
\begin{enumerate}
\item Les racines quatrièmes de l'unité sont : 1, $-1$, $\i$ et $-\i$.

On connaît une racine quatrième particulière de $-1$ : $z_0=\e^{\i\frac{\pi}{4}}$ car $\left(\e^{\i\frac{\pi}{4}}\right)^4=\e^{\i\pi}=-1$.

Les racines quatrièmes de $-1$ sont obtenues en multipliant les racines quatrièmes de l'unité par $z_0$. En effet, si $\omega_4^4=1$ alors:
\[
(z_0\omega_4)^4=z_0^4 \times \omega_4^4 = -1 \times 1 = -1.
\]
Ce qui donne:
\[
\e^{\i\frac{\pi}{4}}\quad ,\quad -\e^{\i\frac{\pi}{4}}\quad ,\quad \i\e^{\i\frac{\pi}{4}}\quad , -\i \e^{\i\frac{\pi}{4}}\qquad\text{c'est-à-dire :}\qquad \e^{\i\frac{\pi}{4}}\quad ,\quad \e^{\i\frac{-3\pi}{4}}\quad ,\quad \e^{\i\frac{3\pi}{4}}\quad ,\quad \e^{-\i\frac{\pi}{4}}.
\]
Or, les racines de $x^4+1$ sont précisément les racines quatrièmes de $-1$ d'où :
\begin{align*}
f(x) & = x^4+1\\
& = \left(x-\e^{\i\frac{\pi}{4}} \right)\left(x-\e^{-\i\frac{\pi}{4}} \right)\left(x-\e^{\i\frac{3\pi}{4}} \right)\left(x-\e^{-\i\frac{3\pi}{4}} \right)\\
& = \left(x^2-2x\cos\frac{\pi}{4}+1 \right)\left(x^2-2x\cos\frac{3\pi}{4}+1 \right)\\
\Aboxed{ f(x) & = \left(x^2-x\sqrt{2} +1\right)\left(x^2+x\sqrt{2} +1\right)}
\end{align*}

\item On sait que $1+z^4+z^8=0$. Donc, en multipliant par $z$, $z^2$ et $z^3$, on a :
\[
z+z^5+z^9=0 \qquad ; \qquad z^2+z^6+z^{10}=0 \quad ; \qquad z^3+z^7+z^{11}=0.
\]
En sommant les quatre égalités, on a :
\[
\sum_{k=1}^{11}z^k=0.
\]
$z$ étant différent de 1, cela nous donne :
\[
\frac{1-z^{12}}{1-z}=0\;,
\]
soit :
\[
z^{12}=1.
\]
\underline{$z$ est donc une racine douzième de l'unité.}
\end{enumerate}
