
Par définition,
\[
z_n = (\cos0+\i\sin0) + \big(\cos(x)+\i\sin(x)\big) + \cdots + \big(\cos(nx)+\i\sin(nx)\big) = \sum_{k=0}^n \e^{k\i x}.
\]
On va ici utiliser la formule:
\[
1+q+q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}\quad,\quad q\neq1.
\]

Ainsi,
\begin{align*}
z_n & = \dfrac{\e^{(n+1)\i x}-1}{\e^{\i x}-1}\\[16pt]
& = \dfrac{ \e^{(n+1)\i\tfrac{x}{2}} \Big[ \e^{(n+1)\i\frac{x}{2}} - \e^{-(n+1)\i\frac{x}{2}} \Big] }{\e^{\i\frac{x}{2}}\Big[\e^{\i\frac{x}{2}} - \e^{-\i\frac{x}{2}} \Big]}\\[16pt]
& = \e^{n\i \tfrac{x}{2}}\times\dfrac{\cancel{2\i}\sin\big[(n+1)\tfrac{x}{2}\big]}{\cancel{2\i}\sin\tfrac{x}{2}}
\end{align*}

Par conséquent,
\[
C_n=\Re(z_n) = \cos\left(n\frac{x}{2}\right)\dfrac{\sin\big[(n+1)\tfrac{x}{2}\big]}{\sin\tfrac{x}{2}}
\]
et
\[
S_n=\Im(z_n) = \sin\left(n\frac{x}{2}\right)\dfrac{\sin\big[(n+1)\tfrac{x}{2}\big]}{\sin\tfrac{x}{2}}.
\]
