-a)x^3 + (c-b)x^2 + (d-c)x - d\\
& = 4x^4-9x^3+8x^2-4x+1\text{ (par hypothèse)}.
\end{align*}

Donc les coefficients de $x^4$ doivent être égaux; de même pour ceux de $x^3$, $x^2$, $x$ et pour le nombre constant :
\[
\begin{cases}
a&=4\\
b-a&=-9\\
c-b&=8\\
d-c&=-4\\
-d=1
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
a=4\\
d=-1\\
b=-9+a=-9+4=-5\\
c=8+b=8-5=3
\end{cases}
\]
Ainsi, 
\[
\underline{4x^4-9x^3+8x^2-4x+1 = (x-1)(4x^3-5x^2+3x-1)}.
\]
\end{enumerate}

\begin{rem}
Le fait d'écrire la dernière équation sous la forme $(x-1)(4x^3-5x^2+3x-1)=0$ est intéressante car pour trouver la solution différente de 1, il suffit de résoudre l'équation $4x^3-5x^2+3x-1=0$. Mais cette équation n'est pas facile à résoudre pour des élèves de lycées. Il existe cependant une méthode, que l'on appelle la \textit{méthode de Cardan}, qui permet de trouver la valeur exacte de la solution qu'il manque, et non une valeur approchée.
\end{rem}

En résumé, nous sommes partis de l'équation $\sqrt{x}+2-x=\dfrac{1}{x}+x$ et comme nous n'avons pas pu trouver de valeur exacte à toutes ses solutions, nous l'avons transformé en l'équation $(x-1)(4x^3-5x^2+3x-1)=0$ en ayant à l'esprit que les solutions de la 1\iere{} équation sont nécessairement dans l'ensemble solution de la seconde (ici, elles sont mêmes identiques). Si nous avons transformé la 1\iere{} équation, c'est dans l'espoir de trouver une équation plus simple à résoudre (ce qui est le cas pour les mathématiciens, mais pas pour les élèves de Seconde).

\medskip

On arrive ainsi à démontrer que la valeur exacte de la seconde solution est... (accrochez-vous...) :
\[
\sqrt[3]{\sqrt{\dfrac{\numprint{5041}}{\numprint{746496}}-\dfrac{\numprint{1331}}{\numprint{2985984}}}+\dfrac{71}{\numprint{1728}}}-\sqrt[3]{\sqrt{\dfrac{\numprint{5041}}{\numprint{746496}}-\dfrac{\numprint{1331}}{\numprint{2985984}}}-\dfrac{71}{\numprint{1728}}}+\dfrac{5}{12}\;,
\]
dont une valeur approchée est \numprint{0,688042944721}.

Je précise que $\sqrt[3]{y}$ est le nombre $x$ tel que $x^3=y$ (c'est l'antécédent de $y$ par la fonction cube).
\end{exocor}



\subsection*{Python}

\begin{exocor}{utilisation de matplotlib}
Le module \texttt{matplotlib} permet de faire des graphiques, notamment des représentations graphiques de courbes (avec la bibliothèque \texttt{matplotlib.pyplot}).

On l'installe en ligne de commande avec la commande :

\begin{console}
pip install matplotlib
ou
conda install matplotlib (sous anaconda)
\end{console}

Effectuer quelques recherches sur le fonctionnement de ce module, puis écrire un programme Python permettant d'afficher les courbes de référence $x\mapsto x$, $x\mapsto\sqrt{x}$ et $x\mapsto x^2$ sur \intervFF{0}{1} comme l'illustration suivante en faisant appel au moins de fonctions possible.

\begin{center}
\includegraphics{fct-ref.png}
\end{center}

\tcblower

Un programme possible est le suivant :

\begin{python}
from matplotlib.pyplot import plot,show,legend

x = [ a/1000 for a in range(0,1001) ]
y1 = [ (a/1000)**0.5 for a in range(0,1001) ]
y2 = [ (a/1000)**2 for a in range(0,1001) ]

plot(x,x,color='blue',label='x')
plot(x,y1,color='orange',label='racine carrée')
plot(x,y2,color='red',label='carré')
legend()
show()
\end{python}

La plupart des exemples que l'on peut trouver sur Internet font appel au module \texttt{numpy}, ce qui est totalement superflu à mon sens ici...  

En effet, pour tracer la courbe représentative d'une fonction $f$, il faut avant tout définir une \textit{plage de données}, c'est-à-dire un intervalle sur lequel les valeurs de $x$ vont varier. Comme je veux tracer mes courbes sur \intervFF{0}{1}, il me faut définit une \textit{liste} (que je vais naturellement nommer \texttt{x}) dont les éléments sont les valeurs de $x$ que je veux prendre. 

Ici, j'ai donc construit ma liste \texttt{x} comme étant la liste des valeurs \texttt{a/1000} pour \texttt{a} = 0, 1, 2, 3, ..., 1000. En effet, il ne faut pas oublier que la fonction \texttt{range(0,1001)} donne tous les entiers de 0 à \numprint{1000}, c'est-à-dire les \numprint{10001} premiers entiers naturels. 

Ainsi, on a :
\begin{console}
x = [ 0 , 0.001 , 0.002 , 0.003 , ... , 0.999 , 1 ]
\end{console}

\newpage

Ensuite, je créé une liste \texttt{y1} qui contient toutes les valeurs de \texttt{(a/1000)**0.5} pour \texttt{a} = 0, 1, 2, ..., 1001. Ici, il ne faut pas oublier que \texttt{b**0.5} représente $\sqrt{b}$. Ainsi, \texttt{y1} ets la liste des images des éléments de la liste \texttt{x} par la fonction $x\mapsto\sqrt{x}$.

De même, \texttt{y2} est la liste des images des éléments de \texttt{x} par la fonction $x\mapsto x^2$.

La ligne 7 trace alors la fonction $x\mapsto x$ en bleu;

la ligne 8 trace la fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ en orange;

la ligne 9 trace la fonction $x\mapsto x^2$ en rouge.

La commande \texttt{legend()} place la légende grâce aux étiquettes (\texttt{label}) renseignés dans les fonctions \texttt{plot}.

La commande \texttt{show()} affiche le graphique.
\end{exocor}

\corriges
