
Le polynôme $z^2+z+1$ a pour discriminant:
\[
\Delta = -3
\]
donc ses racines sont:
\[
-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\i = \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) + \i\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)
=\e^{\frac{2\pi}{3}\i}
\]
et son conjugué:
\[
-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt3}{2}\i = \cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) + \i\sin\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)
=\e^{-\frac{2\pi}{3}\i}.
\]
Or, par définition, $\j$ est une racine de ce polynôme: c'est celle dont la partie imaginaire est strictement positive, donc $\j=\e^{\frac{2\pi}{3}\i}$.

\medskip

Ainsi, l'autre racine correspond à $\bar{\j}$, ce qui justifie que $\bar{\j}\;^2 + \bar{\j} + 1 = 0$.
