
\begin{enumerate}
\item \begin{itemize}
\item $|a| = \sqrt{\sqrt3^2+(-1)^2}=\sqrt{4}=2$.

$a = 2\left(\dfrac{\sqrt3}{3}-\dfrac{1}{2}\i\right) =  2\left[\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+\i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right]= 2\e^{-\i\frac{\pi}{6}}$.

Donc $\arg(a)=-\dfrac{\pi}{6} \quad [2\pi]$.

\item $|b| = \sqrt{(-\sqrt3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{12}=2\sqrt3$.

$b = 2\sqrt3\left(-\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt3}{2}\i\right) = 2\sqrt3\e^{-\frac{2\i\pi}{3}}$.

Donc $\arg(b)=-\dfrac{2\pi}{3}\quad [2\pi]$.

\item $|g| = \dfrac{4|b|}{3\sqrt3|a|} = \dfrac{4\times2\sqrt3}{3\sqrt3\times2} = \dfrac{4}{3}$.

$\begin{aligned}[t]
\arg(g) & = \arg\left(\dfrac{4b}{3\sqrt3a}\right) \\
& =\arg(4b) - \arg(3\sqrt3a) \\
& =\arg(b)-\arg(a) \\
& =-\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}\\
\arg(g) & =-\dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]
\end{aligned}$.
\end{itemize}

\item $|a| \neq |b|$ donc $OAB$ n'est pas isocèle en $O$, ni équilatéral.

De plus, nous avons vu précédemment que $\arg\left(\dfrac{b}{a}\right)=-\dfrac{\pi}{2}$.

Par conséquent, $\angleor{OA}{OB}=-\dfrac{\pi}{2}$, ce qui signifie que $OAB$ est rectangle en $O$.

\item $I$ est le milieu de $[AB]$ donc son affixe est:
\[
z_I = \dfrac{a+b}{2}=-2\i.
\]

D'après la question précédente,
\[
g=\dfrac{4}{3}\e^{-\frac{\i\pi}{2}}=-\dfrac{4}{3}\i.
\]
Par conséquent, $I$ et $G$ appartiennent à l'axe des imaginaires; $O$, $I$ et $G$ sont donc alignés.

\item Calculons:
\[
\dfrac{a+b+0}{3}=-\dfrac{4}{3}\i=g.
\]
Donc $G$ est bien le centre de gravité du triangle $OAB$.

\begin{rem}
On n'oublie pas que le centre de gravité d'un triangle $ABC$, où $a$, $b$ et $c$ sont les affixes respectives de $A$, $B$ et $C$, a pour affixe $\dfrac{a+b+c}{3}$.
\end{rem}
\end{enumerate}
