
On a :
\[
\frac{b}{a}=\j\qquad\text{donc}\qquad\arg\left(\frac{b}{a}\right)=\frac{2\pi}{3}\text{ et }|a|=|b|.
\]
Par conséquent, $\angleor{OA}{OB}=\dfrac{2\pi}{3}$ et $OA=OB$.

Le triangle $OAB$ est donc isocèle en $O$ et $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=\dfrac{1}{2}\left(\pi-\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\pi}{6}$.

De plus,
\[
\frac{c}{b}=\j\qquad\text{donc}\qquad\arg\left(\frac{c}{b}\right)=\frac{2\pi}{3}\text{ et }|c|=|b|.
\]
Par conséquent, $\angleor{OB}{OC}=\dfrac{2\pi}{3}$ et $OC=OB$.

Le triangle $OBC$ est donc isocèle en $O$ et $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}=\dfrac{1}{2}\left(\pi-\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\pi}{6}$.

\medskip

Ainsi,
\[
\widehat{ABC}=\widehat{ABO}+\widehat{OBC}=\dfrac{\pi}{3}.
\]
On démontre de même que $\widehat{BCA}=\dfrac{\pi}{3}$.

\medskip

Le triangle $ABC$ est donc équilatéral.

\begin{rem}
Avec les données $OA=OB=OC$ et $\angleor{OA}{OB}=\angleor{OB}{OC}=\dfrac{2\pi}{3}$, on peut aussi conclure que $ABC$ est équilatéral.
\end{rem}
