
\begin{enumerate}
\item $z_1=1+\i$.

$|z_1| = \sqrt2$. On factorise alors $z_1$ par $\sqrt2$:
\[
z_1 = \sqrt2\left(\dfrac{1}{\sqrt2}+\dfrac{1}{\sqrt2}\i\right)=\sqrt2\left(\dfrac{\sqrt2}{2}+\i\dfrac{\sqrt2}{2}\right).
\]
Un argument $\theta$ de $z_1$ est donc tel que :
\[
\begin{cases}
\cos\theta=\dfrac{\sqrt2}{2}\\[6pt]
\sin\theta=\dfrac{\sqrt2}{2}
\end{cases}
\qquad\text{soit}\qquad\theta=\dfrac{\pi}{4}\quad[2\pi].
\]
Finalement,
\[
\boxed{z_1=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+\i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)}
\]

\item $z_2=2\sqrt3+2\i$.

$|z_2| = \sqrt{\big(2\sqrt3\big)^2+2^2}=\sqrt{12+4}=4.$ Alors,
\[
z_2 = 4\left(\dfrac{2\sqrt3}{4}+\dfrac{2}{4}\i\right) = 4\left(\dfrac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}\i\right).
\]
\[
\theta = \arg(z_2) \iff \begin{cases}
\cos\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\\[6pt]
\sin\theta=\dfrac{1}{2}
\end{cases}
\iff \theta=\dfrac{\pi}{6}\quad[2\pi].
\]
Finalement,
\[
\boxed{ z_2 = 2\sqrt3\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+\i\sin\dfrac{\pi}{6}\right) }
\]

\item $z_3=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt3}{2}\i=\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) + \i\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$.

\begin{rem}
Dans cette question, il n'était pas utile de calculer le module car si on connaît les sinus et cosinus des angles remarquables, on trouve directement un argument. Ici, $\arg(z_3)=-\dfrac{\pi}{3}\quad[2\pi]$.
\end{rem}

\item $z_4=-2+2\i$.

$|z_4|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt2$. Alors,
\[
z_4=2\sqrt2\left(-\frac{2}{2\sqrt2}+\frac{2}{2\sqrt2}\i\right)=2\sqrt2\left(-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2} \right).
\]
\[
\theta=\arg(z_4) \iff
\begin{cases}
\cos\theta=-\dfrac{\sqrt2}{2}\\[6pt]
\sin\theta=\dfrac{\sqrt2}{2}
\end{cases}
\iff \theta=\frac{3\pi}{2}\quad [2\pi].
\]
Finalement,
\[
\boxed{ z_4 = 2\sqrt2\left[ \cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + \i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right] }
\]
\end{enumerate}
