
\begin{itemize}
\item Si $a$ est divisible par 13 alors $a^{13}-a=a\big(a^{12}-1\big)$ aussi.

De plus, $a$ et $a^{13}$ ont la même parité. En effet, le produit de deux nombres impairs est impair et celui de deux nombres pairs est pair.

Ainsi, $a^{13}-a$ est divisible par 2 (la différence de deux nombres de même parité est paire).

2 et 13 étant premiers entre eux, on en conclut que $a^{13}-a$ est divisible par $2\times13$, donc par 26.

\bigskip

\item Si $a$ n'est pas divisible par 13, d'après le petit théorème de Fermat,
\[
a^{13}\equiv a\mod p
\]
donc
\[
a^{13}-a\equiv0\mod p,
\]
ce qui signifie que $a^{13}-a$ est divisible par 13.

De plus, il est divisible par 2 (pour les raison évoquées précédemment), donc divisible par 26.
\end{itemize}

