\chapter{\'Echantillonnage}

\begin{attention}
Officiellement, le programme suggère d'aborder la notion d'échantillonnage uniquement à travers des simulations informatiques.

Le cours et les exercices de ce chapitre traitant des intervalles de fluctuation sont donc \textit{hors-programme}.

J'ai toutefois décidé de les garder pour les élèves souhaitant aller au-delà du programme.
\end{attention}

\newpage

\section{Introduction}

Nous allons considérer l'expérience consistant à lancer un dé cubique supposé non truqué.

On pose alors :
\begin{quote}
$A$ : \og obtenir le 1 \fg.
\end{quote}

Nous allons effectuer une simulation de 100 lancers de dé à l'aide d'un tableur.

Ouvrons un tableur et entrons dans la cellule \texttt{A1} la formule suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tableur[2]{A-C}
\celtxt{A}{1}{=ENT(1+6*ALEA())}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{itemize}
\item La fonction \texttt{ALEA()} permet de calculer un nombre aléatoire compris entre 0 (compris) et 1 (non compris) ;
\item \texttt{6*ALEA()} affichera donc un nombre dans l'intervalle \intervFO{0}{6} ;
\item \texttt{1+6*ALEA()} affichera donc un nombre dans l'intervalle \intervFO{1}{7} ;
\item La fonction \texttt{ENT} calcule la partie entière d'un nombre ; donc \texttt{ENT(1+6*ALEA())} affichera un nombre entier parmi : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
\end{itemize}

Maintenant, copions cette formule de \texttt{A2} à \texttt{A100} afin d'obtenir, au final, 100 nombres entiers compris entre 1 et 6.

Dans la cellule \texttt{A101}, entrons la formule :
\begin{center}
\texttt{=NB.SI(A1:A100;1)}
\end{center}

Elle affichera le nombre de \og 1 \fg{} qui apparaissent dans la colonne \texttt{A}.

Ensuite, entrons dans la cellule \texttt{A102} la formule :
\begin{center}
\texttt{=A101/100}
\end{center}

pour afficher la fréquence d'apparition du nombre \og 1 \fg{} dans la colonne \texttt{A}.

\medskip

Copions alors la colonne \texttt{A} dans les colonnes de \texttt{B} à \texttt{BG} afin d'obtenir au final 60 colonnes de nombres.

Ceci simule 60 échantillons de 100 lancers d'un dé cubique (60 échantillons de taille $n=100$).

\medskip

On construit alors un nuage de points représentant les différentes fréquences obtenues.

\medskip

En appuyant sur la touche \texttt{[F9]}, on rafra\^ichit les calculs et on obtient un autre graphique. Voici un des graphiques obtenus :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep=0pt, outer sep=0pt] (img) {\includegraphics[height=60mm]{simulation1.png}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

La fréquence d'apparition théorique du nombre \og 1 \fg{} est la probabilité d'obtenir ce nombre : \[ p=\dfrac{1}{6}\approx0,17.\]

On s'aperçoit alors sur le graphique que les fréquences semblent se regrouper autour de cette valeur. On peut donc imaginer que les fréquences d'apparition du nombre \og 1 \fg{} vont se trouver dans un intervalle centré en $p$ : un intervalle de la forme $I=\intervFF{p-\delta}{p+\delta}$.

Nous allons prendre $\delta=\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{100}}=0,1$. Alors, $I\approx\intervFF{0,066}{0,267}$. 

\medskip

Pour connaître le pourcentage de fréquences comprises dans cet intervalle, insérons dans la cellule \texttt{A103} la formule :
\begin{center}
\texttt{=SI(A102<=0,266;SI(A102>0,067;1;0);0)}
\end{center}
qui affiche \og 1 \fg{} si tel est le cas, et \og 0 \fg{} sinon. Ensuite, copions-la sur toute la ligne 103 jusqu'à \texttt{BH103}.

