
Raisonnons par l'absurde ; supposons donc qu'il existe un rationnel $x=\dfrac{a}{b}$ tel que $x^2=p$ et $\pgcd{a}{b}=1$.

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Alors, $\dfrac{a^2}{b^2}=p$, soit $a^2=pb^2$.

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D'après le théorème de Gauss, $p$ divise donc $a^2$, donc $p$ divise $a$ et alors $p^2$ divise $a^2$, donc divise $pb^2$. Ainsi, $p$ divise $b^2$, donc $p$ divise $b$.

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Or, $pgcd\coord{a}{b}=1$ donc il n'est pas possible que $p$ divise à la fois $a$ et $b$.

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On aboutit à une contradiction ; par conséquent, notre hypothèse de départ est fausse.

\uline{Ainsi, il n'existe pas de rationnel $x$ tel que $x^2=p$.}

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