
\begin{enumerate}
\item On sait que $1+\j+\j^2=0$ (par définition de $\j$), ce qui équivaut à dire que $\j^2=-1-\j$.

\item Par hypothèse, $a+b\j+c\j^2 = 0$. D'après la question précédente, cela revient à écrire:
\[
a+b\j+c(-1-\j) = 0\quad\text{soit:}\quad a-c + (b-c)\j=0\quad\text{ou encore:}\quad \j=-\dfrac{a-c}{b-c}.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
\arg(\j) = \arg\left(-\dfrac{a-c}{b-c}\right)
&  \iff \dfrac{2\pi}{3}=\pi+\arg\left(\dfrac{a-c}{b-c}\right)\\
& \iff \arg\left(\dfrac{a-c}{b-c}\right) = \dfrac{\pi}{3}\\
& \iff \angleor{CB}{CA}=\dfrac{\pi}{3}.
\end{align*}
De plus, $\left|\dfrac{a-c}{b-c}\right|=|\j|=1$ donc $AC=BC$.

On en déduit alors que $ABC$ est isocèle en $C$ et comme $\angleor{CB}{CA}=\dfrac{\pi}{3}$, il est équilatéral.
\end{enumerate}
