
\begin{enumerate}
\item On a:
\begin{align*}
a\text{ est inversible modulo }p & \iff \exists\ x \in\N*\;|\; ax\equiv1\mod p\\
& \iff \exists\ (x,y) \in\N*\times\N\;|\; ax=py+1\\
& \iff \exists\ (x,y) \in\N*\times\N\;|\; ax-py=1\\
& \iff \exists\ (x,y) \in\N*\times\N\;|\; ax+p(-y)=1\\
& \iff \pgcd{a}{p}=1\text{ d'après le théorème de Bézout.}
\end{align*}

\item L'équation $77u+125v=1$ admet \coord{13}{-8} comme solution (voir exercice précédent pour la méthode). Ainsi,
\begin{align*}
13\times77 - 8\times125 = 1 \iff 13\times77\equiv1\mod125.
\end{align*}
Ainsi, 13 est un inverse de 77 modulo 125.
\end{enumerate}
