
\[
z^4 + 3z^3 - z - 3 = 0.\tag{E}
\]
\begin{enumerate}
\item En remplaçant $z$ par $-3$ dans le membre de gauche de $(E)$, on obtient:
\begin{align*}
(-3)^4 + 3(-3)^3 - (-3) - 3 & = 81 - 81 + 3 - 3\\
& = 0.
\end{align*}
Ainsi, $-3$ est bien solution de $(E)$.

\medskip

On peut alors en déduire que:
\[
z^4 + 3z^3 - z - 3 = (z+3)Q(z).
\]
\begin{rem}
On pouvait aussi le voir en écrivant:
\[
z^4 + 3z^3 - z - 3 = z^3(z+3) - (z+3) = (z+3)(z^3-1).
\]
\end{rem}

\item Cette question, consistant à trouver nous-même une solution de $(E)$, nous pousse à nous dire qu'il en existe une évidente. Commençons donc par remplacer $z$ par $1$:
\begin{align*}
1^4 + 3\times1^3 - 1 - 3 & = 1 +3 -1 - 3\\
& = 0.
\end{align*}
Donc $1$ est solution de $(E)$.
\begin{rem}
On pouvait aussi s'aider de la factorisation trouvée dans la remarque précédente:
\[
z^4 + 3z^3 - z - 3 = 0 \iff (z+3)(z^3-1)=0
\]
Une valeur de $z$ qui annule le second facteur est $z=1$.
\end{rem}

\item D'après la remarque précédente, on sait que $z^4 + 3z^3 - z - 3 = (z+3)(z^3-1)$. De plus,
\[
1+z+z^2 = \dfrac{z^3-1}{z-1}
\]
donc:
\[
z^4 + 3z^3 - z - 3 = (z+3)(z-1)(z^2+z+1).
\]

\medskip

Les racines de $z^2+z+1$ sont $\j=\e^{\frac{2\i\pi}{3}}$ et $\bar{\j}=\e^{-\frac{2\i\pi}{3}}=\e^{\frac{4\i\pi}{3}}=\j^2$.

\medskip

Ainsi, les solutions de l'équation $(E)$ sont:
\[
-3\,;\, 1\,;\, \j\,;\, \j^2.
\]
\end{enumerate}
