\chapter{Fonctions carrés}

\newpage

\begin{attention}
\textit{Ce chapitre n'est pas explicitement au programme. Je tenais toutefois à le mettre car certain.e.s enseignant.e.s peuvent tout de même parler de fonctions carrés dans leurs cours.}
\end{attention}

\section{Lien avec la fonction carré}

\subsection{Première approche}

On pose $f(x)=x^2$ (la fonction carré).

Cette fonction peut-être modifiée en prenant par exemple pour variable $x-\alpha$, où $\alpha$ est un réel non nul. Dans ce cas, on peut nommer $g$ la fonction ainsi obtenue:
\[
g(x)=f(x-\alpha)=(x-\alpha)^2.
\]
On peut aussi, à partir de la fonction $f$, ajouter une constante et considérer la fonction :
\[
h(x)=f(x)+\beta=x^2+\beta.
\]
On peut aussi multiplier $f(x)$ par une constante $a\neq0$ et obtenir une fonction :
\[
p(x)=ax^2.
\]
Et puis, on peut tout faire en même temps et considérer la fonction:
\[
c(x)=af(x-\alpha)+\beta.
\]
Pour résumer, à partir de la fonction carré, avec les opérations de base que sont l'addition et la multiplication, on peut obtenir d'autres fonctions où intervient $x^2$, mais où il n'est pas seul.

\medskip

Ce sont toutes ces fonctions que l'on appelle les fonctions carrés.

\subsection{Définition}

\begin{defin}
On appelle \textbf{fonctions carrés} toutes les fonctions $f$ de la forme:
\[
f(x)=ax^2+bx+c
\]
où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels, avec $a\neq0$.
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=-x^2+2x-8$ est une fonction carré.
\item $g(x)=3x^2-5$ est une fonction carré.
\item $h(x)=\dfrac{2}{3}x^2-8x$ est une fonction carré.
\end{enumerate}
\end{exemple}


\subsection{Transformations de la fonction carré}

Posons $f(x)=x^2$.

\begin{itemize}
\item La courbe représentative de la fonction $g(x)=f(x-\alpha)$ est obtenue à partir de celle de la fonction $f$ par translation de vecteur $\vv{u}\dbinom{\alpha}{0}$.

\begin{exemple}
$g(x)=f(x-2)=(x-2)^2$: ici, $\alpha=2$ donc on effectue une translation de vecteur $\vv{u}\dbinom{2}{0}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-2}{0}{5}{6}
\draw[thick] plot[domain=-2:5,samples=70] (\x,{\x*\x});
\draw[thick,exemple] plot[domain=-2:5,samples=70] (\x,{(\x-2)^2});
\draw[->,>=latex,thick,violet] (2,4) -- (4,4) node[midway,above] {$\vv{u}$};
\node[left] at (3.3,5.5) {$f(x)$};
\node[left,exemple] at (5.1,4.5) {$g(x)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}

\item La courbe représentative de la fonction $h(x)=f(x)+\beta$ est obtenue à partir de celle de la fonction $f$ par translation de vecteur $\vv{v}\dbinom{0}{\beta}$.

\begin{exemple}
$g(x)=f(x)+2=x^2+2$: ici, $\beta=2$ donc on effectue une translation de vecteur $\vv{v}\dbinom{0}{2}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
\rep{-3}{0}{3}{11}
\draw[thick] plot[domain=-3:3,samples=70] (\x,{\x*\x});
\draw[thick,exemple] plot[domain=-3:3,samples=70] (\x,{\x*\x+2});
\draw[->,>=latex,thick,violet] (2,4) -- (2,6) node[midway,right] {$\vv{v}$};
\node[left] at (3.1,3.5) {$f(x)$};
\node[left,exemple] at (2.8,10.5) {$h(x)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}

\newpage

\item La courbe représentative de la fonction $p(x)=kf(x)$ est obtenue à partir de celle de la fonction $f$ par \og étirement \fg{} (vers le haut si $k>0$ ou vers le bas si $k<0$) car on multiplie par $k$ toutes les images $f(x)$, donc tous les $y$. Cette construction est bien moins simple à faire concrètement que la translation, mais vous n'aurez pas à le faire : c'est juste pour que vous compreniez ce qui va suivre...

