
Posons $z=\e^{\i\theta}$. En effet, $z^3=1 \iff |z|^3=1 \iff |z|=1$.

Alors,
\[
z^3 = 1 \iff \e^{3\i\theta}=\e^{\i(0+2k\pi)},\ k\in\Z \iff \theta = \dfrac{2k\pi}{3},\ k\in\Z.
\]
\begin{itemize}
\item Si $k=3p$, $p\in\Z$, $z=\e^{\i\times2p\pi}=1$;
\item si $k=3p+1$, $z=\e^{\i\left(\tfrac{2\pi}{3}+2p\pi\right)}=\e^{\tfrac{2\i\pi}{3}}=\j$;
\item si $k=3p+2$, $z=\e^{\i\left(\tfrac{4\pi}{3}+2p\pi\right)}=\e^{\tfrac{4\i\pi}{3}}=\e^{-\tfrac{2\i\pi}{3}}=\bar{\j}$.
\end{itemize}
Finalement, il n'y a que trois complexes dont le cube est égal à 1: 1, $\j=\e^{\tfrac{2\i\pi}{3}}$ et $\bar{j}=\e^{-\tfrac{2\i\pi}{3}}$ (rencontrés dans l'exercice \ref{exercice:\thechapter.19}).
