
Notons $x$ le nombre d'hommes et $y$ celui de femmes.

L'énoncé nous donne alors l'équation :
\[
8x+5y=100.
\]

Avant tout, trouvons une solution particulière à cette équation.

Il faut que $y=\dfrac{100-8x}{5}=\dfrac{100}{5}-\dfrac{8x}{5}=20-\dfrac{8x}{5}$ soit entier, donc que $8x$ soit un multiple de 5.

Prenons alors $x=5$ et donc $y=20-8=12$.

Une solution particulière est donc $\coord{x_0}{y_0}=\coord{5}{12}$.

On a alors :
\[
\begin{array}{c@{\;\times\;}c@{\;+\;}c@{\;\times\;}c@{\;=\;}c}
8 & 5 & 5 & 12 & 100\\
8 & x & 5 &  y & 100\\
\hline
8 & (5-x) & 5 & (12-y) & 0
\end{array}
\]
soit :
\[
8(5-x)=5(y-12).
\]
$\pgcd{8}{5}=1$ donc d'après le théorème de Gauss, 8 divise $(y-12)$ et 5 divise $(5-x)$ :
\[
\begin{cases}
5-x&=5k\\
y-12&=8k
\end{cases}\quad,\quad k\in\Z
\]
soit :
\[
\begin{cases}
x&=5-5k\\
y&=12+8k
\end{cases}\quad,\quad k\in\Z.
\]
On sait que $\coord{x}{y}\in\N*\times\N*$ ce qui nous laisse peu de choix quant aux valeurs de $k$ :
\begin{itemize}
\item $k=0$ : on a alors $x=5$ et $y=12$;
\item $k=-1$: on a alors $x=10$ et $y=4$.
\end{itemize}

\uline{Il y avait donc 5 hommes et 12 femmes, ou 10 hommes et 4 femmes.}