\begin{exemple}
$h(x)=1,5f(x)=1,5x^2$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
\rep{-3}{0}{3}{14}
\draw[thick] plot[domain=-3:3,samples=70] (\x,{\x*\x});
\draw[thick,exemple] plot[domain=-3:3,samples=70] (\x,{1.5*\x^2});
\node[left] at (3.1,4.5) {$f(x)$};
\node[left,exemple] at (3,13.5) {$p(x)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}
\end{itemize}

Si on combine ces trois transformations, on obtient une fonction :
\[
c(x)=a(x-\alpha)^2+\beta.
\]

\section{Forme canonique}

\subsection{Définition}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction carré.

La \textbf{forme canonique} de $f$ est :
\[
f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta
\]
où $a\neq0$, $\alpha\in\R$ et $\beta\in\R$.
\end{defin}


\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item $-2(x-1)^2+5$ est la forme canonique d'une fonction carré, où $a=-2$, $\alpha=1$ et $\beta=5$.
\item $\dfrac{1}{3}(x+4)^2$ est la forme canonique d'une fonction carré, où $a=\dfrac{1}{3}$, $\alpha=-4$ et $\beta=0$.
\end{enumerate}
\end{exemple}


\subsection{Variations}

\begin{prop}
Soit $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $a\neq0$.
\begin{itemize}
\item Si $a>0$, on a :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.5,color,colorC=orange!20,colorV=orange!20,colorL=orange!20]{$x$/0.5,Variations de $f$/1.5}{$-\infty$,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/$\beta$,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Si $a<0$, on a :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.5,color,colorC=orange!20,colorV=orange!20,colorL=orange!20]{$x$/0.5,Variations de $f$/1.5}{$-\infty$,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/,+/$\beta$,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{prop}

On voit ainsi que:
\begin{itemize}
\item si $a>0$, $f$ admet un \textbf{minimum} en $x=\alpha$, et ce minimum vaut alors $\beta$;
\item si $a<0$, $f$ admet un \textbf{maximum} en $x=\alpha$, et ce maximum vaut alors $\beta$.
\end{itemize} 

\exercices


%%%

\begin{exocor}{variations}[1]
Donner les variations des fonctions suivantes en dressant leur tableau de variations.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $f(x)=3(x-1)^2+7$
\item $g(x)=-5(x-4)^2-2$
\item $h(x)=\dfrac{1}{2}(x+2)^2-1$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f(x)$ est sous sa forme canonique, avec $a=3$, $\alpha=1$ et $\beta=7$. $a>0$ donc les branches de la parabole représentative de $f$ sont dirigées vers le haut. Le tableau de variations de la fonction $f$ est donc :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.5,color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,Variations de $f$/2}{$-\infty$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/$7$,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $g(x)$ est sous sa forme canonique, avec $a=-5$, $\alpha=4$ et $\beta=-2$. $a<0$ donc les branches de la parabole représentative de $g$ sont dirigées vers le bas. Le tableau de variations de la fonction $g$ est donc :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.5,color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,Variations de $g$/2}{$-\infty$,$4$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/,+/$-2$,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $h(x)$ est sous sa forme canonique, avec $a=\dfrac{1}{2}$, $\alpha=-2$ et $\beta=-1$. $a>0$ donc les branches de la parabole représentative de $h$ sont dirigées vers le haut. Le tableau de variations de la fonction $h$ est donc :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.5,color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,Variations de $h$/2}{$-\infty$,$-2$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/$-1$,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{équations}[1]
Résoudre les équations $f(x)=0$, $g(x)=0$ et $h(x)=0$, où $f$, $g$ et $h$ sont définies dans\linebreak l'exercice \ref{exercice:\thechapter.1}.

