
Nous allons ici avoir besoin du binôme de Newton, et plus particulièrement du développement:
\[
(a-b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5.
\]
\begin{align*}
\sin^5(x) & = \left( \dfrac{\e^{\i x} - \e^{-\i x}}{2\i} \right)^5\\
& = \dfrac{\e^{5\i x} - 5\e^{4\i x}\e^{-\i x} + 10\e^{3\i x}\e^{-2\i x} - 10\e^{2\i x}\e^{-3\i x} + 5\e^{\i x}\e^{-4\i x} - \e^{-5\i x}}{32\i}\\
& = \dfrac{1}{16}\left[ \dfrac{\e^{5\i x} - \e^{-5\i x}}{2\i} - 5\dfrac{\e^{3\i x} - \e^{-3\i x}}{2\i} + 10\dfrac{\e^{\i x} - \e^{-\i x} }{2\i} \right]\\
& = \dfrac{1}{16}\big( \sin(5x) - 5\sin(3x) + 10\sin(x) \big)\\
\Aboxed{ \sin^5(x) & = \dfrac{1}{16}\sin(5x) - \dfrac{5}{16}\sin(3x) + \dfrac{5}{8}\sin(x) }
\end{align*}
