
Nous allons nous inspirer de ce qui a été fait dans l'exercice permettant d'obtenir $\sqrt\i$.

Cherchons les réels $a$ et $b$ tels que $(a +\i b)^2=-7+24\i$.
\begin{align*}
(a +\i b)^2=-7+24\i & \iff a^2-b^2+2ab\i = -7+24\i\\
& \iff \begin{cases}
a^2-b^2=-7\\
2ab=24
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
a^2-b^2=-7\\
b=\frac{12}{a}
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
a^2-\left(\frac{12}{a}\right)^2=-7\\
b=\frac{12}{a}
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
a^4-144=-7a^2\\
b=\frac{12}{a}
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
a^4+7a^2-144=0\\
b=\frac{12}{a}
\end{cases}
\end{align*}
Considérons l'équation:
\[
a^4+7a^2-144=0\tag{E}
\]
En posant $A=a^2$,
\[
(E)\iff A^2+7A-144=0.
\]
Le discriminant de cette dernière équation est:
\[
\Delta=7^2-4\times(-144)=625=25^2
\]
donc:
\[
A = \dfrac{-7\pm25}{2}\qquad\text{soit}\qquad A=-16\text{ ou }A=9.
\]
Or, $A=a^2\geqslant0$ donc seule $A=9$ est possible, soit $a=\pm3$. Ainsi, $b=\pm\dfrac{12}{3}=\pm4$.

Finalement,
\[
\boxed{\sqrt{-7+24\i} = \pm(3+4\i)}
\]