\tcblower


\begin{itemize}
\item D'après les variations de la fonction $f$, pour tout réel $x$, $f(x)\geqslant7$ donc il n'existe aucune valeur de $x$ pour laquelle $f(x)=0$.

\medskip

\underline{Ainsi, l'ensemble solution de l'équation $f(x)=0$ est : $S=\varnothing$.}

\item D'après les variations de la fonction $g$, pour tout réel $x$, $g(x)\leqslant-2$ donc il n'existe aucune valeur de $x$ pour laquelle $g(x)=0$.

\medskip

\underline{Ainsi, l'ensemble solution de l'équation $g(x)=0$ est : $S=\varnothing$.} 

\item $\begin{aligned}[t]
h(x)=0 & \iff \dfrac{1}{2}(x+2)^2-1=0\\
& \iff \dfrac{1}{2}(x+2)^2=1\\
& \iff (x+2)^2=2\\
& \iff x+2=-\sqrt2\text{ ou }x+2=\sqrt2\\
& \iff x=-2-\sqrt2\text{ ou }x=-2+\sqrt2.
\end{aligned}$

\underline{Ainsi, l'ensemble solution de l'équation $h(x)=0$ est : $S=\big\{-2-\sqrt2~;~-2+\sqrt2\big\}$.}
\end{itemize}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{point d'intersection avec l'axe des abscisses}[1]
Pour chacune des fonctions $f$, $g$ et $h$ suivantes, trouver l'abscisse des éventuels points d'intersection de leur courbe représentative avec l'axe des abscisses.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $f(x)=4(x+5)^2-16$
\item $g(x)=-5(x-6)^2+10$
\item $h(x)=7(x+8)^2$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{rem}
Trouver l'abscisse des éventuels points d'intersection d'une courbe représentative d'une fonction $f$ avec l'axe des abscisses revient à résoudre l'équation $f(x)=0$.
\end{rem}

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
f(x)=0 & \iff 4(x+5)^2-16=0\\[7pt]
& \iff 4(x+5)^2 = 16\\[7pt]
& \iff (x+5)^2=4\\[7pt]
& \iff x+5=-\sqrt4=-2\text{ ou }x+5=\sqrt4=2\\[7pt]
& \iff x=-2-5=-7\text{ ou }x=2-5=-3
\end{aligned}$

\uline{Ainsi, la courbe représentative de la fonction $f$ coupe l'axe des abscisses en deux points, d'abscisses respectives $x_1=-3$ et $x_2=-7$.}

\item $\begin{aligned}[t]
g(x)=0 & \iff -5(x-6)^2+10=0\\[7pt]
& \iff -5(x-6)^2=-10\\[7pt]
& \iff (x-6)^2=2\\[7pt]
& \iff x-6=-\sqrt2\text{ ou }x-6=\sqrt2\\[7pt]
& \iff x=6-\sqrt2\text{ ou }x=6+\sqrt2.
\end{aligned}$

\uline{Ainsi, la courbe représentative de la fonction $g$ coupe l'axe des abscisses en deux points, d'abscisses respectives $x_1=6-\sqrt2$ et $x_2=6+\sqrt2$.}

\item $\begin{aligned}[t]
h(x)=0 & \iff 7(x+8)^2=0\\[7pt]
& \iff (x+8)^2=0\\[7pt]
& \iff x+8=0\\[7pt]
& \iff x=-8.
\end{aligned}$

\uline{Ainsi, la courbe représentative de la fonction $h$ coupe l'axe des abscisses en un point (le sommet de la parabole), d'abscisse $x=-8$.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{les différentes formes}[1]
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par :
\[
f(x)=9x^2+18x-16.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(x)=9(x+1)^2-25$.
\item Montrer que $f(x)=(3x-2)(3x+8)$.
\item En choisissant la forme la plus adaptée, résoudre les équations suivantes:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $f(x)=0$
\item $f(x)=-25$
\item $f(x)=-16$
\item $f(x)=25$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On développe la forme canonique donnée par l'énoncé :
\begin{align*}
9(x+1)^2-25 & = 9(x^2+2x+1)-25\\
& = 9x^2+18x+9-25\\
& = 9x^2+18x-16\\
& = f(x).
\end{align*}
\underline{Donc $f(x)=9(x+1)^2-25$.}