Dans la cellule \texttt{A104}, insérons la formule :
\begin{center}
\texttt{=SOMME(A103:BH103)/60}
\end{center}
puis formatons cette cellule de sorte à ce qu'elle affiche un pourcentage (en cliquant sur l'icône \og \% \fg) : ceci affichera le pourcentage de fréquences d'apparition du \og 1 \fg{} qui sont dans $I$.

\medskip

En appuyant sur la touche \texttt{[F9]} plusieurs fois, je vois les pourcentages suivants :

\[
\pourcent{100}\qquad;\qquad\pourcent{96,67}\qquad;\qquad\pourcent{98,33}\qquad;\qquad\pourcent{100}\qquad;\qquad\pourcent{100}\qquad;\qquad\pourcent{98,33}.
\]

En utilisant donc cette valeur de $\delta$, nous sommes \textit{a priori} assurés qu'au moins \pourcent{95} des fréquences se trouvent dans $I$.

\section{Intervalle de fluctuation}

\subsection{\'Echantillon}

\begin{defin}
Soit une population dans laquelle on observe un groupe de $n$ individus.

Ce groupe est appelé un \textbf{échantillon de taille $\pmb{n}$} de la population.
\end{defin}

\begin{exemple}
Dans l'expérience précédente, qui consiste à lancer 100 fois un dé cubique, l'échantillon était de taille 100 car on a effectué 100 lancers de dés (que l'on a ensuite répété 60 fois).
\end{exemple}

\newpage

\subsection{Intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95}}

\begin{defin}
On considère une expérience aléatoire dans laquelle on considère un événement $A$ de probabilité $p$. On effectue $n$ fois cette expérience; on note alors $f$ la fréquence d'apparition de l'événement $A$ sur cet échantillon de taille $n$.

Un \textbf{intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95}} de $f$, noté $I_f$, est un intervalle centré en $p$ qui contient $f$ dans un échantillon de taille $n$ avec une probabilité égale à 0,95:
\[
I_f=\intervFF{p-\delta}{p+\delta}\quad(\delta>0)\qquad\text{et}\qquad \text{P}(f\in \text{I}_f)=0,95.
\]
\end{defin}

\begin{prop}
Considérons un échantillon de taille $n$ et posons $p$ la probabilité d'obtenir un résultat précis. Notons $f$ la fréquence d'apparition de ce résultat dans l'échantillon. 

Si $0,2\leqslant p\leqslant0,8$ et $n\geqslant25$, un intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95} est approché par l'intervalle:
\[
I_f=\intervFF{p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}.
\]
\end{prop}

\subsection{Prise de décision}

On utilise les intervalles de fluctuations pour déterminer si l'on peut considérer qu'un événement est \og normal \fg{} ou pas.

\begin{exemple}
On lance 100 fois un dé tétraédrique (4 faces) et on observe que la fréquence d'apparition de la face \og 3 \fg{} est $f=0,32$. On peut donc se demander si le dé n'est pas truqué car la fréquence observé est plus grande que la probabilité  de l'événement, à savoir $p=\dfrac{1}{4}=0,25$.

Un intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95} est :
\[
I_f=\intervFF{0,25-\dfrac{1}{\sqrt{100}}}{0,25+\dfrac{1}{\sqrt{100}}}=\intervFF{0,15}{0,35}.
\]
On constate alors que $f\in I_f$, ce qui nous permet de dire que le dé n'est probablement pas truqué.

\medskip

En revanche, si $f=0,29$ sur \numprint{10000} lancers, l'intervalle de fluctuation devient:
\[
I^\prime_f = \intervFF{0,25-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{10000}}}}{0,25+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{10000}}}}=\intervFF{0,24}{0,26}.
\]
Dans ce cas, $f\not\in I^\prime_f$, ce qui nous permet de dire que le dé est probablement truqué.
\end{exemple}

\exercices

%%%

\begin{exocor}{le dé d'Al}[1]
Al a fabriqué un dé cubique. Il le lance 50 fois et obtient 10 fois la face \og 3 \fg.
\begin{enumerate}
\item Avec un dé équilibré, quelle est la probabilité d'obtenir la face \og 3 \fg{} ?
\item Peut-on utiliser l'intervalle de fluctuation vu en cours pour déterminer si le dé d'Al est équilibré ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item La probabilité d'obtenir la face \og 3 \fg{}avec un dé équilibré est $p=\dfrac{1}{6}$.

