
Nous allons ici avoir besoin du binôme de Newton, et plus particulièrement du développement:
\[
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.
\]
\begin{align*}
\cos^3(x) & = \left( \dfrac{\e^{\i x} + \e^{-\i x}}{2} \right)^3\\
& = \dfrac{\e^{3\i x} + 3\e^{2\i x}\e^{-\i x} + 3\e^{\i x}\e^{-2\i x} + \e^{-3\i x}}{8}\\
& = \dfrac{1}{4}\left[ \dfrac{\e^{3\i x} + \e^{-3\i x}}{2} + 3\dfrac{\e^{\i x}+\e^{-\i x}}{2} \right]\\
\cos^3(x) & = \dfrac{1}{2}\big[ \cos(3x) + 3\cos(x) \big]\\
\Aboxed{\cos^3(x) & = \dfrac{1}{2} \cos(3x) + \dfrac32\cos(x)}
\end{align*}