\item On développe la forme factorisée donnée par l'énoncé:
\begin{align*}
(3x-2)(3x+8) & = (3x)\times(3x)+8\times3x-2\times3x-2\times8\\
& = 9x^2+24x-6x-16\\
& = 9x^2+18x-16\\
& = f(x).
\end{align*}
\underline{Donc $f(x)=(3x-2)(3x+8)$.}

\item 
\begin{enumerate}
\item Pour résoudre l'équation $f(x)=0$, il faut que $f(x)$ soit sous la forme factorisée.
\begin{align*}
f(x)=0 & \iff (3x-2)(3x+8)=0\\
& \iff 3x-2=0\qquad\text{ou}\qquad 3x+8=0\\
& \iff x=\dfrac{2}{3}\qquad\text{ou}\qquad x=-\dfrac{8}{3}.
\end{align*}

\underline{L'ensemble solution de l'équation $f(x)=0$ est donc : $S=\left\{-\dfrac{8}{3}~;~\dfrac{2}{3}\right\}$.}

\item Pour résoudre l'équation $f(x)=-25$, nous allons prendre la forme canonique de $f(x)$ car \og $-25$ \fg{} y apparaît :
\begin{align*}
f(x)=-25 & \iff 9(x+1)^2-25=-25\\
& \iff 9(x+1)^2=0\\
& \iff (x+1)^2=0\\
& \iff x+1=0\\
& \iff x=-1.
\end{align*}
\underline{L'ensemble solution de l'équation $f(x)=-25$ est donc : $S=\{-1\}$.}

\item Pour résoudre l'équation $f(x)=-16$, nous allons prendre la forme développée de $f(x)$ car \og $-16$ \fg{} y apparaît :
\begin{align*}
f(x)=-16 & \iff 9x^2+18x-16=-16\\
& \iff 9x^2+18x=0\\
& \iff 9x(x+2)=0\\
& \iff 9x=0\text{ ou }x+2=0\\
& \iff x=0\text{ ou }x=-2.
\end{align*}
\underline{L'ensemble solution de l'équation $f(x)=-16$ est donc : $S=\{-2~;~0\}$.}

