
\begin{enumerate}
\item On considère un point $M(z)$ sur le cercle unité; donc :
\[
z = \e^{\i\theta},\quad \theta\in\R.
\]
Alors,
\[
f(z) = \dfrac{1}{\e^{\i\theta}} = \e^{-\i\theta} = \bar{z}.
\]
L'image de $M$ est donc son symétrique par rapport à l'axe des abscisses.

L'image du cercle unité est donc le cercle unité lui-même.

\item
\begin{enumerate}
\item Tout point $M$ de la droite $\mathcal{D}$ a pour coordonnées $M\coord{x}{x+1}$ donc son affixe est $z=x+(x+1)\i$.

\item Soit $z = x + (x+1)\i$. Alors,
\begin{align*}
z' = \frac{1}{z} & = \dfrac{1}{x+(x+1)\i}\\
& = \dfrac{x-(x+1)\i}{x^2+(x+1)^2}\\
& = \boxed{ \dfrac{x}{2x^2+2x+1} - \dfrac{x+1}{2x^2+2x+1}\i }
\end{align*}

\item On a :
\begin{align*}
& \left( \frac{x}{2x^2+2x+1} + \dfrac{1}{2} \right)^2 + \left( -\frac{x+1}{2x^2+2x+1} + \dfrac{1}{2} \right)^2 \\
= \ &
{ \color{red}\dfrac{x^2}{(2x^2+2x+1)^2} }
+ \dfrac{x}{2x^2+2x+1}
+ \dfrac{1}{4}
+ { \color{red}\dfrac{x^2+2x+1}{(2x^2+2x+1)^2}}
- \dfrac{x+1}{2x^2+2x+1}
+ \dfrac{1}{4}\\
 =\ & {\color{red}\dfrac{1}{2x^2+2x+1}} - \dfrac{1}{2x^2+2x+1} + \dfrac{1}{2}\\
=\ & \dfrac{1}{2}.
\end{align*}

\item Si on note $M'(z')$ et $A\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\i\right)$ alors, quel que soit le réel $x$,
\[
M'A^2 = \left( \frac{x}{2x^2+2x+1} + \dfrac{1}{2} \right)^2 + \left( -\frac{x+1}{2x^2+2x+1} + \dfrac{1}{2} \right)^2 = \dfrac{1}{2}
\]
Ainsi, $M'A = \dfrac{\sqrt2}{2}$, ce qui signifie que $M'$ est sur le cercle $\mathcal{C}$  de centre $A$ et de rayon $\dfrac{\sqrt2}{2}$.

\medskip

L'image de $\mathcal{D}$ est donc $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
