
$P(z) = \dfrac{1}{2}z^3 + 5z +\dfrac{11}{2}$ donc:
\[
P(-1) = \dfrac{1}{2}\times(-1)^3 + 5\times(-1) +\dfrac{11}{2} =- \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}= 0.
\]
On en déduit alors que:
\[
P(z) = (z-(-1))(az^2+bz+c) = (z+1)(az^2+bz+c) .
\]
En développant, on trouve:
\[
P(z) = az^3 + (a+b)z^2 + (b+c)z + c.
\]
En identifiant les coefficients, on a:
\[
\begin{cases}
a & = \frac{1}{2}\\
a+b & = 0\\
b+c & = 5\\
c&=\frac{11}{2}
\end{cases}
\qquad\text{soit}\qquad\begin{cases}
a=\frac{1}{2}\\
b=-\frac{1}{2}\\
c = \frac{11}{2}
\end{cases}
\]
Ainsi,
\[
P(z)=(z+1)\left(\frac{1}{2}z^2-\frac{1}{2}z+\frac{11}{2}\right).
\]
Le discriminant de $\frac{1}{2}z^2-\frac{1}{2}z+\frac{11}{2}$ est:
\[
\Delta = -\frac{43}{4}
\]
donc ses racines complexes sont:
\[
z_1=\dfrac{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{43}}{2}}{2\times\frac{1}{2}}\i=\frac{1}{2}-\i\frac{\sqrt{43}}{2}\qquad\text{et}\qquad z_2=\overline{z_1}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{43}}{2}\i.
\]
Les solutions de l'équation $P(z)=0$ sont donc $-1$, $z_1$ et $z_2$.