\item Pour résoudre l'équation $f(x)=25$, nous allons prendre la forme canonique. En effet, la forme factorisée ne sert qu'à résoudre les équations de la forme $f(x)=0$, et la forme développée nous donne une équation de la forme $9x^2+18x-16=25$, c'est-à-dire $9x^2+18x-41=0$, que l'on ne peut pas résoudre car $9x^2+18x-41$ ne peut pas se factoriser simplement (pas de facteur commun, et ce n'est pas une identité remarquable).
\begin{align*}
f(x)=25 & \iff 9(x+1)^2-25=25\\
& \iff 9(x+1)^2=50\\
& \iff (x+1)^2=\dfrac{50}{9}\\
& \iff x+1=-\sqrt{\dfrac{50}{9}}\text{ ou }x+1=\sqrt{\dfrac{50}{9}}\\
& \iff x+1=-\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt9}\text{ ou }x+1=\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt9}\\
%& \iff x+1=-\dfrac{\sqrt{25\times2}}{3}\text{ ou }x+1=\dfrac{\sqrt{25\times2}}{3}\\
& \iff x+1=-\dfrac{5\sqrt2}{3}\text{ ou }x+1=\dfrac{5\sqrt2}{3}\\
& \iff x=-1-\dfrac{5\sqrt2}{3}\text{ ou }x=-1+\dfrac{5\sqrt2}{3}.
\end{align*}
\underline{L'ensemble solution de l'équation $f(x)=25$ est donc : $S=\left\{-1-\dfrac{5\sqrt2}{3}~;~-1+\dfrac{5\sqrt2}{3}\right\}$.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{forme développée}[1]
Donner la forme développée des fonctions suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $f(x)=-5(x+3)(4-2x)$
\item $f(x)=2(x+3)^2-7$
\item $f(x)=\dfrac{1}{2}(x-6)^2+\dfrac{3}{2}$
\item $f(x)=3(x-8)(x+1)$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
f(x) & =-5(x+3)(4-2x)\\
& = -5(4x-2x^2+12-6x)\\
& = -5(-2x^2-2x+12)\\
\Aboxed{f(x)&=10x^2+10x-60}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
f(x)&=2(x+3)^2-7\\
& = 2(x^2+6x+9)-7\\
& = 2x^2+12x+18-7\\
\Aboxed{f(x) & =2x^2+12x+11}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
f(x)&=\dfrac{1}{2}(x-6)^2+\dfrac{3}{2}\\
&=\dfrac{1}{2}(x^2-12x+36)+\dfrac{3}{2}\\
& = \dfrac{1}{2}x^2-6x+18+\dfrac{3}{2}\\
\Aboxed{f(x) & = \dfrac{1}{2}x^2-6x+\dfrac{39}{2}}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
f(x)&=3(x-8)(x+1)\\
& = 3(x^2+x-8x-8)\\
& = 3(x^2-7x-8)\\
\Aboxed{f(x) & = 3x^2-21x-24}
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{variations, équation et inéquation}[1]
On considère la fonction $f$ définie sur \R par :
\[
f(x)=9-4(x+3)^2.
\]
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Résoudre l'équation $f(x)=0$.
\item Résoudre l'inéquation $f(x)\geqslant-16$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On peut écrire : $f(x)=-4(x+3)^2+9$, qui est la forme canonique d'une fonction carré, avec $a=-4$, $\alpha=-3$ et $\beta=9$. D'où le tableau de variations suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.5,color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,Variations de $f$/1.5}{$-\infty$,$-3$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/,+/$9$,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $\begin{aligned}[t]
f(x)=0 & \iff 9=4(x+3)^2\\
& \iff \sqrt9=\sqrt{4(x+3)^2}\text{ ou }-\sqrt9=\sqrt{4(x+3)^2}\\
& \iff 2(x+3)=3\text{ ou } 2(x+3)=-3\\
& \iff x+3=\dfrac{3}{2}\text{ ou } x+3=-\dfrac{3}{2}\\
& \iff x=\dfrac{3}{2}-3\text{ ou } x=-\dfrac{3}{2}-3\\
& \iff x=-\dfrac{3}{2}\text{ ou } x=-\dfrac{9}{2}.
\end{aligned}$

\underline{L'ensemble solution de l'équation $f(x)=0$ est donc : $S=\left\{-\dfrac{9}{2}~;~-\dfrac{3}{2}\right\}$.}

\begin{rem}
On aurait aussi pu factoriser $f(x)$:
\begin{align*}
f(x)=0 & \iff 9-4(x+3)^2=0\\
& \iff 3^2 - \big[2(x+3)\big]^2=0\\
& \iff \big[3-2(x+3)\big]\big[3+2(x+3)\big]=0\\
& \iff (3-2x-6)(3+2x+6)=0\\
& \iff (-3-2x)(9+2x)=0\\
& \iff -3-2x=0\text{ ou } 9+2x=0\\
& \iff x=-\dfrac{3}{2}\text{ ou }x=-\dfrac{9}{2}.
\end{align*}
\end{rem}

\bigskip

\item $\begin{aligned}[t]
f(x)\geqslant-16 & \iff -4(x+3)^2+9 \geqslant -16\\
& \iff -4(x+3)^2+25 \geqslant 0\\
& \iff 25 - 4(x+3)^2 \geqslant\\
& \iff 5^2 - \big[2(x+3)\big]^2 \geqslant 0\\
& \iff \big[5-2(x+3)\big]\big[5+2(x+3)\big] \geqslant0\\
& \iff (5-2x-6)(5+2x+6) \geqslant 0\\
& \iff (-2x-1)(2x+11) \geqslant 0
\end{aligned}$