\item L'intervalle de fluctuation correspondant à $n=50\geqslant25$ lancers et à $p=\dfrac{1}{6}$ ne peut pas se trouver à l'aide de la formule du cours car $p\notin\intervFF{0,2}{0,8}$.

On ne peut donc pas, avec cette formule, vérifier si le dé d'Al est équilibré.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{le Dédale}[1]
Le Dédale est un labyrinthe d'un parc de loisirs.

D'après les statistiques observées au cours de la première année d'ouverture de cette attraction, le pourcentage de visiteurs ayant mis plus de 5 minutes pour le traverser était de \pourcent{69}.

La seconde année, sur \numprint{1000} visiteurs, le pourcentage de clients ayant mis plus de 5 minutes pour le traverser était de \pourcent{66}.

\medskip

Doit-on s'inquiéter de cette baisse ?

\tcblower

Ici, $n=\numprint{1000}$ et $p=0,69$ (\pourcent{69}).

On a bien $n\geqslant25$ et $0,2\leqslant p\leqslant0,8$. On peut donc utiliser la formule du cours pour déterminer un intervalle de fluctuation du pourcentage de clients ayant mis plus de 5 minutes pour traverser le Dédale :
\[
I_f=\intervFF{p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}=\intervFF{0,69-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1000}}}}{0,69+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1000}}}}\approx\intervFF{0,6584}{0,7216}
\]

$f=0,66\in I_f$ donc la fluctuation du pourcentage ne semble pas anormale.
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{influence de la taille d'un échantillon}[1]
En 2014, selon l'INSEE, la France comptait \pourcent{51,45} de femmes.

À des fins de sondages, un institut souhaite constituer un échantillon représentatif de la population concernant la répartition des genres (hommes/femmes).

\begin{enumerate}
\item Un premier échantillon de \numprint{500} personnes est constitué de \pourcent{55} de femmes.

Est-il représentatif de la France quant à la répartition des genres ?

\item Un second échantillon de \numprint{1000} est constitué de \pourcent{55} de femmes?

Est-il représentatif de la France quant à la répartition des genres ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Ici, $n=500$ et $p=0,5145$. On a bien $n\geqslant25$ et $0,2\leqslant p\leqslant0,8$ donc on peut utiliser la formule du cours pour déterminer un intervalle de fluctuation :
\[
I_f=\intervFF{0,5145-\dfrac{1}{\sqrt{500}}}{0,5145+\dfrac{1}{\sqrt{500}}}\approx\intervFF{0,4678}{0,5592}
\]
$f=0,55\in I_f$ donc l'échantillon peut être considéré comme représentatif de la France concernant la répartition des genres (au risque de se tromper de \pourcent{5}).

\item Ici, $n=\numprint{1000}$ et $p=0,5145$. On a bien $n\geqslant25$ et $0,2\leqslant p\leqslant0,8$ donc on peut utiliser la formule du cours pour déterminer un intervalle de fluctuation :
\[
I_f=\intervFF{0,5145-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1000}}}}{0,5145+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1000}}}}\approx\intervFF{0,4829}{0,5461}
\]
$f=0,55\notin I_f$ donc l'échantillon ne peut pas être considéré comme représentatif de la France concernant la répartition des genres (au risque de se tromper de \pourcent{5}).
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{fourchette de sondage}[1]
Au second tour d'une élection locale, un candidat souhaite savoir s'il a des chances de gagner.

On admettra qu'en théorie, il a une chance sur deux qu'un électeur pris au hasard vote pour lui.

