
\begin{enumerate}
\item On sait que:
\[
\sum_{k=0}^{n-1} z^k  = \dfrac{z^n-1}{z-1}
\]
Or, le polynôme $z^n-1$ admet pour racines toutes les racines de l'unité $\omega_k$, pour\linebreak $0 \leqslant k\leqslant n-1$. Par conséquent, il se factorise sous la forme:
\[
z^n-1=(z-\omega_1)(z-\omega_2)\cdots(z-\omega_{n-1}) = \prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega_k).
\]
De plus, $\omega_1=\omega=\e^{\frac{2\i\pi}{n}}$ et $\omega_k=\omega^k$ pour $1\leqslant k \leqslant n-1$. Rappelons que $\omega_0=1$.

On peut alors écrire:
\begin{align*}
z^n-1 & =  \prod_{k=0}^{n-1}(z-\omega^k)\\
& = (z-\omega_0) \prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k)\\
& = (z-1) \prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k).
\end{align*}

Ainsi,
\[
\sum_{k=0}^{n-1} z^k  = \dfrac{1}{z-1}\times(z-1) \prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k)
\]
soit:
\[
\sum_{k=0}^{n-1} z^k  = \prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k).
\]

\item Si $z=1$ alors:
\[
\sum_{k=0}^{n-1} z^k = \sum_{k=0}^{n-1} 1  = n
\]
et
\begin{align*}
\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k) & = \prod_{k=1}^{n-1}(1-\omega^k)\\
& =  \prod_{k=1}^{n-1}\left(1-\e^{\frac{2\i k\pi}{n}}\right)\\
& = \prod_{k=1}^{n-1} \e^{\frac{\i k\pi}{n}}\left( \e^{-\frac{\i k\pi}{n}} - \e^{\frac{\i k\pi}{n}} \right)\\
& = \prod_{k=1}^{n-1} -\e^{\frac{\i k\pi}{n}} \left( \e^{\frac{\i k\pi}{n}} - \e^{-\frac{\i k\pi}{n}} \right)\\
&  = \prod_{k=1}^{n-1} -\e^{\frac{\i k\pi}{n}}\times2\i\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)\\
& = \prod_{k=1}^{n-1} -2\i\e^{\frac{\i k\pi}{n}} \prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right).
\end{align*}
On a alors l'égalité:
\[
\prod_{k=1}^{n-1} -2\i\e^{\frac{\i k\pi}{n}} \prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right) = n.
\]
Comme $n$ est un réel, on peut aussi écrire:
\[
\left|\prod_{k=1}^{n-1} -2\i\e^{\frac{\i k\pi}{n}} \right| \times \left|\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)\right| = n
\]
et donc:
\[
2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right) = n.
\]
Ainsi,
\[
\boxed{ \prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right) = \dfrac{n}{2^{n-1}} }
\]
\begin{rem}
Pour $1\leqslant k\leqslant n-1$, $0<\dfrac{k\pi}{n}<\pi$ donc $\sin\left(\dfrac{\pi}{n}\right)>0$.
\end{rem}
\end{enumerate}