\medskip

Pour résoudre cette dernière inéquation, on dresse le tableau de signes de l'expression\linebreak$(-2x-1)(2x+11)$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3.5,color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$-2x-1$/0.5,$2x+11$/0.5,$(-2x-1)(2x+11)$/0.5}{$-\infty$,$-\frac{11}{2}$,$-\frac{1}{2}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,,+,z,-}
\tkzTabLine{,-,z,+,,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\underline{Ainsi, l'ensemble solution de l'inéquation $f(x)\geqslant-16$ est : $S=\intervFF{-\dfrac{11}{2}}{-\dfrac{1}{2}}$.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{lectures graphiques et forme canonique}[2]
On donne ci-dessous la courbe représentative deux deux fonction $f$ et $g$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-5}{-5}{5}{5}
\draw[cyan,thick] plot[domain=-5:5,samples=70] (\x,{-2*(\x+2)^2+3});
\node[cyan] at (-4.5,-4.5) {$\mathcal{C}_f$};
%
\draw[purple,thick] plot[domain=-5:5,samples=70] (\x,{0.5*(\x-1)^2-2});
\node[purple] at (4,4) {$\mathcal{C}_g$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On sait que $f(x)=a_1(x-\alpha_1)^2+\beta_1$ et $g(x)=a_2(x-\alpha_2)^2+\beta_2$.
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Lire graphiquement les valeurs de $\alpha_1$ et $\beta_1$.
\item Lire graphiquement les coordonnées entières d'un point appartement à $\mathcal{C}_f$, puis en déduire l'expression canonique de $f(x)$.
\end{enumerate}

\item La fonction $g$.
\begin{enumerate}
\item Lire graphiquement les valeurs de $\alpha_2$ et $\beta_2$.
\item Lire graphiquement l'abscisse des points d'intersection de $\mathcal{C}_g$ avec l'axe des\linebreak abscisses.

Déduire alors l'expression canonique de $g(x)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\coord{\alpha_1}{\beta_1}$ sont les coordonnées du sommet de la parabole qui représente graphiquement $f$; donc $\alpha_1=-2$ et $\beta_1=3$.

\item On peut constater que le point de coordonnées \coord{-1}{1} appartient à $\mathcal{C}_f$.

Ainsi, $f(-1)=1$, c'est-à-dire $a_1(-1+2)^2+3=1$ (en remplaçant $x$ par $-1$, $\alpha_1$ par $-2$ et $\beta_1$ par 3.

On en déduit alors que $a_1=1-3=-2$, et donc :
\[
\boxed{f(x)=-2(x+2)^2+3}
\]
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\alpha_2=1$ et $\beta_2=-2$ car le sommet de la parabole représentant $g$ a pour coordonnées \coord{1}{-2}.

\item Les deux points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses ont pour coordonnées \coord{-1}{0} et \coord{3}{0}.

\medskip

On en déduit alors que:
\[
g(-1)=0,\qquad\text{soit:}\qquad a_2(-1-1)^2-2=0,
\]
donc:
\[
4a_2=2 \]
soit:
\[ a_2=\dfrac{1}{2}. \]
Ainsi,
\[
\boxed{g(x)=\dfrac{1}{2}(x-1)^2-2}
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{trouver l'expression de la fonction}[2]
Déterminer l'expression d'une fonction du second degré $f$ dont la courbe représentative admet pour sommet le point $S\coord{-3}{8}$ et coupant l'axe des abscisses eau point $A\coord{2}{0}$.

\tcblower

Posons $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

Si la parabole admet pour sommet $S\coord{-3}{8}$ alors $\alpha=-3$ et $\beta=8$, donc :
\[
f(x)=a(x+3)^2+8.
\]
De plus, si elle passe par le point $A\coord{2}{0}$ alors
\[
f(2)=0\qquad\text{donc}\qquad a(2+3)^2+8=0 \iff a = -\dfrac{8}{25}.
\]
Ainsi,
\[
\boxed{f(x)=-\dfrac{8}{25}(x+3)^2+8}
\]
\end{exocor}

\corriges