\medskip

Il commande alors un sondage qui rapporte que sur 800 personnes, 387 ont l'intention de voter pour lui.

\begin{enumerate}
\item Donner l'intervalle de fluctuation correspondant à ce sondage.
\item Ce sondage semble-t-il acceptable au seuil de \pourcent{95}?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item L'intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95} se calcule en prenant $n=800$ et $p=0,5$ (probabilité théorique qu'il gagne) :
\[
I_f=\intervFF{0,5-\dfrac{1}{\sqrt{800}}}{0,5+\dfrac{1}{\sqrt{800}}}\approx\intervFF{0,4647}{0,5353}.
\]

\item $f=\dfrac{387}{800}\approx0,48375\in I_f$. Par conséquent, cette observation semble conforme à nos attentes, donc ce sondage semble conforme au seuil de \pourcent{95}.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{taux de réussite au bac}[1]
Dans le lycée Casimir, le taux de réussite au bac est en moyenne égal à \pourcent{79,7}.

\medskip

En 2022, dans ce même lycée, d'après le bac blanc effectué en février, \pourcent{75,1} des 500 élèves de Terminale ont eu une note supérieure ou égale à 10.

\medskip

Le proviseur de ce lycée doit-il sérieusement s'inquiéter ?

\tcblower

Notons $p=0,918$ la probabilité qu'un·e caondidat·e ait son bac.


L'intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95} est, sur la population constituée des 500 élèves :
\[
I=\intervFF{0,797-\frac{1}{\sqrt{500}}}{0,797+\frac{1}{\sqrt{500}}}\approx\intervFF{0,7523}{0,8417}.
\]
\begin{rem}
On arrondit toujours la borne inférieure par excès et la borne supérieure par défaut.
\end{rem}

Le taux d'élèves ayant eu au moins 10 au bac blanc est  \pourcent{75,1}. Or, $0,751\not\in I$ donc le proviseur peut s'inquiéter.
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{recherche de la taille d'un échantillon}[2]
Sur la planète Vailox, on estime à \pourcent{78} la proportion de personnes circulant à deux roues.

Dans un village de $n$ habitants de cette planète, le pourcentage de personnes circulant à deux roues est égal à \pourcent{85} sans que cela soit incohérent avec les statistiques planétaires.

\medskip

Donnez la valeur maximale de $n$.

\tcblower

Ici, $p=0,78$. Donc $0,2\leqslant p\leqslant0,8$. On peut donc utiliser la formule du cours donnant un intervalle de fluctuation :
\[
I_f=\intervFF{0,78-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{0,78+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}.
\]
De plus, $f=0,85\in I_f$ car cette fréquence est dite cohérente avec les statistiques planétaires.

On peut donc déduire :
\begin{align*}
     & 0,85\leqslant0,78+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\\
\iff & 0,85-0,78\leqslant\dfrac{1}{\sqrt{n}}\\
\iff & 0,07\leqslant\dfrac{1}{\sqrt{n}}\\
\iff & \dfrac{1}{0,07}\geqslant\sqrt{n}\\
\iff & n \leqslant \left(\dfrac{1}{0,07}\right)^2\\
\iff & n \leqslant 204,08
\end{align*}

Ainsi, il y a au maximum 204 habitants dans ce village.
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{d'après un exercice SESAMATH 2014}[2]
Double Face, célèbre ennemi de Batman, utilise une pièce fétiche pour choisir s'il doit gracier ou tuer ses ennemis. Spiderman, fan de Batman, a regardé tous les comics et a constaté que la pièce était tombée 117 fois sur la face vie pour 256 lancers.

Clark Kent pense qu'il y a autant de chances à ce tirage de tomber sur la face mort que sur la face vie.

Catwoman, et son esprit vif comme un félin, pense, elle, que Double Face a truqué la pièce pour laisser seulement à ses proies une chance de survie de \pourcent{40}.

Qui de Clark ou de Catwoman peut avoir raison ?

