
Notons $d=\pgcd{bc-a}{b}$.

\begin{itemize}
\item D'après l'égalité de Bézout, il existe un couple d'entiers relatifs $\coord{u}{v}$ tel que \mbox{$(bc-a)u+bv=d$}.
\begin{align*}
(bc-a)u+bv=d & \iff bcu-au+bv=d\\
						 & \iff a(-u) + b(cu+v) = d
\end{align*}

$-u\in\Z$ et $(cu+v)\in\Z$ donc il existe un couple d'entiers relatifs \coord{u'}{v'}, avec $u'=-u$ et $v'=cu+v$, tel que $au'+bv'=d$.

Donc $\pgcd{a}{b}$ divise $d$.

\medskip

\item De plus, $d=\pgcd{bc-a}{b} \Rightarrow d|b\text{ et } d|(bc-a) \Rightarrow d|a$ car si $d|b$, alors $d|(bc)$ donc si $d|(bc-a)$, alors nécessairement, $d|a$.

Ainsi, $d|a$ et $d|b$ donc $d|\pgcd{a}{b}$
\end{itemize}

\uline{Finalement, $\pgcd{a}{b}|d$ et $d|\pgcd{a}{b}$ donc $d=\pgcd{a}{b}$.}
