
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
(a+\i b)^2 = -15 + 8\i & \iff a^2-b^2 + 2ab\i = -15 + 8\i\\
& \iff \begin{cases}
a^2-b^2 & = -15\\
2ab & = 8
\end{cases}
\end{aligned}$

De la seconde égalité, on peut écrire:
\[
b = \frac{4}{a}
\]
et déduire, à partir de la première:
\[
a^2-\frac{16}{a^2}=-15 \iff a^4 + 15a^2 - 16 = 0.
\]
En posant $x=a^2$, on a: $x^2+15x-16=0$, de racine évidente $x_1=1$ et donc de seconde racine $x_2=\frac{c}{a}=-16$.

Ainsi, $a^2=1$, soit $a=1$ ou $a=-1$, ou $a^2=16$, soit $a=4$ ou $a=-4$.

\begin{itemize}
\item Si $a=1$, $b=4$; dans ce cas, $(a+\i b)^2=(1+4\i)^2=-15+8\i$.
\item Si $a=-1$, $b=-4$; dans ce cas, $(a+\i b)^2=(-1-4\i)^2=-15+8\i$.
\item Si $a=4$, $b=1$; dans ce cas, $(a+\i b)^2 = (4+\i)^2=15+8\i$.
\item Si $a=-4$, $b=-1$; dans ce cas, $(a+\i b)^2 = (-4-\i)^2=15+8\i$.
\end{itemize}

Nous voyons alors qu'il n'y a que deux possibilités: $1+4\i$ et $-1-4\i$.

\item Le discriminant de $2z^2-3z+3-\i$ est:
\[
\Delta= (-3)^2-4\times2\times(3-\i) = 9-24+8\i=-15+8\i.
\]
Les deux solutions complexes de $(E)$ sont alors:
\[
z_1=\dfrac{3-\sqrt{-15+8\i}}{4} \qquad\text{et}\qquad z_2 = \dfrac{3+\sqrt{-15+8\i}}{4}.
\]
Or, $(1+4\i)^2=-15+8\i$ et $(-1-4\i)^2=-15+8\i$ donc $\sqrt{-15+8\i}=1+4\i$ et\linebreak $\sqrt{-15+8\i}=-1-4\i$.
\begin{itemize}
\item Si $\sqrt{-15+8\i}=1+4\i$,
\[
z_1=\dfrac{3-(1+4\i)}{4}=\dfrac{2-4\i}{4}=\dfrac{1}{2}-\i\qquad\text{et}\qquad
z_2 = \dfrac{3+(1+4\i)}{4}=1+\i.
\]

\item Si $\sqrt{-15+8\i}=-1-4\i$,
\[
z_1=\dfrac{3-(-1-4\i)}{4}=1+\i\qquad\text{et}\qquad
z_2 = \dfrac{3+(-1-4\i)}{4}=\dfrac{1}{2}-\i.
\]
\end{itemize}
Finalement, les deux solutions de $(E)$ sont $1+\i$ et $\dfrac{1}{2}-\i$.
\end{enumerate}