\tcblower

Notons $f=\dfrac{117}{256}\approx 0,457$ la fréquence de faces \og vie \fg{} obtenue.
\begin{itemize}
\item S'il y avait autant de chances d'obtenir l'une ou l'autre des deux faces de la pièce, alors la probabilité théorique d'obtenir la face \og vie \fg{} serait $p=0,5$ et l'intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95} serait :
\[
I_1=\intervFF{0,5-\dfrac{1}{\sqrt{256}}}{0,5+\dfrac{1}{\sqrt{256}}}=\intervFF{0,4375}{0,5625}.
\]
$f\in I_1$ donc la pièce pourrait en effet être équilibrée.

\item Si, au contraire, la pièce n'était pas équilibrée pour ne donner que \pourcent{40} de chances de survie aux proies de Double Face, alors $p=0,4$ et l'intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95} serait :
\[
I_2=\intervFF{0,4-\dfrac{1}{\sqrt{256}}}{0,4+\dfrac{1}{\sqrt{256}}}=\intervFF{0,3375}{0,4625}.
\]
$f\in I_2$ donc la pièce aurait pu aussi être truquée.
\end{itemize}

\textbf{Conclusion :} au seuil de \pourcent{95}, on ne peut pas conclure quant à l'équilibre de la pièce de Double Face.
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{taux de passage en Premières S et ES}[2]
Jusqu'en 2017, dans le lycée Casimir, le taux d'élèves de Seconde souhaitant aller en 1\iere{} S (paix à son âme) était de \pourcent{52}, et celui des élèves souhaitant aller en 1\iere{} ES (paix à son âme aussi) était de \pourcent{36} (reposez en paix, chères 1\iere{} S et 1\iere{} ES).

En 2018, ces taux étaient égaux à \pourcent{45} (pour la 1\iere{} S) et \pourcent{48} (pour la 1\iere{} ES).

\medskip

Quelles devaient être les nombres possibles d'élèves en 2018 pour que ces taux soient\linebreak acceptables au seuil de \pourcent{95} ?

\tcblower

Notons $n$ le nombre d'élèves dans le lycée Casimir.

\begin{itemize}
\item Pour la 1\iere{} S, notons $p_S=0,52$ la probabilité qu'un élève de Seconde souhaite passer dans cette classe et $f=0,45$ la fréquence de ces élèves en 2018.

L'intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95} de cette fréquence est :
\[
I_S=\intervFF{0,52-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{0,52+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}.
\]
On doit alors avoir :
\[
0,52-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \leqslant 0,45 \leqslant 0,52+\dfrac{1}{\sqrt{n}}
\]
soit, en soustrayant 0,52 à chaque membre de cet encadrement :
\[
-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \leqslant -0,07 \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{n}}
\]
ou encore :
\[
\dfrac{1}{\sqrt{n}} \geqslant 0,07
\]
et donc :
\[
\sqrt{n} \leqslant \dfrac{1}{0,07}.
\]
Alors,
\[
n \leqslant \dfrac{1}{0,07^2}
\]
Ainsi, $n\leqslant204$.

\item Pour la 1\iere{} ES, on a l'intervalle suivant :
\[
I_{ES}=\intervFF{0,36-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{0,36+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}
\]
et on doit avoir :
\[
0,36-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \leqslant 0,48 \leqslant 0,36+\dfrac{1}{\sqrt{n}}
\]
soit :
\[
-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \leqslant 0,12 \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{n}}
\]
et en particulier :
\[
\dfrac{1}{\sqrt{n}}\geqslant0,12
\]
donc :
\[
\sqrt{n}\leqslant\dfrac{1}{0,12}
\]
soit $n\leqslant\dfrac{1}{0,12^2}$, soit $n\leqslant69,444$, donc $n\geqslant70$.
\end{itemize}

\uline{Ainsi, le nombre d'élèves de Seconde dans le lycée Casimir doit être compris entre 70 et 204.}
\end{exocor}

%%% 

\newpage
\begin{exocor}{lire un programme Python}[3]
Voici un programme bien mystérieux écrit en Python:
\begin{python}
import random

def success(x):
    if x>0.7:
        return 1
    else:
        return 0

def decision(f,a,b):
    if (f>a) and (f<b):
        return True
    else:
        return False
    
k = 0

n = int(input("Entrez le nombre de simulations : "))

for i in range(0,n):
    x = random.random()
    k += success(x)

a = 0.3-1/(n**0.5)
b = 0.3+1/(n**0.5)
f = k/n

if decision(f,a,b):
    print('Tout est normal.')
else:
    print("Y'a comme qui dirait un bins quelque part...")
\end{python}

Que fait-il ?

