
\begin{enumerate}
\item  $z=\cos\dfrac{\pi}{3}+\i\sin\dfrac{\pi}{3}$ et $z'=\cos\dfrac{\pi}{4}-\i\sin\dfrac{\pi}{4}=\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+\i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$.

Ainsi, $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{12}$.

De plus, $|z|=|z'|=1$ donc $|zz'|=1$.

Finalement,
\[
\boxed{zz'=\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)+\i\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)}.
\]

\item $z=\cos\dfrac{\pi}{3}+\i\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\i$.

$z'=\cos\dfrac{\pi}{4}-\i\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\i$.

Par conséquent,
\begin{align*}
zz'&  = \left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\i \right)\left( \dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\i \right)\\
& = \dfrac{\sqrt2}{4}-\dfrac{\sqrt2}{4}\i+\dfrac{\sqrt6}{4}\i +\dfrac{\sqrt6}{4}\\
\Aboxed{zz' & = \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4} + \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\i}
\end{align*}

\item Des questions précédentes, on déduit:
\[
zz'=\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)+\i\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4} + \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\i\]
et donc:
\[
\boxed{\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}}\qquad\text{et}\qquad\boxed{\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}}
\]
\end{enumerate}
\begin{rem}
On voit ici l'une des grandes applications des nombres complexes: obtenir des valeurs exactes d'angles non remarquables.
\end{rem}
