
\begin{align*}
\begin{cases}
x \equiv 3 \mod 17\\
x \equiv 4 \mod 19
\end{cases} & \iff \begin{cases}
x = 17p + 3\\
x = 19q + 4
\end{cases}\quad,\quad(p,q)\in\Z^2\\
& \Longrightarrow 17p + 3 = 19q + 4\\
& \Longrightarrow 17p - 19q = 1.
\end{align*}

$\coord{9}{8}$ est solution de cette dernière équation (voir exercice \ref{exercice:\thechapter.42} pour la méthode).
\[
\begin{array}{*6{l}}
17 & p &  - &19&q  & = 1\\
17&\times9& -& 19&\times8 & = 1\\
\hline
17&(p-9)&-&19&(q-8)&=0
\end{array}\\
\text{soit: } 17(p-9) = 19(q-8).
\]
$\pgcd{17}{19}=1$ donc $17|(q-8)$ et $19|(p-9)$. Ainsi,
\[
\exists n \in\Z | \begin{cases}
q-8=17n\\
p-9=19n
\end{cases}\qquad\text{soit}\qquad\begin{cases}
p=19n+9\\
q=17n+8
\end{cases}
\]
Ainsi,
\[
\begin{cases}
x = 17(19n+9)+3 = 323n + 156\\
x = 19(17n+8)+4 = 323n + 156
\end{cases} \iff \boxed{x \equiv 156 \mod 323}
\]