\tcblower

Nous allons décortiquer ce programme.

\begin{python*}
import random
\end{python*}

Ici, on importe le module \textit{random}, qui a un lien étroit avec le pseudo-aléatoire (c'est-à-dire l'aléatoire informatique).

\begin{python*}
def success(x):
    if x>0.7:
        return 1
    else:
        return 0
\end{python*}

On définit ici une fonction nommée \textbf{success} qui a un argument : \textit{x}. Si $x>0,7$ alors la fonction renvoie la valeur \og 1 \fg; sinon, elle renvoie \og 0 \fg.

\begin{python*}
def decision(f,a,b):
    if (f>=a) and (f<=b):
        return True
    else:
        return False
\end{python*}

Ici, on définit une fonction nommée \textbf{decision} qui admet 3 arguments : \textit{f}, \textit{a} et \textit{b}. Si $f>a$ ET $f<b$, c'est-à-dire si $f\in\intervFF{a}{b}$ alors la fonction renvoie le booléen \og True \fg{} (vrai); sinon, elle renvoie \og False \fg{} (faux).

Cette fonction teste donc si un nombre $f$ est compris entre deux nombres $a$ et $b$.

\begin{python*}
k = 0
n = int(input("Entrez le nombre de simulations : "))
\end{python*}

On initialise ici deux variables : $k$ (qui prend par défaut la valeur 0) et $n$ (qui est une valeur entière entrée au clavier).

\begin{python*}
for i in range(0,n):
    x = random.random()
    k += success(x)
\end{python*}

Cette boucle s'exécute $n$ fois; à chaque fois, $x$ est un nombre aléatoire compris entre 0 et 1 (la fonction \texttt{random()} du module \textit{random} a cet objectif...

\begin{rem}
Il fallait ici se renseigner en regardant par exemple la documentation du module sur la page :
\begin{center}
\url{https://docs.python.org/3/library/random.html}).
\end{center}
Dans un cas général, quand on a un programme Python dans lequel on ne connaît pas bien le fonctionnement d'un module, il est souhaitable de consulter sa documentation sur le site \url{https://docs.python.org/3/library}.
\end{rem}


Une fois $x$ choisi, on incrémente la variable $k$ de 1 si ce nombre est supérieur à 0,7, et de 0 sinon.

\begin{python*}
a = 0.3-1/(n**0.5)
b = 0.3+1/(n**0.5)
f = k/n
\end{python*}

Tiens tiens... ça me dit quelque chose ces calculs...

$a=0,3-\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ et la borne inférieure de l'intervalle de fluctuation dont nous avons parlé en cours (0,3 étant la probabilité d'obtenir un nombre plus grand que 0,7 si on choisit un nombre au hasard entre 0 et 1). Pour trouver 0,7, on considère le fait qu'entre 1 et 0,7, il y a une différence de 0,3.

Quant à $b$, c'est la borne supérieure.

\[
f=\dfrac{k}{n}=\dfrac{\text{nombre de fois où l'on a obtenu un nombre supérieur à }0,7}{\text{nombre de fois où l'on a simulé l'expérience}}.
\] 

C'est donc la fréquence du nombre de nombres supérieurs à 0,7 obtenus.

\begin{python*}
if decision(f,a,b):
    print('Tout est normal.')
else:
    print("Y'a comme qui dirait un bins quelque part...")
\end{python*}

Il effectue ici un test : si $f\in\intervFF{a}{b}$ alors on affiche que tout est normal; sinon, on affiche qu'il y a un problème.

\medskip

Finalement, ce programme teste la fonction \textbf{random} avec l'intervalle de fluctuation.
\end{exocor}



\corriges
