
\begin{enumerate}
\item On calcule:
\[
\i^3 - 3\i + 4\i = -\i - 3\i + 4\i = 0.
\]
\underline{$\i$ est donc bien une solution de $(E)$.}

\item Développons:
\begin{align*}
(z-\i)(z^2+bz+c) &= z^3 + bz^2 + cz - \i z^2 - b\i z + c\i\\
& = z^3 + (b-\i)z^2 + (c-b\i)z - c\i.
\end{align*}
Ainsi,
\begin{align*}
z^3 - 3z + 4\i = (z-\i)(z^2+bz+c) & \iff z^3-3z+4\i=z^3 + (b-\i)z^2 + (c-b\i)z - c\i\\
& \iff  \begin{cases}
b-\i&=0\\
c-b\i&=-3\\
-c\i&=4\i
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
b=\i\\
c=-4
\end{cases}
\end{align*}
D'où:
\[
(E) \iff (z-\i)(z^2 + \i z - 4)=0.
\]

\item Le discriminant de $z^2 + \i z - 4$ est:
\[
\Delta=b^2-4ac = (\i)^2-4\times(-4) = -1+16 = 15.
\]
Donc ses racines sont:
\[
z_1=\dfrac{-\i+\sqrt{15}}{2}\qquad\text{et}\qquad z_2 = \dfrac{-\i-\sqrt{15}}{2}.
\]
Les solutions de $(E)$ (sous la forme algébrique) sont donc:
\[
\boxed{\i\qquad ; \qquad -\dfrac{\sqrt{15}}{2}-\dfrac{1}{2}\i\qquad ; \qquad \dfrac{\sqrt{15}}{2}-\dfrac{1}{2}\i}
\]
\end{enumerate}
