
\begin{align*}
\begin{cases}
x \equiv 5 \mod 18\\
x \equiv 5 \mod 24
\end{cases}
& \iff \begin{cases}
x = 18p+5\\
x = 24q+5
\end{cases}\quad,\quad (p,q)\in\Z^2\\
& \Longrightarrow 18p+5 = 24q+5\\
& \Longrightarrow 18p=24q\\
& \Longrightarrow 3p = 4q.
\end{align*}
Or, $\pgcd{3}{4}=1$ donc $3|q$ et $4|p$, i.e.
\[
\exists (m,n)\in\Z^2 ~| ~ \begin{cases}
q = 3m\\
p = 4n
\end{cases}
\]
Ainsi,
\[
\begin{cases}
x = 18\times 4n + 5 = 72n + 5\\
x = 24\times 3m + 5 = 72m + 5
\end{cases}
\]
Les solutions du système $\begin{cases}
x \equiv 5 \mod 18\\
x \equiv 5 \mod 24
\end{cases}$ sont donc tous les $x$ tels que $x \equiv 5 \mod 72$.
%\begin{rem}
%72 correspond au PPCM de 18 et 24. Alors... coïncidence?
%\end{rem}
