
\partie{A}

\begin{enumerate}
\item $UVW$ est équilatéral de sens direct donc $U$ est l'image de $W$ par la rotation de centre $V$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. Ainsi :
\[
u-v=\e^{\i\frac{\pi}{3}}(w-v)=-\j^2(w-v).
\]
La réciproque est évidente.

\item D'après ce qui précède, on a $u-v=-\j^2(w-v)$. Donc :
\[
u+(-1-\j^2)v+\j^2w=0.
\]
Or, $1+\j+\j^2=0$ donc :
\[
\boxed{u+\j v+\j^2w=0}.
\]
\end{enumerate}

\partie{B}

Par hypothèse, on a :
\begin{eqnarray}
a-w=\j(b-w)\label{eq1}\\
b-u=\j(c-u)\label{eq2}\\
c-v=\j(a-v)\label{eq3}
\end{eqnarray}

D'où : \[ a+b+c-(u+v+w)=\j\big(a+b+c-(u+v+w)\big).\]
Donc : \[ a+b+c=u+v+w.\]
Ainsi, \underline{$ABC$ et $UVW$ ont le même centre de gravité}.

\medskip

De l'égalité (\ref{eq1}), on déduit :
\[ w=\frac{a-\j b}{1-\j}.\]
De l'égalité (\ref{eq2}), on déduit :
\[ u=\frac{b-\j c}{1-\j}.\]
De l'égalité (\ref{eq3}), on déduit :
\[ v=\frac{c-\j a}{1-\j}.\]

D'où :
\[
u+\j v+\j^2w=\frac{a-\j b+\j b-\j^2c+\j^2c-a}{1-\j}=0.\]
\underline{Donc $UVW$ est équilatéral de sens direct.}

\begin{rem}
Ce théorème n'a pas été découvert par Napoléon Bonaparte, même si ce dernier était assez bon mathématicien. Il semblerait que cette appellation soit plutôt un hommage à l'empereur.
\end{rem}
